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1.(2025,浙江,9)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=35°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,以点$C$为圆心,$CD$的长为半径作弧,与$AB$的另一个交点为$E$.若$AB=2$,则$\overset{\frown}{DE}$的长为(
A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
B
).A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
答案
1.B 【提示】$\because CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线,$AB=2$,
$\therefore CD=AD=1.\ \therefore ∠ DAC=∠ ACD=35°.$
$\therefore ∠ CDE=∠ DAC+∠ ACD=70°.$
由作图可知 $CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED=70°.$
$\therefore ∠ DCE=180°-2×70°=40°.$
$\therefore \overset{\frown}{DE}$ 的长$=\frac{40π×1}{180}=\frac{2π}{9}.$
$\therefore CD=AD=1.\ \therefore ∠ DAC=∠ ACD=35°.$
$\therefore ∠ CDE=∠ DAC+∠ ACD=70°.$
由作图可知 $CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ CED=70°.$
$\therefore ∠ DCE=180°-2×70°=40°.$
$\therefore \overset{\frown}{DE}$ 的长$=\frac{40π×1}{180}=\frac{2π}{9}.$
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分两步完成：第一步求半径$CD$的长度，第二步求圆心角$∠ DCE$的度数。首先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出$CD$的长度，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质以及三角形内角和求出$∠ DCE$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because$在$Rt△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，$AB=2$，
$\therefore$根据直角三角形斜边中线的性质，得$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，即$\odot C$的半径为1。
$\because CD=AD$，$\therefore ∠ ACD=∠ A=35°$，
根据三角形外角的性质，$∠ CDE=∠ A+∠ ACD=35°+35°=70°$。
由作图可知$CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=70°$，
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{40π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，将三角形性质和弧长计算相结合，解题的核心是准确找到弧对应的圆心角度数和所在圆的半径，熟练掌握相关基础性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分两步完成：第一步求半径$CD$的长度，第二步求圆心角$∠ DCE$的度数。首先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出$CD$的长度，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质以及三角形内角和求出$∠ DCE$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because$在$Rt△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，$AB=2$，
$\therefore$根据直角三角形斜边中线的性质，得$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，即$\odot C$的半径为1。
$\because CD=AD$，$\therefore ∠ ACD=∠ A=35°$，
根据三角形外角的性质，$∠ CDE=∠ A+∠ ACD=35°+35°=70°$。
由作图可知$CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=70°$，
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{40π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，将三角形性质和弧长计算相结合，解题的核心是准确找到弧对应的圆心角度数和所在圆的半径，熟练掌握相关基础性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.(2025,山西,10)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别以点$B$,$C$为圆心,$BC$的长为半径画弧,与$BA$,$CA$的延长线分别交于点$D$,$E$.若$BC=4$,则图中阴影部分的面积为(
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
D
).A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
2.D 【提示】$\because ∠ BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°.$ 又 $BC=4$,
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB^2+AC^2=BC^2$,
$\therefore AB=AC=2\sqrt{2}.$
$\therefore S_{阴影}=2(S_{扇形BCD}-S_{△ ABC})$
$=2(\frac{45π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2})$
$=4π-8.$
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°.$ 又 $BC=4$,
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB^2+AC^2=BC^2$,
$\therefore AB=AC=2\sqrt{2}.$
$\therefore S_{阴影}=2(S_{扇形BCD}-S_{△ ABC})$
$=2(\frac{45π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2})$
$=4π-8.$
解析
【分析】
本题是不规则图形面积计算问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的和差。首先根据△ABC是等腰直角三角形，得出两个底角均为45°，也就是两个扇形的圆心角度数，两个扇形半径均为已知的BC=4；接着分别计算单个扇形面积和等腰直角△ABC的面积；最后观察图形可知，阴影总面积等于2个扇形面积之和减去2倍△ABC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=∠ ACB=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=4$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
结合$AB=AC$，得$2AB^2=16$，解得$AB=AC=2\sqrt{2}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=4$。
两个扇形的圆心角均为$45°$，半径$r=BC=4$，
单个扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{45π× 4^2}{360}=2π$。
观察图形可得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2(S_{\mathrm{扇形}}-S_{△ ABC})=2×(2π-4)=4π-8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于几何面积计算的常规题型，解题关键是准确识别扇形的圆心角、半径，灵活运用割补法把不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差计算，计算时要注意避免勾股定理、扇形面积公式的应用错误。
【难度系数】
0.6
本题是不规则图形面积计算问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的和差。首先根据△ABC是等腰直角三角形，得出两个底角均为45°，也就是两个扇形的圆心角度数，两个扇形半径均为已知的BC=4；接着分别计算单个扇形面积和等腰直角△ABC的面积；最后观察图形可知，阴影总面积等于2个扇形面积之和减去2倍△ABC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=∠ ACB=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=4$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
结合$AB=AC$，得$2AB^2=16$，解得$AB=AC=2\sqrt{2}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=4$。
两个扇形的圆心角均为$45°$，半径$r=BC=4$，
单个扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{45π× 4^2}{360}=2π$。
观察图形可得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2(S_{\mathrm{扇形}}-S_{△ ABC})=2×(2π-4)=4π-8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于几何面积计算的常规题型，解题关键是准确识别扇形的圆心角、半径，灵活运用割补法把不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差计算，计算时要注意避免勾股定理、扇形面积公式的应用错误。
【难度系数】
0.6
3.如图，圆锥底面圆的半径为7 cm，高为24 cm，则它侧面展开图的面积是
175π
cm².答案
3.175π 【提示】圆锥底面圆的周长 $l=14π\ \mathrm{cm}$,
母线 $AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=25\ \mathrm{cm}.$
$\therefore$ 侧面展开图的面积 $S=\frac{1}{2}×14π×25=175π(\mathrm{cm}^2).$
母线 $AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=25\ \mathrm{cm}.$
$\therefore$ 侧面展开图的面积 $S=\frac{1}{2}×14π×25=175π(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
要求圆锥侧面展开图的面积，需明确圆锥侧面展开图是扇形：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路如下：首先计算圆锥底面圆的周长得到扇形的弧长；再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算底面圆周长（即侧面展开图的弧长$l$）：
已知底面半径为$7\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$l=2π r$，可得$l=2π×7=14π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算圆锥母线长：
圆锥的高为$24\mathrm{cm}$，底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
母线长$=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面展开图的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为扇形半径即母线长），代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×14π×25=175π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$175π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题关键是明确圆锥和其侧面展开图的对应量，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求圆锥侧面展开图的面积，需明确圆锥侧面展开图是扇形：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路如下：首先计算圆锥底面圆的周长得到扇形的弧长；再利用圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算底面圆周长（即侧面展开图的弧长$l$）：
已知底面半径为$7\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$l=2π r$，可得$l=2π×7=14π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算圆锥母线长：
圆锥的高为$24\mathrm{cm}$，底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
母线长$=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面展开图的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为扇形半径即母线长），代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×14π×25=175π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$175π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题关键是明确圆锥和其侧面展开图的对应量，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF的长为10 cm，母线OE(OF)的长为10 cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2 cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A，则此蚂蚁爬行的最短距离为
2√41
cm.答案
4.2√41 【提示】如图是圆锥侧面沿母线OF的展开图,设$∠ EOF$ 的度数为 $n°$,
则 $\overset{\frown}{EF}$ 的长$=\frac{1}{2}×10π=\frac{10nπ}{180}$,
$\therefore n=90,$即$∠ EOF=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中,
$OA=8\ \mathrm{cm},OE=10\ \mathrm{cm},$
由勾股定理,得 $AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}.$
$\therefore$此蚂蚁爬行的最短距离为 $2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
要解决圆锥表面的最短爬行距离问题，需先将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”，把爬行路径转化为平面内两点间的线段长度。第一步先根据圆锥底面周长与展开扇形弧长的对应关系，求出展开图的圆心角；第二步确定展开后E、A两点的位置，明确已知线段长度；第三步利用勾股定理计算最短路径长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线OF展开，得到扇形展开图，设∠EOF的度数为$n°$。
已知圆锥开口圆直径$EF=10\ \mathrm{cm}$，因此底面圆的周长为$10π\ \mathrm{cm}$，E、F是底面圆直径的两个端点，因此展开后扇形的弧$\overset{\frown}{EF}$的长等于底面圆周长的一半，即$5π\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$\overset{\frown}{l}=\frac{nπ r}{180}$，其中扇形半径$r=OE=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$5π=\frac{10nπ}{180}$
解得$n=90$，即$∠ EOF=90°$。
已知$FA=2\ \mathrm{cm}$，母线$OF=10\ \mathrm{cm}$，因此$OA=OF-FA=10-2=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，$OE=10\ \mathrm{cm}$，$OA=8\ \mathrm{cm}$，$∠ AOE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{41}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，核心是运用转化思想将曲面问题转化为平面几何问题求解，需要熟练掌握圆锥展开图的性质、弧长公式和勾股定理的综合应用，解题的关键是准确计算展开图的圆心角，确定两点的相对位置。
【难度系数】
0.7
要解决圆锥表面的最短爬行距离问题，需先将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”，把爬行路径转化为平面内两点间的线段长度。第一步先根据圆锥底面周长与展开扇形弧长的对应关系，求出展开图的圆心角；第二步确定展开后E、A两点的位置，明确已知线段长度；第三步利用勾股定理计算最短路径长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线OF展开，得到扇形展开图
，设∠EOF的度数为$n°$。已知圆锥开口圆直径$EF=10\ \mathrm{cm}$，因此底面圆的周长为$10π\ \mathrm{cm}$，E、F是底面圆直径的两个端点，因此展开后扇形的弧$\overset{\frown}{EF}$的长等于底面圆周长的一半，即$5π\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$\overset{\frown}{l}=\frac{nπ r}{180}$，其中扇形半径$r=OE=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$5π=\frac{10nπ}{180}$
解得$n=90$，即$∠ EOF=90°$。
已知$FA=2\ \mathrm{cm}$，母线$OF=10\ \mathrm{cm}$，因此$OA=OF-FA=10-2=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，$OE=10\ \mathrm{cm}$，$OA=8\ \mathrm{cm}$，$∠ AOE=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{41}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，核心是运用转化思想将曲面问题转化为平面几何问题求解，需要熟练掌握圆锥展开图的性质、弧长公式和勾股定理的综合应用，解题的关键是准确计算展开图的圆心角，确定两点的相对位置。
【难度系数】
0.7
5.如图①，扇形OAB的圆心角∠AOB＝45°，正方形CDEF的顶点C，D，E分别在半径OA，OB上，点F在$\overset{\frown}{AB}$上.如图②，四边形MNPQ是$\odot O_1$的内接正方形.若CD＝MN，求扇形OAB面积与$\odot O_1$面积的比值.
答案
5.【解】如图①,连接 OF 交 CD 于点 H.
$\because ∠ AOB=45°,$四边形 $CDEF$ 为正方形,
$\therefore OD=CD.$
设正方形的边长为 $a$.
在 $\mathrm{Rt}△ OEF$ 中,$OE=OD+DE=2a,EF=a$,
$\therefore OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{5}a.$
$\therefore S_{扇形OAB}=\frac{45π×(\sqrt{5}a)^2}{360}=\frac{5π}{8}a^2.$
如图②,连接 $O_1M,O_1N,O_1P,O_1Q.$
$\because$四边形 $MNPQ$ 是正方形,
$\therefore MN=NP=PQ=QM.$
$\therefore ∠ MO_1N=∠ NO_1P=∠ PO_1Q=∠ QO_1M=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ O_1NP$ 中,$O_1N^2+O_1P^2=NP^2,NP=a$,
$\therefore O_1N=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$
$\therefore S_{\odot O_1}=π×(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{π}{2}a^2.$
$\therefore S_{扇形OAB}:S_{\odot O_1}=\frac{5π}{8}a^2:\frac{π}{2}a^2=\frac{5}{4}.$
解析
【分析】
本题需计算扇形与圆的面积比值，可通过设公共参数的方法求解：首先由题意可知两个正方形边长相等，设边长为a，将扇形半径、圆的半径均用a表示：① 对扇形OAB，利用45°角和正方形性质，结合勾股定理求出扇形半径，代入扇形面积公式得面积；② 对⊙O₁，利用圆内接正方形的对角线为圆直径的性质，结合勾股定理求出圆的半径，代入圆面积公式得面积；最后求两个面积的比值，参数a会约去，即可得到结果。
【解析】
如图①，连接OF交CD于点H。
∵ ∠AOB=45°，四边形CDEF为正方形，
∴ △ODC为等腰直角三角形，OD=CD。
设正方形的边长为a，即CD=DE=EF=a。
在Rt△OEF中，OE=OD+DE=2a，EF=a，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，即扇形OAB的半径为$\sqrt{5}a$。
根据扇形面积公式可得：
$S_{扇形OAB}=\frac{45π×(\sqrt{5}a)^2}{360}=\frac{5π}{8}a^2$。
如图②，连接$O_1M、O_1N、O_1P、O_1Q$。
∵ 四边形MNPQ是⊙O₁的内接正方形，
∴ ∠MO₁N=∠NO₁P=∠PO₁Q=∠QO₁M=90°，且NP=MN=a。
设⊙O₁的半径为r，在Rt△O₁NP中，$O_1N=O_1P=r$，由勾股定理得：
$r^2+r^2=a^2$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
根据圆的面积公式可得：
$S_{\odot O_1}=π×(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{π}{2}a^2$。
因此两者面积比值为：
$\frac{S_{扇形OAB}}{S_{\odot O_1}}=\frac{\frac{5π}{8}a^2}{\frac{π}{2}a^2}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
扇形面积计算；圆内接正方形性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了扇形、圆的面积计算和正方形的性质，解题核心是抓住两个正方形边长相等的条件设参数，将未知量统一用参数表示后计算比值，参数在作比时会自动消去，无需求解参数的具体数值，是几何比值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题需计算扇形与圆的面积比值，可通过设公共参数的方法求解：首先由题意可知两个正方形边长相等，设边长为a，将扇形半径、圆的半径均用a表示：① 对扇形OAB，利用45°角和正方形性质，结合勾股定理求出扇形半径，代入扇形面积公式得面积；② 对⊙O₁，利用圆内接正方形的对角线为圆直径的性质，结合勾股定理求出圆的半径，代入圆面积公式得面积；最后求两个面积的比值，参数a会约去，即可得到结果。
【解析】
如图①，连接OF交CD于点H。
∵ ∠AOB=45°，四边形CDEF为正方形，
∴ △ODC为等腰直角三角形，OD=CD。
设正方形的边长为a，即CD=DE=EF=a。
在Rt△OEF中，OE=OD+DE=2a，EF=a，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，即扇形OAB的半径为$\sqrt{5}a$。
根据扇形面积公式可得：
$S_{扇形OAB}=\frac{45π×(\sqrt{5}a)^2}{360}=\frac{5π}{8}a^2$。
如图②，连接$O_1M、O_1N、O_1P、O_1Q$。
∵ 四边形MNPQ是⊙O₁的内接正方形，
∴ ∠MO₁N=∠NO₁P=∠PO₁Q=∠QO₁M=90°，且NP=MN=a。
设⊙O₁的半径为r，在Rt△O₁NP中，$O_1N=O_1P=r$，由勾股定理得：
$r^2+r^2=a^2$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
根据圆的面积公式可得：
$S_{\odot O_1}=π×(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{π}{2}a^2$。
因此两者面积比值为：
$\frac{S_{扇形OAB}}{S_{\odot O_1}}=\frac{\frac{5π}{8}a^2}{\frac{π}{2}a^2}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
扇形面积计算；圆内接正方形性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了扇形、圆的面积计算和正方形的性质，解题核心是抓住两个正方形边长相等的条件设参数，将未知量统一用参数表示后计算比值，参数在作比时会自动消去，无需求解参数的具体数值，是几何比值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
