12.(1)已知一个扇形的半径为2 cm，弧长等于π cm，求该扇形的弧所对圆周角的度数；
(2)已知一个扇形的弧长为10π cm，面积为100π cm²，求该扇形的圆心角度数.

12.【解】(1)设该扇形的圆心角度数为 $n°$.
由题意,得$\dfrac{nπ×2}{180}=π$. 解得 $n=90$.
∴该扇形的圆心角度数为 $90°$.
∴该扇形的弧所对圆周角的度数为 $45°$.
(2)设该扇形的半径为 $r$ cm,圆心角度数为 $n°$.
由题意,得$\dfrac{1}{2}×10π r=100π$. 解得 $r=20$.
又由$\dfrac{nπ×20}{180}=10π$,解得 $n=90$.
∴该扇形的圆心角度数为 $90°$.

【分析】
(1)要求扇形弧所对的圆周角，首先根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，需要先求出弧对应的圆心角度数。已知扇形半径和弧长，可直接代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径）求解圆心角，再除以2即可得到圆周角度数。
(2)已知扇形的弧长和面积，两个已知量都和半径、圆心角有关，首先选择仅含弧长、面积、半径的扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$求出半径$r$，再将$r$代入弧长公式即可求出圆心角度数。
【解析】
(1)设该扇形的圆心角度数为$n°$。
由题意，代入弧长公式得：
$\dfrac{nπ×2}{180}=π$
约去$π$后解得$n=90$，即该扇形的圆心角度数为$90°$。
根据同弧所对圆周角为圆心角的一半，可得弧所对圆周角为$90°÷2=45°$。
(2)设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，圆心角度数为$n°$。
由扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入已知条件得：
$\dfrac{1}{2}×10π×r=100π$
约去$π$后解得$r=20$。
再将$r=20$代入弧长公式得：
$\dfrac{nπ×20}{180}=10π$
约去$π$后解得$n=90$，即该扇形的圆心角度数为$90°$。
【答案】
(1)$45°$；(2)$90°$
【知识点】
弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理
【点评】
本题侧重考查扇形相关公式的基础应用，解题时要理清各个量之间的关联，灵活选择公式可以减少计算量，同时要注意区分圆心角和圆周角的概念，避免混淆二者关系导致出错。
【难度系数】
0.8

1.(2024,河南,9)如图，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC的外接圆，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为().

A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$

1.C

【分析】
要求阴影部分的面积，观察可知阴影是圆心为D的扇形，因此只需确定该扇形的圆心角∠BDC的度数和半径BD的长度，代入扇形面积公式计算即可。解题思路：①先利用等边三角形内角和圆内接四边形的性质求∠BDC的度数；②先求等边三角形外接圆半径，再结合弧中点的性质求BD的长度；③最后代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求∠BDC的度数：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-60°=120°。
2. 求⊙O的半径：
边长为a的等边三角形外接圆半径公式为$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$，已知$a=4\sqrt{3}$，
∴$R=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$，即OB=OD=4。
3. 求BD的长度：
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，劣弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为2∠BAC=120°，
∴$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角∠BOD=60°，
又
∵OB=OD=4，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD=OB=4，即扇形DBC的半径为4。
4. 计算扇形面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=120°$，$r=4$，
代入得$S_{阴影}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算、圆周角定理、等边三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是明确阴影部分是扇形，进而找到扇形对应的圆心角和半径，需要熟练掌握圆的相关性质和等边三角形的外接圆特点。
【难度系数】
0.6

2.如图,水平地面上有一面积为$30π\ \mathrm{cm}^2$的扇形OAB(阴影),半径$OA=6\ \mathrm{cm}$,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为().

A.20 cm
B.24 cm
C.$10π$ cm
D.$30π$ cm

2.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确扇形无滑动滚动时的性质：圆心O移动的距离等于扇形接触地面的弧长，也就是扇形OAB的弧长。接下来我们可以利用已知的扇形面积和半径，结合扇形面积和弧长的关系求出弧长，即可得到点O移动的距离。
【解析】
扇形无滑动滚动时，圆心O移动的距离与扇形的弧长相等。
已知扇形OAB的面积$S=30π\ \mathrm{cm}^2$，半径$r=OA=6\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长），代入数值可得：
$30π=\frac{1}{2}× l×6$
化简得$3l=30π$，解得$l=10π\ \mathrm{cm}$，即点O移动的距离为$10π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，图形滚动的性质
【点评】
本题的解题关键是理解无滑动滚动时圆心移动的距离等于扇形的弧长，只需熟练掌握扇形面积和弧长的关联公式就能快速解题，属于公式应用类基础题。
【难度系数】
0.7

3.(2025,德阳,17)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画圆，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分).如果AB=1，那么这个等宽曲线的周长是.

3.$π$ 【提示】由$△ ABC$ 为等边三角形,得$∠ ACB=∠ ABC=∠ BAC=60°,BC=AC=AB=1$.
∴$\overset{\frown}{AB}$ 的长=$\overset{\frown}{BC}$ 的长=$\overset{\frown}{AC}$ 的长=$\dfrac{60π×1}{180}=\dfrac{1}{3}π$.
∴这个等宽曲线的周长为$\dfrac{1}{3}π×3=π$.

【分析】
解题时首先观察等宽曲线的构成：它的周长由3段长度相等的弧组成。首先结合等边三角形的性质，确定每段弧的圆心角、半径，再利用弧长公式计算单段弧的长度，最后乘3即可得到总周长。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=1。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为弧所在圆的半径），
可得$\overset{\frown}{AB}$的长=$\overset{\frown}{BC}$的长=$\overset{\frown}{AC}$的长=$\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$，
因此等宽曲线的周长为$\frac{π}{3}×3=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
等边三角形的性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确拆分等宽曲线的周长构成，结合等边三角形的性质得到弧的圆心角和半径，代入弧长公式计算即可。
【难度系数】
0.8

4.如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”图案(阴影部分)的面积为.

4.$2π-4$ 【提示】如图,阴影部分的面积等于 2 个弓形 AB 的面积,即 $2×(\dfrac{90π×2^2}{360}-\dfrac{1}{2}×2×2)=2π-4$.

【分析】
求解不规则阴影部分面积，优先考虑割补法转化为规则图形面积的和差。首先观察图形可知，阴影部分左右对称，可拆分为2个完全相同的弓形。单个弓形的面积等于对应扇形的面积减去内部等腰直角三角形的面积，分别计算规则图形面积后代入即可求解。
【解析】
由图形对称性可得，阴影部分面积=2×弓形AB的面积。
1. 计算单个弓形对应扇形的面积：
扇形的圆心角为90°，半径r=2，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形}=\frac{90π× 2^2}{360}=π$
2. 计算弓形内部等腰直角三角形的面积：
三角形直角边长为2，根据三角形面积公式$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{三角形}=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. 单个弓形面积为：$S_{弓形}=S_{扇形}-S_{三角形}=π - 2$
4. 阴影部分总面积为：$S_{阴影}=2×(π - 2)=2π -4$
【答案】
$2π-4$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是通过观察图形特征，利用割补法和对称性将未知的不规则图形面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的和差，掌握这种转化思路可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.6

5.如图，已知$\odot O$的半径为10 cm，弦AB垂直平分半径OC，并交OC于点D.求$\overset{\frown}{AB}$的长，并求出图中阴影部分的面积.

5.【解】如图,连接 OA,OB,AC.

∵AB 垂直平分 OC,
∴AO=AC. 又 OA=OC,
∴AO=AC=OC.
∴$△ OAC$ 为等边三角形.
∴$∠ AOC=60°$. 同理$∠ BOD=60°$.
∴$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$.
∵OC=10 cm,
∴OD=5 cm.
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=5\sqrt{3}$ cm.
∴AB=2BD=$10\sqrt{3}$ cm.
∴$\overset{\frown}{AB}$ 的长=$\dfrac{120π×10}{180}=\dfrac{20π}{3}$(cm).
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ AOB}$
$=\dfrac{120π×10^2}{360}-\dfrac{1}{2}×10\sqrt{3}×5$
$=(\dfrac{100π}{3}-25\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$.

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长和阴影部分面积，首先回忆弧长公式$l=\dfrac{nπ r}{180}$、扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{nπ r^2}{360}$，已知圆的半径r=10cm，因此核心是求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的度数：
1. 连接OA、OB，由AB垂直平分OC，根据垂直平分线的性质可得AO=AC，结合OA=OC（圆的半径相等），可推出△OAC为等边三角形，得到∠AOC=60°，同理可得∠BOC=60°，即可得∠AOB=120°，代入弧长公式就能求出$\overset{\frown}{AB}$的长；
2. 阴影部分是弓形，面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积：用垂径定理和勾股定理求出AB的长度，结合OD的长度算出△AOB的面积，再代入扇形面积公式求出扇形OAB的面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：如图，连接OA，OB。
∵AB垂直平分OC，
∴AO=AC（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴AO=AC=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，同理可得∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°。
已知⊙O的半径为10cm，
∴OD=$\dfrac{1}{2}$OC=5cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由垂径定理得$AB=2BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{nπ r}{180}=\dfrac{120π×10}{180}=\dfrac{20π}{3}\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积为弓形面积，等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ AOB}$
$=\dfrac{120π×10^2}{360}-\dfrac{1}{2}× AB× OD$
$=\dfrac{100π}{3}-\dfrac{1}{2}×10\sqrt{3}×5$
$=(\dfrac{100π}{3}-25\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】

$\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{20π}{3}\mathrm{cm}$，阴影部分的面积为$(\dfrac{100π}{3}-25\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
垂径定理；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆相关计算的基础常考题，解题关键是利用垂直平分线的性质推出等边三角形，得到圆心角的度数，再结合对应公式求解，重点考查学生对基础公式的掌握和简单的几何推理能力。
【难度系数】
0.7