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1.等腰三角形的周长为24 cm，其中一边长为10 cm，则该等腰三角形的底边长为(
A.7 cm
B.7 cm或10 cm
C.4 cm或10 cm
D.7 cm或4 cm
C
)。A.7 cm
B.7 cm或10 cm
C.4 cm或10 cm
D.7 cm或4 cm
答案
1.C
解析
【分析】
本题已知等腰三角形周长和其中一边长，求底边长，需结合等腰三角形两腰相等的性质分类讨论：首先要明确给出的10cm边长可能是腰，也可能是底边，分别计算两种情况下的底边长后，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，排除不成立的情况即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若10cm为腰长：
等腰三角形两腰长度相等，因此另一腰长也为10cm，
底边长 = 周长 - 2×腰长 = $24 - 2×10 = 4\,\mathrm{cm}$，
此时三角形三边长为10cm、10cm、4cm，满足$10+4＞10$，符合三角形三边关系，可构成三角形，底边长为4cm有效。
② 若10cm为底边长：
腰长 = $(周长 - 底边长)÷2 = (24 - 10)÷2 = 7\,\mathrm{cm}$，
此时三角形三边长为7cm、7cm、10cm，满足$7+7＞10$，符合三角形三边关系，可构成三角形，底边长为10cm有效。
综上，该等腰三角形底边长为4cm或10cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型基础题，易错点有两个：一是忽略分类讨论，只考虑其中一种边长情况导致漏解；二是计算后忘记用三角形三边关系验证，得到不符合实际的边长结果，解题时要注意考虑全面，做好验证步骤。
【难度系数】
0.7
本题已知等腰三角形周长和其中一边长，求底边长，需结合等腰三角形两腰相等的性质分类讨论：首先要明确给出的10cm边长可能是腰，也可能是底边，分别计算两种情况下的底边长后，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，排除不成立的情况即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若10cm为腰长：
等腰三角形两腰长度相等，因此另一腰长也为10cm，
底边长 = 周长 - 2×腰长 = $24 - 2×10 = 4\,\mathrm{cm}$，
此时三角形三边长为10cm、10cm、4cm，满足$10+4＞10$，符合三角形三边关系，可构成三角形，底边长为4cm有效。
② 若10cm为底边长：
腰长 = $(周长 - 底边长)÷2 = (24 - 10)÷2 = 7\,\mathrm{cm}$，
此时三角形三边长为7cm、7cm、10cm，满足$7+7＞10$，符合三角形三边关系，可构成三角形，底边长为10cm有效。
综上，该等腰三角形底边长为4cm或10cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型基础题，易错点有两个：一是忽略分类讨论，只考虑其中一种边长情况导致漏解；二是计算后忘记用三角形三边关系验证，得到不符合实际的边长结果，解题时要注意考虑全面，做好验证步骤。
【难度系数】
0.7
2.如图,木工师傅做了一个长方形框架,但发现它很容易变形.若要加固此长方形框架,需要钉一根木条,则他应该选择的加固方案是(
(A)
(B)
(C)
(D)
B
).(A)
(B)
(C)
(D)
答案
2.B
解析
【分析】
长方形属于四边形，四边形具有不稳定性，所以长方形框架容易变形。要加固框架，需要利用三角形的稳定性，即添加木条后让框架内部形成三角形结构，就能提升框架的牢固度。接下来只需逐一判断各选项添加木条后是否形成三角形结构，就能选出正确方案。
【解析】
1. 核心原理：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，加固框架的本质是让框架中形成三角形结构，借助三角形的稳定性避免框架变形。
2. 逐个分析选项：
选项A：添加水平木条后，框架内部都是四边形，没有形成三角形，不能起到加固作用。
选项B：添加斜向木条后，长方形被分割出两个三角形，形成了三角形结构，利用三角形稳定性可以有效加固框架。
选项C：添加竖直木条后，框架内部都是四边形，没有形成三角形，不能起到加固作用。
选项D：没有添加木条，还是原有的不稳定四边形框架，无法加固。
因此只有B选项的方案符合加固要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何性质的生活应用类题目，解题的关键是牢记三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性的性质，结合图示判断结构特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
长方形属于四边形，四边形具有不稳定性，所以长方形框架容易变形。要加固框架，需要利用三角形的稳定性，即添加木条后让框架内部形成三角形结构，就能提升框架的牢固度。接下来只需逐一判断各选项添加木条后是否形成三角形结构，就能选出正确方案。
【解析】
1. 核心原理：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，加固框架的本质是让框架中形成三角形结构，借助三角形的稳定性避免框架变形。
2. 逐个分析选项：
选项A：添加水平木条后，框架内部都是四边形，没有形成三角形，不能起到加固作用。
选项B：添加斜向木条后，长方形被分割出两个三角形，形成了三角形结构，利用三角形稳定性可以有效加固框架。
选项C：添加竖直木条后，框架内部都是四边形，没有形成三角形，不能起到加固作用。
选项D：没有添加木条，还是原有的不稳定四边形框架，无法加固。
因此只有B选项的方案符合加固要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何性质的生活应用类题目，解题的关键是牢记三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性的性质，结合图示判断结构特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
3.已知三角形的三边长分别为5,8,2x−1,则它的周长y的取值范围是
$16＜y＜26$
.答案
3.$16＜y＜26$
解析
【分析】
要得到周长的取值范围，首先需要明确周长是三边之和，已知其中两条边长，第三条边是含x的代数式，因此第一步要根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；再通过周长公式得到周长和第三边的数量关系，代入第三边的范围即可推导出周长的取值范围，注意边长不能等于两边之和或差，否则无法构成三角形，所以范围是开区间。
【解析】
解：根据三角形三边关系，第三边$2x-1$满足：
$8 - 5 ＜ 2x - 1 ＜ 8 + 5$
化简得$3 ＜ 2x - 1 ＜ 13$
三角形周长$y = 5 + 8 + (2x - 1) = (2x - 1) + 13$
给不等式$3 ＜ 2x - 1 ＜ 13$的三边同时加13，得：
$3 + 13 ＜ (2x - 1) + 13 ＜ 13 + 13$
即$16 ＜ y ＜ 26$
【答案】
$16＜y＜26$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的性质，周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题关键是先确定未知边的取值范围，再结合周长公式推导最终范围，要注意构成三角形的边长需要严格满足三边关系，因此取值范围的端点不可取等号。
【难度系数】
0.75
要得到周长的取值范围，首先需要明确周长是三边之和，已知其中两条边长，第三条边是含x的代数式，因此第一步要根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；再通过周长公式得到周长和第三边的数量关系，代入第三边的范围即可推导出周长的取值范围，注意边长不能等于两边之和或差，否则无法构成三角形，所以范围是开区间。
【解析】
解：根据三角形三边关系，第三边$2x-1$满足：
$8 - 5 ＜ 2x - 1 ＜ 8 + 5$
化简得$3 ＜ 2x - 1 ＜ 13$
三角形周长$y = 5 + 8 + (2x - 1) = (2x - 1) + 13$
给不等式$3 ＜ 2x - 1 ＜ 13$的三边同时加13，得：
$3 + 13 ＜ (2x - 1) + 13 ＜ 13 + 13$
即$16 ＜ y ＜ 26$
【答案】
$16＜y＜26$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的性质，周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题关键是先确定未知边的取值范围，再结合周长公式推导最终范围，要注意构成三角形的边长需要严格满足三边关系，因此取值范围的端点不可取等号。
【难度系数】
0.75
4.若$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,则化简$|a+b-c|+|a-c-b|=$
$2b$
.答案
4.$2b$
解析
【分析】
解题时首先明确本题是带绝对值的整式化简问题，第一步需要先判断每个绝对值内代数式的正负：因为a、b、c是三角形的三边长，可根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断绝对值内式子的正负；再结合绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵ a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴ a+b＞c，b+c＞a
∴ a+b-c＞0，a-c-b=a-(b+c)＜0
根据绝对值的性质去绝对值：
|a+b-c|=a+b-c
|a-c-b|=-(a-c-b)=-a+b+c
∴ 原式=(a+b-c)+(-a+b+c)
=a+b-c-a+b+c
=2b
【答案】
2b
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查三角形三边关系和绝对值化简的结合应用，解题关键是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值合并同类项，掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题是带绝对值的整式化简问题，第一步需要先判断每个绝对值内代数式的正负：因为a、b、c是三角形的三边长，可根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断绝对值内式子的正负；再结合绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵ a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴ a+b＞c，b+c＞a
∴ a+b-c＞0，a-c-b=a-(b+c)＜0
根据绝对值的性质去绝对值：
|a+b-c|=a+b-c
|a-c-b|=-(a-c-b)=-a+b+c
∴ 原式=(a+b-c)+(-a+b+c)
=a+b-c-a+b+c
=2b
【答案】
2b
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查三角形三边关系和绝对值化简的结合应用，解题关键是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值合并同类项，掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.如图，O为△ABC内任意一点，连接OA，OB，OC。请判断$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$和OA+OB+OC的大小关系，并说明理由。
答案
5.解:$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$.
理由如下：
∵三角形两边的和大于第三边，
∴在△OAB中,OA+OB＞AB，
在△OAC中,OA+OC＞AC，
在△OBC中,OC+OB＞BC.
不等式左右两边分别相加,得
2(OA+OB+OC)＞AB+AC+BC，
∴$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$.
理由如下：
∵三角形两边的和大于第三边，
∴在△OAB中,OA+OB＞AB，
在△OAC中,OA+OC＞AC，
在△OBC中,OC+OB＞BC.
不等式左右两边分别相加,得
2(OA+OB+OC)＞AB+AC+BC，
∴$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$.
解析
【分析】
要判断$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$和$OA+OB+OC$的大小关系，涉及线段和的大小比较，首先想到用三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边）求解。观察图形可知，OA、OB、OC把$△ ABC$分成了$△ OAB$、$△ OAC$、$△ OBC$三个小三角形，我们可以先在三个小三角形中分别应用三边关系得到对应的不等式，再将不等式相加变形，即可得到两个式子的大小关系。
【解析】
解：$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$，理由如下：
根据三角形两边之和大于第三边，可得：
在$△ OAB$中，$OA+OB＞AB$，
在$△ OAC$中，$OA+OC＞AC$，
在$△ OBC$中，$OB+OC＞BC$。
将上述三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC$，
不等式两边同时除以2，可得：
$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$。
【答案】
$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是拆分出三个小三角形，列出三边关系不等式后合并化简，掌握三角形三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$和$OA+OB+OC$的大小关系，涉及线段和的大小比较，首先想到用三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边）求解。观察图形可知，OA、OB、OC把$△ ABC$分成了$△ OAB$、$△ OAC$、$△ OBC$三个小三角形，我们可以先在三个小三角形中分别应用三边关系得到对应的不等式，再将不等式相加变形，即可得到两个式子的大小关系。
【解析】
解：$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$，理由如下：
根据三角形两边之和大于第三边，可得：
在$△ OAB$中，$OA+OB＞AB$，
在$△ OAC$中，$OA+OC＞AC$，
在$△ OBC$中，$OB+OC＞BC$。
将上述三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC$，
不等式两边同时除以2，可得：
$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$。
【答案】
$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜OA+OB+OC$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是拆分出三个小三角形，列出三边关系不等式后合并化简，掌握三角形三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
