登录
4.(2025,湖南,10)如图,北京市某处A位于北纬$40°$(即$∠ AOC=40°$),东经$116°$,三沙市海域某处B位于北纬$15°$(即$∠ BOC=15°$),东经$116°$.设地球的半径约为$R$ km,则在东经$116°$所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(
A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$\frac{1}{12}π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
C
).A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$\frac{1}{12}π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
答案
4.C
解析
【分析】
首先，A、B两点位于同一条经线上，因此两点在该经线圈对应的圆心角等于两地的纬度差；再利用弧长计算公式，代入圆心角度数和地球半径即可求出劣弧长度。解题时先确定圆心角的度数，再代入公式计算是核心思路。
【解析】
解：
∵ 点A、B都在东经116°的经线圈上，∠AOC=40°，∠BOC=15°
∴ A、B两点对应的劣弧的圆心角$∠ AOB = 40° - 15° = 25°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），将$n=25$、半径$R$代入得：
$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36}$
即A和B之间的劣弧长约为$\frac{5}{36}π R$ km。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求解
【点评】
本题结合生活中的经纬度场景考查弧长的计算，解题的关键是明确同经度的两地对应的圆心角为纬度差，再代入弧长公式求解即可，计算时注意对结果进行约分。
【难度系数】
0.7
首先，A、B两点位于同一条经线上，因此两点在该经线圈对应的圆心角等于两地的纬度差；再利用弧长计算公式，代入圆心角度数和地球半径即可求出劣弧长度。解题时先确定圆心角的度数，再代入公式计算是核心思路。
【解析】
解：
∵ 点A、B都在东经116°的经线圈上，∠AOC=40°，∠BOC=15°
∴ A、B两点对应的劣弧的圆心角$∠ AOB = 40° - 15° = 25°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），将$n=25$、半径$R$代入得：
$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36}$
即A和B之间的劣弧长约为$\frac{5}{36}π R$ km。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求解
【点评】
本题结合生活中的经纬度场景考查弧长的计算，解题的关键是明确同经度的两地对应的圆心角为纬度差，再代入弧长公式求解即可，计算时注意对结果进行约分。
【难度系数】
0.7
5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在以点A为圆心的$\overset{\frown}{EF}$上,则$\overset{\frown}{BC}$的长等于(
A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{6}$
B
).A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{6}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用菱形四条边相等的性质，得到AB=BC=1；第二步，结合同圆的半径相等，可得AB=AC，进而推出△ABC是等边三角形，得到弧BC对应的圆心角∠BAC=60°；第三步，将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可算出弧BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为1的菱形，
∴AB=BC=1。
∵点B、C落在以A为圆心的$\overset{\frown}{EF}$上，
∴AB、AC都是⊙A的半径，即AC=AB=1，
∴AB=BC=AC=1，△ABC为等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径），将n=60，r=1代入得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将多个基础知识点结合考查，解题核心是通过边的等量关系判断出等边三角形，得到弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用菱形四条边相等的性质，得到AB=BC=1；第二步，结合同圆的半径相等，可得AB=AC，进而推出△ABC是等边三角形，得到弧BC对应的圆心角∠BAC=60°；第三步，将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可算出弧BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为1的菱形，
∴AB=BC=1。
∵点B、C落在以A为圆心的$\overset{\frown}{EF}$上，
∴AB、AC都是⊙A的半径，即AC=AB=1，
∴AB=BC=AC=1，△ABC为等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径），将n=60，r=1代入得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将多个基础知识点结合考查，解题核心是通过边的等量关系判断出等边三角形，得到弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为
$60°$
.答案
6.$60°$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆扇形面积与圆心角、半径的对应公式。已知扇形的半径和面积，要求圆心角度数，我们选用含圆心角度数$n$的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$S$为扇形面积，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），将已知数值代入公式得到关于$n$的一元一次方程，解方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：设该扇形的圆心角为$n°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，将$S=6π$，$R=6$代入公式可得：
$6π=\frac{nπ × 6^2}{360}$
化简得：
$6π=\frac{36nπ}{360}$
两边同时除以$π$，得：
$6=\frac{36n}{360}$
进一步化简右边为$\frac{n}{10}$，即：
$6=\frac{n}{10}$
解得$n=60$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，核心考查扇形面积公式的应用，解题时注意准确记忆公式，代入数值后可先约去公共项$π$简化计算，减少计算失误。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先回忆扇形面积与圆心角、半径的对应公式。已知扇形的半径和面积，要求圆心角度数，我们选用含圆心角度数$n$的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$S$为扇形面积，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），将已知数值代入公式得到关于$n$的一元一次方程，解方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：设该扇形的圆心角为$n°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，将$S=6π$，$R=6$代入公式可得：
$6π=\frac{nπ × 6^2}{360}$
化简得：
$6π=\frac{36nπ}{360}$
两边同时除以$π$，得：
$6=\frac{36n}{360}$
进一步化简右边为$\frac{n}{10}$，即：
$6=\frac{n}{10}$
解得$n=60$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，核心考查扇形面积公式的应用，解题时注意准确记忆公式，代入数值后可先约去公共项$π$简化计算，减少计算失误。
【难度系数】
0.85
7.半径为4，弧长为$6π$的扇形的面积是
$12π$
.答案
7.$12π$
解析
【分析】
要计算扇形面积，首先回忆扇形面积的两类计算公式：①已知圆心角度数$n$和半径$R$时，$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，$S=\frac{1}{2}lR$。本题已经直接给出半径$R=4$、弧长$l=6π$，无需额外计算圆心角，选择第二类公式代入计算即可，能简化解题步骤。
【解析】
已知扇形半径$R=4$，弧长$l=6π$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$可得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 6π × 4 = 12π$
【答案】
$12π$
【知识点】
扇形面积公式
【点评】
本题是基础类计算题，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时可根据已知条件灵活选择对应的公式，减少不必要的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要计算扇形面积，首先回忆扇形面积的两类计算公式：①已知圆心角度数$n$和半径$R$时，$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，$S=\frac{1}{2}lR$。本题已经直接给出半径$R=4$、弧长$l=6π$，无需额外计算圆心角，选择第二类公式代入计算即可，能简化解题步骤。
【解析】
已知扇形半径$R=4$，弧长$l=6π$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$可得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2} × 6π × 4 = 12π$
【答案】
$12π$
【知识点】
扇形面积公式
【点评】
本题是基础类计算题，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时可根据已知条件灵活选择对应的公式，减少不必要的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
8.半径为6 cm，弧长为4π cm的扇形的圆心角的度数是
$120°$
。答案
8.$120°$
解析
【分析】
本题要求扇形的圆心角度数，解题核心是运用弧长公式求解。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确已知条件：扇形半径r=6cm，弧长l=4πcm，未知量是圆心角度数n，只需将已知量代入弧长公式，解关于n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
扇形的弧长公式为 $ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）。
已知$ l=4π\ \mathrm{cm} $，$ r=6\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ 4π = \frac{nπ × 6}{180} $
两边同时约去π，化简得：
$ 4 = \frac{6n}{180} $
进一步计算得：$ 6n = 4×180=720 $
解得：$ n=120 $
【答案】
$ 120° $
【知识点】
弧长公式的应用
【点评】
本题属于基础题型，考查对弧长公式的掌握和简单计算能力，解题的关键是准确记忆弧长公式，代入数值计算时注意不要错写公式中的系数，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
本题要求扇形的圆心角度数，解题核心是运用弧长公式求解。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确已知条件：扇形半径r=6cm，弧长l=4πcm，未知量是圆心角度数n，只需将已知量代入弧长公式，解关于n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
扇形的弧长公式为 $ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）。
已知$ l=4π\ \mathrm{cm} $，$ r=6\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ 4π = \frac{nπ × 6}{180} $
两边同时约去π，化简得：
$ 4 = \frac{6n}{180} $
进一步计算得：$ 6n = 4×180=720 $
解得：$ n=120 $
【答案】
$ 120° $
【知识点】
弧长公式的应用
【点评】
本题属于基础题型，考查对弧长公式的掌握和简单计算能力，解题的关键是准确记忆弧长公式，代入数值计算时注意不要错写公式中的系数，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
9.(2024,山西,14)如图①是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为$90°$,$OA=1$ m,点$C,D$分别为$OA,OB$的中点,则花窗的面积为
$(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{8})$
$\mathrm{m}^2$.答案
9.$(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{8})$
解析
【分析】
要求阴影部分花窗的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法转化为规则图形面积的差计算：用大扇形AOB的面积减去空白直角三角形OCD的面积即可。首先根据已知条件确定扇形的圆心角、半径，再结合中点得到三角形的直角边长，分别代入对应面积公式计算后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知扇形AOB的圆心角$∠ AOB=90°$，半径$OA=OB=1\ \mathrm{m}$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$。
$\because$点$C$、$D$分别为$OA$、$OB$的中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，$OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
又$\because ∠ O=90°$，$△ OCD$是直角三角形，
根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
因此花窗的面积$S=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ OCD}=\frac{π}{4}-\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{8})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是将不规则图形面积转化为熟悉的规则图形面积的和或差，只要熟练掌握扇形和直角三角形的面积公式，即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分花窗的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法转化为规则图形面积的差计算：用大扇形AOB的面积减去空白直角三角形OCD的面积即可。首先根据已知条件确定扇形的圆心角、半径，再结合中点得到三角形的直角边长，分别代入对应面积公式计算后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知扇形AOB的圆心角$∠ AOB=90°$，半径$OA=OB=1\ \mathrm{m}$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$。
$\because$点$C$、$D$分别为$OA$、$OB$的中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，$OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
又$\because ∠ O=90°$，$△ OCD$是直角三角形，
根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
因此花窗的面积$S=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ OCD}=\frac{π}{4}-\frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{8})$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心思路是将不规则图形面积转化为熟悉的规则图形面积的和或差，只要熟练掌握扇形和直角三角形的面积公式，即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
10.如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则$\overset{\frown}{AB}$的长等于
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}π$
。答案
10.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}π$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为所在圆的半径），因此解题分三步进行：1. 结合网格用勾股定理求出半径$OA$（或$OB$）的长度；2. 确定圆心角$∠ AOB$的度数；3. 将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
已知每个小正方形边长为1：
1. 求半径：观察可得，点$A$到点$O$的横向距离为3，纵向距离为3，由勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r=3\sqrt{2}$；
2. 求圆心角：$OA$与水平方向夹角为$45°$，$OB$与水平方向夹角也为$45°$，因此$∠ AOB=45°+45°=90°$，即弧所对圆心角$n=90°$；
3. 代入弧长公式计算：$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×3\sqrt{2}}{180}=\frac{3\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}π$
【知识点】
弧长计算，勾股定理，圆心角判定
【点评】
本题是弧长计算的常见题型，结合网格考查几何量的提取能力，解题的核心是准确找到弧对应的半径和圆心角，整体计算量小，掌握基础公式即可求解。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为所在圆的半径），因此解题分三步进行：1. 结合网格用勾股定理求出半径$OA$（或$OB$）的长度；2. 确定圆心角$∠ AOB$的度数；3. 将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
已知每个小正方形边长为1：
1. 求半径：观察可得，点$A$到点$O$的横向距离为3，纵向距离为3，由勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r=3\sqrt{2}$；
2. 求圆心角：$OA$与水平方向夹角为$45°$，$OB$与水平方向夹角也为$45°$，因此$∠ AOB=45°+45°=90°$，即弧所对圆心角$n=90°$；
3. 代入弧长公式计算：$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×3\sqrt{2}}{180}=\frac{3\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}π$
【知识点】
弧长计算，勾股定理，圆心角判定
【点评】
本题是弧长计算的常见题型，结合网格考查几何量的提取能力，解题的核心是准确找到弧对应的半径和圆心角，整体计算量小，掌握基础公式即可求解。
【难度系数】
0.7
11.(1)一个扇形的面积为 $2π \ \mathrm{cm}^2$，半径为4 cm，求该扇形的圆心角度数；
(2)若 $120°$ 的圆心角所对的弧长是 $12π \ \mathrm{cm}$，则此弧所在圆的半径为多少？
(2)若 $120°$ 的圆心角所对的弧长是 $12π \ \mathrm{cm}$，则此弧所在圆的半径为多少？
答案
11.【解】(1)设该扇形的圆心角度数为 $n°$.
由题意,得$\dfrac{nπ×4^2}{360}=2π$. 解得 $n=45$.
故该扇形的圆心角度数为 $45°$.
(2)设此弧所在圆的半径为 $r$ cm.
由题意,得$\dfrac{120π r}{180}=12π$. 解得 $r=18$.
故此弧所在圆的半径为 18 cm.
由题意,得$\dfrac{nπ×4^2}{360}=2π$. 解得 $n=45$.
故该扇形的圆心角度数为 $45°$.
(2)设此弧所在圆的半径为 $r$ cm.
由题意,得$\dfrac{120π r}{180}=12π$. 解得 $r=18$.
故此弧所在圆的半径为 18 cm.
解析
【分析】
(1) 求扇形圆心角可直接使用扇形面积公式，已知扇形面积和半径，我们只需设圆心角度数为未知数，将已知量代入扇形面积公式列一元一次方程，求解即可得到圆心角度数。
(2) 已知圆心角和对应弧长求圆的半径，可使用弧长公式，设圆的半径为未知数，将已知的圆心角、弧长代入弧长公式列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 设该扇形的圆心角度数为 $n°$。
根据扇形面积公式 $S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，结合题意得：
$\dfrac{nπ×4^2}{360}=2π$
化简后解得 $n=45$。
故该扇形的圆心角度数为 $45°$。
(2) 设此弧所在圆的半径为 $r$ cm。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，结合题意得：
$\dfrac{120π r}{180}=12π$
化简后解得 $r=18$。
故此弧所在圆的半径为 18 cm。
【答案】
(1) $45°$；(2) $18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长和扇形面积公式的直接运用，解题时只要找准已知量和未知量，对应代入公式列方程求解即可，计算时可先约去公共项$π$，简化计算避免失误。
【难度系数】
0.8
(1) 求扇形圆心角可直接使用扇形面积公式，已知扇形面积和半径，我们只需设圆心角度数为未知数，将已知量代入扇形面积公式列一元一次方程，求解即可得到圆心角度数。
(2) 已知圆心角和对应弧长求圆的半径，可使用弧长公式，设圆的半径为未知数，将已知的圆心角、弧长代入弧长公式列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 设该扇形的圆心角度数为 $n°$。
根据扇形面积公式 $S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，结合题意得：
$\dfrac{nπ×4^2}{360}=2π$
化简后解得 $n=45$。
故该扇形的圆心角度数为 $45°$。
(2) 设此弧所在圆的半径为 $r$ cm。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，结合题意得：
$\dfrac{120π r}{180}=12π$
化简后解得 $r=18$。
故此弧所在圆的半径为 18 cm。
【答案】
(1) $45°$；(2) $18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长和扇形面积公式的直接运用，解题时只要找准已知量和未知量，对应代入公式列方程求解即可，计算时可先约去公共项$π$，简化计算避免失误。
【难度系数】
0.8
