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1.若一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点,则这个三角形是(
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.直角三角形或钝角三角形
A
).A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.直角三角形或钝角三角形
答案
1.A
解析
【分析】
解题时需先明确不同类型三角形的三条高的交点位置，结合题干“高的交点是三角形的一个顶点”的条件逐一排查选项。首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。接下来分别分析三类三角形的高的交点位置：锐角三角形的三条高都在内部，交点也在内部，不符合要求；钝角三角形的两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外，不是三角形的顶点，不符合要求；直角三角形的两条直角边本身就是对应的高，它们的交点就是直角顶点，正好是三角形的一个顶点，符合题意，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析不同三角形高的交点特征：
1. 锐角三角形：三条高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，故排除C选项；
2. 钝角三角形：有两条高落在三角形的外部，三条高的交点在三角形的外部，不属于三角形的顶点，故排除B、D选项；
3. 直角三角形：两条直角边互为对边的高，这两条高的交点就是直角顶点，第三条斜边上的高也经过该顶点，因此三条高的交点就是三角形的直角顶点，符合题干描述。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题考查不同类型三角形的高的位置特征，属于基础概念类题目，熟练掌握各类三角形高的交点位置即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确不同类型三角形的三条高的交点位置，结合题干“高的交点是三角形的一个顶点”的条件逐一排查选项。首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。接下来分别分析三类三角形的高的交点位置：锐角三角形的三条高都在内部，交点也在内部，不符合要求；钝角三角形的两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外，不是三角形的顶点，不符合要求；直角三角形的两条直角边本身就是对应的高，它们的交点就是直角顶点，正好是三角形的一个顶点，符合题意，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析不同三角形高的交点特征：
1. 锐角三角形：三条高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，故排除C选项；
2. 钝角三角形：有两条高落在三角形的外部，三条高的交点在三角形的外部，不属于三角形的顶点，故排除B、D选项；
3. 直角三角形：两条直角边互为对边的高，这两条高的交点就是直角顶点，第三条斜边上的高也经过该顶点，因此三条高的交点就是三角形的直角顶点，符合题干描述。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题考查不同类型三角形的高的位置特征，属于基础概念类题目，熟练掌握各类三角形高的交点位置即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.下列各三角形中,正确画出AC边上的高的是(
D
).答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个是AC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。AC边对应的顶点是B，因此AC边上的高必须满足两个要求：①线段的一个端点是B；②线段与AC所在直线垂直，垂足在AC所在直线上。接下来对照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高需过点B，且与AC所在直线垂直：
选项A：线段BE未与AC垂直，不符合高的定义；
选项B：垂线的端点是A，不是过点B作的AC的垂线，不符合要求；
选项C：线段BE与AB垂直，未与AC垂直，不符合要求；
选项D：线段BE过点B，且BE垂直于AC所在的直线，垂足E在AC的延长线上，符合AC边上高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题关键是牢记高的定义，注意三角形的高是向对边所在直线作垂线，钝角三角形中，钝角对应的两条边上的高的垂足会落在边的延长线上，不要错误认为垂足必须在边的线段上。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是AC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。AC边对应的顶点是B，因此AC边上的高必须满足两个要求：①线段的一个端点是B；②线段与AC所在直线垂直，垂足在AC所在直线上。接下来对照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高需过点B，且与AC所在直线垂直：
选项A：线段BE未与AC垂直，不符合高的定义；
选项B：垂线的端点是A，不是过点B作的AC的垂线，不符合要求；
选项C：线段BE与AB垂直，未与AC垂直，不符合要求；
选项D：线段BE过点B，且BE垂直于AC所在的直线，垂足E在AC的延长线上，符合AC边上高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题关键是牢记高的定义，注意三角形的高是向对边所在直线作垂线，钝角三角形中，钝角对应的两条边上的高的垂足会落在边的延长线上，不要错误认为垂足必须在边的线段上。
【难度系数】
0.8
3.下列说法错误的是(
A.三角形的三条中线都在三角形内部
B.三角形的三条角平分线都在三角形内部
C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
C
).A.三角形的三条中线都在三角形内部
B.三角形的三条角平分线都在三角形内部
C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
答案
3.C
解析
【分析】
要判断各选项的对错，首先需要回忆三角形的中线、角平分线、高的定义，以及锐角、直角、钝角三类三角形中这三类线段的位置特点，逐个分析选项，最终选出错误的说法。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的中线是顶点连接对边中点的线段，无论哪种类型的三角形，三条中线都在三角形内部，该说法正确。
B. 三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点和交点之间的线段，所有三角形的三条角平分线都在三角形内部，该说法正确。
C. 只有一条高在三角形内部的三角形除了钝角三角形，还有直角三角形：直角三角形的两条高与直角边重合，仅斜边上的高在三角形内部，因此“一定是钝角三角形”的表述错误。
D. 三角形的中线、角平分线、高都有两个确定的端点，都属于线段，不是射线或直线，该说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查与三角形有关的线段的性质，易错点是容易忽略直角三角形的高的特征，误认为只有钝角三角形仅1条高在内部，学习时要分类梳理不同类型三角形的三类线段的位置特点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的对错，首先需要回忆三角形的中线、角平分线、高的定义，以及锐角、直角、钝角三类三角形中这三类线段的位置特点，逐个分析选项，最终选出错误的说法。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的中线是顶点连接对边中点的线段，无论哪种类型的三角形，三条中线都在三角形内部，该说法正确。
B. 三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点和交点之间的线段，所有三角形的三条角平分线都在三角形内部，该说法正确。
C. 只有一条高在三角形内部的三角形除了钝角三角形，还有直角三角形：直角三角形的两条高与直角边重合，仅斜边上的高在三角形内部，因此“一定是钝角三角形”的表述错误。
D. 三角形的中线、角平分线、高都有两个确定的端点，都属于线段，不是射线或直线，该说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查与三角形有关的线段的性质，易错点是容易忽略直角三角形的高的特征，误认为只有钝角三角形仅1条高在内部，学习时要分类梳理不同类型三角形的三类线段的位置特点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
4.如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列选项错误的是(
A.∠ADB=∠BDC=90°
B.AE=EC
C.∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC
D.S$_{△ ABC}$=2S$_{△ BCF}$
B
).A.∠ADB=∠BDC=90°
B.AE=EC
C.∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC
D.S$_{△ ABC}$=2S$_{△ BCF}$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义及相关性质，再逐一对应选项判断正误：首先根据高的性质判断A选项，根据角平分线的性质判断C选项，最后根据中线的性质判断B、D选项，注意区分角平分线和中线的功能，不要混淆二者的性质。
【解析】
逐一分析各选项：
A. BD是△ABC的高，根据三角形高的定义，BD⊥AC，因此∠ADB=∠BDC=90°，该选项表述正确，不符合题意；
B. BE是△ABC的角平分线，仅能推出∠ABE=∠CBE，无法得到AE=EC（只有中线才能将对边分为相等的两段），该选项表述错误，符合题意；
C. BE是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，该选项表述正确，不符合题意；
D. BF是△ABC的中线，因此F是AC的中点，AF=FC，△ABF与△BCF等底同高，面积相等，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BCF}=2S_{△ BCF}$，该选项表述正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础题，核心是准确区分三角形三种重要线段的定义和对应性质，避免混淆角平分线和中线的功能即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义及相关性质，再逐一对应选项判断正误：首先根据高的性质判断A选项，根据角平分线的性质判断C选项，最后根据中线的性质判断B、D选项，注意区分角平分线和中线的功能，不要混淆二者的性质。
【解析】
逐一分析各选项：
A. BD是△ABC的高，根据三角形高的定义，BD⊥AC，因此∠ADB=∠BDC=90°，该选项表述正确，不符合题意；
B. BE是△ABC的角平分线，仅能推出∠ABE=∠CBE，无法得到AE=EC（只有中线才能将对边分为相等的两段），该选项表述错误，符合题意；
C. BE是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，该选项表述正确，不符合题意；
D. BF是△ABC的中线，因此F是AC的中点，AF=FC，△ABF与△BCF等底同高，面积相等，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BCF}=2S_{△ BCF}$，该选项表述正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础题，核心是准确区分三角形三种重要线段的定义和对应性质，避免混淆角平分线和中线的功能即可正确作答。
【难度系数】
0.8
5.如果一个三角形的三条高都在三角形内部,那么这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
A
).A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型三角形高的分布特点：我们可以分别回忆锐角、直角、钝角三类三角形的高的位置，再和题干“三条高都在三角形内部”的要求对比，就能选出正确答案。首先思考：锐角三角形的三条高是不是都在内部？直角三角形的两条直角边本身就是高，属于在边上，不符合“都在内部”；钝角三角形有两条高在三角形外部，也不符合，因此只有锐角三角形满足条件。
【解析】
我们按三角形按角分类的三类情况分别分析高的位置：
1. 锐角三角形：三个内角都小于90°，因此从每个顶点向对边作的高，垂足都落在对边的线段上，三条高全部位于三角形内部；
2. 直角三角形：两条直角边互为对边的高，这两条高在三角形的边上，不属于内部，仅有斜边上的高在内部，不符合要求；
3. 钝角三角形：两个锐角所对边上的高，垂足落在对边的延长线上，这两条高位于三角形外部，仅有钝角所对边上的高在内部，不符合要求。
综上，三条高都在内部的三角形是锐角三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高的位置特征，只要熟记相关知识点就能快速解题，注意不要混淆高在内部、边上、外部的对应三角形类型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不同类型三角形高的分布特点：我们可以分别回忆锐角、直角、钝角三类三角形的高的位置，再和题干“三条高都在三角形内部”的要求对比，就能选出正确答案。首先思考：锐角三角形的三条高是不是都在内部？直角三角形的两条直角边本身就是高，属于在边上，不符合“都在内部”；钝角三角形有两条高在三角形外部，也不符合，因此只有锐角三角形满足条件。
【解析】
我们按三角形按角分类的三类情况分别分析高的位置：
1. 锐角三角形：三个内角都小于90°，因此从每个顶点向对边作的高，垂足都落在对边的线段上，三条高全部位于三角形内部；
2. 直角三角形：两条直角边互为对边的高，这两条高在三角形的边上，不属于内部，仅有斜边上的高在内部，不符合要求；
3. 钝角三角形：两个锐角所对边上的高，垂足落在对边的延长线上，这两条高位于三角形外部，仅有钝角所对边上的高在内部，不符合要求。
综上，三条高都在内部的三角形是锐角三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高的位置特征，只要熟记相关知识点就能快速解题，注意不要混淆高在内部、边上、外部的对应三角形类型。
【难度系数】
0.9
6.在$△ ABC$中，AD，AE分别是BC边上的中线、高，其中BC的长为6，AE的长为4，则$△ ABD$的面积是
6
.答案
6.6
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. AD是BC边上的中线，根据三角形中线的性质，可得出BD的长度是BC的一半；2. AE是BC边上的高，说明△ABD以BD为底时，对应的高就是AE的长度。最后代入三角形面积公式即可求出结果，也可以先算出△ABC的面积，再根据中线把三角形分成面积相等的两部分，直接得到△ABD的面积是△ABC面积的一半。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，BC=6
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3
∵AE是BC边上的高，AE=4
∴△ABD的面积 = $\frac{1}{2}$×BD×AE = $\frac{1}{2}$×3×4 = 6
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形中线平分对边、平分三角形面积的性质，结合三角形面积公式求解，解题时注意找准对应底和高即可。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：1. AD是BC边上的中线，根据三角形中线的性质，可得出BD的长度是BC的一半；2. AE是BC边上的高，说明△ABD以BD为底时，对应的高就是AE的长度。最后代入三角形面积公式即可求出结果，也可以先算出△ABC的面积，再根据中线把三角形分成面积相等的两部分，直接得到△ABD的面积是△ABC面积的一半。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，BC=6
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3
∵AE是BC边上的高，AE=4
∴△ABD的面积 = $\frac{1}{2}$×BD×AE = $\frac{1}{2}$×3×4 = 6
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形中线平分对边、平分三角形面积的性质，结合三角形面积公式求解，解题时注意找准对应底和高即可。
【难度系数】
0.9
7.在$△ ABC$中，$AC=5$，$AD$是中线，且$AD=4$，则边$BC$的取值范围是
$2＜BC＜18$
。答案
7.$2＜BC＜18$
解析
【分析】
本题要求边BC的取值范围，已知AD是BC边上的中线，因此BC=2DC，只需要求出DC的取值范围即可。DC是△ADC的一条边，△ADC中已知AC=5、AD=4，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），就能求出DC的范围，再乘以2即可得到BC的取值范围。
【解析】
解：
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DC = $\frac{1}{2}$BC。
在△ADC中，已知AC=5，AD=4，根据三角形三边关系可得：
$AC - AD ＜ DC ＜ AC + AD$
代入数值计算得：$5 - 4 ＜ DC ＜ 5 + 4$，即$1 ＜ DC ＜ 9$。
不等式两边同时乘以2得：$2 ＜ 2DC ＜ 18$，
∴$2 ＜ BC ＜ 18$。
【答案】
$2＜BC＜18$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，解题的关键是利用中线的性质将待求的BC转化为△ADC的边DC的2倍，再结合三角形三边关系求解，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
本题要求边BC的取值范围，已知AD是BC边上的中线，因此BC=2DC，只需要求出DC的取值范围即可。DC是△ADC的一条边，△ADC中已知AC=5、AD=4，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），就能求出DC的范围，再乘以2即可得到BC的取值范围。
【解析】
解：
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DC = $\frac{1}{2}$BC。
在△ADC中，已知AC=5，AD=4，根据三角形三边关系可得：
$AC - AD ＜ DC ＜ AC + AD$
代入数值计算得：$5 - 4 ＜ DC ＜ 5 + 4$，即$1 ＜ DC ＜ 9$。
不等式两边同时乘以2得：$2 ＜ 2DC ＜ 18$，
∴$2 ＜ BC ＜ 18$。
【答案】
$2＜BC＜18$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，解题的关键是利用中线的性质将待求的BC转化为△ADC的边DC的2倍，再结合三角形三边关系求解，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
8.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=100°，则∠BAE的度数是
$25°$
。答案
8.$25°$
解析
【分析】
要计算∠BAE的度数，我们可以结合角平分线的定义逐步推导：首先，AD是△ABC的角平分线，它会将∠BAC平分为两个相等的角，先据此求出∠BAD的度数；其次，AE是△ABD的角平分线，它会将∠BAD再平分为两个相等的角，即可最终求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.角平分线的定义
2.三角形角平分线的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线定义的应用，解题时只需两次运用角平分线平分角的性质，逐步计算即可得到结果，计算时注意不要粗心出错。
【难度系数】
0.85
要计算∠BAE的度数，我们可以结合角平分线的定义逐步推导：首先，AD是△ABC的角平分线，它会将∠BAC平分为两个相等的角，先据此求出∠BAD的度数；其次，AE是△ABD的角平分线，它会将∠BAD再平分为两个相等的角，即可最终求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.角平分线的定义
2.三角形角平分线的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线定义的应用，解题时只需两次运用角平分线平分角的性质，逐步计算即可得到结果，计算时注意不要粗心出错。
【难度系数】
0.85
