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9.如图,在$△ ABC$中,AD是高,E是BC边上一点,图中以AD为高的三角形是
$△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ADE,△ AEC,△ ADC$
.答案
9.$△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ADE,△ AEC,△ ADC$
解析
【分析】
要确定以AD为高的三角形，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AD是高，可得AD⊥BC，因此只要三角形的一个顶点是A，另外两个顶点都在直线BC上，AD就垂直于这个三角形在BC上的底边，即AD是该三角形的高。接下来只需按顺序找出所有以A为顶点、底边在BC上的三角形即可，计数时要按照一定顺序，避免漏数或多数。
【解析】
根据三角形高的定义，已知AD⊥BC，因此所有以A为顶点，且另外两个顶点在BC边上的三角形，都以AD为高。
BC边上共有B、D、E、C四个点，任取两点与点A可构成的三角形分别为：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC，共6个，这些三角形均以AD为高。
【答案】
$△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ADE,△ AEC,△ ADC$
【知识点】
三角形高的定义，图形计数
【点评】
本题核心是理解三角形高的本质：只要线段垂直于三角形某条边所在的直线，就可以作为该三角形这条边上的高。解题时按照固定顺序计数，能有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
要确定以AD为高的三角形，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AD是高，可得AD⊥BC，因此只要三角形的一个顶点是A，另外两个顶点都在直线BC上，AD就垂直于这个三角形在BC上的底边，即AD是该三角形的高。接下来只需按顺序找出所有以A为顶点、底边在BC上的三角形即可，计数时要按照一定顺序，避免漏数或多数。
【解析】
根据三角形高的定义，已知AD⊥BC，因此所有以A为顶点，且另外两个顶点在BC边上的三角形，都以AD为高。
BC边上共有B、D、E、C四个点，任取两点与点A可构成的三角形分别为：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC，共6个，这些三角形均以AD为高。
【答案】
$△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ADE,△ AEC,△ ADC$
【知识点】
三角形高的定义，图形计数
【点评】
本题核心是理解三角形高的本质：只要线段垂直于三角形某条边所在的直线，就可以作为该三角形这条边上的高。解题时按照固定顺序计数，能有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$△ ABC$中，D，E是AC边上的点，且$AD=DE=EC$，则图中面积相等的三角形有
$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE},S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$
.答案
10.$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE},S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$
解析
【分析】
要找面积相等的三角形，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$，若两个三角形高相等，面积比等于底边长的比，若底也相等则面积相等。观察图中以B为顶点、底边落在AC边上的三角形，它们的高都是点B到AC的距离，高完全相同，因此只需比较底边的长度即可判断面积关系。
【解析】
1. 分析$△ ABD$、$△ BDE$、$△ BCE$：
三个三角形的公共顶点为B，底边AD、DE、EC都在AC边上，因此三个三角形的高均为点B到AC边的垂线段长度，即高相等。
已知$AD=DE=EC$，即三个三角形的底边长相等，结合面积公式可得：$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE}$。
2. 分析$△ ABE$和$△ BCD$：
$△ ABE$的底边$AE=AD+DE=2AD$，$△ BCD$的底边$CD=DE+EC=2EC$，由$AD=EC$可得$AE=CD$，且两个三角形的高也为点B到AC边的距离，高相等，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$。
【答案】
$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE},S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题，解题核心是抓住“共顶点、底边共线的三角形高相等”这一特点，通过底边的长度关系快速判断面积关系，注意不要遗漏两组底为2倍小边长的三角形面积相等的情况。
【难度系数】
0.7
要找面积相等的三角形，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$，若两个三角形高相等，面积比等于底边长的比，若底也相等则面积相等。观察图中以B为顶点、底边落在AC边上的三角形，它们的高都是点B到AC的距离，高完全相同，因此只需比较底边的长度即可判断面积关系。
【解析】
1. 分析$△ ABD$、$△ BDE$、$△ BCE$：
三个三角形的公共顶点为B，底边AD、DE、EC都在AC边上，因此三个三角形的高均为点B到AC边的垂线段长度，即高相等。
已知$AD=DE=EC$，即三个三角形的底边长相等，结合面积公式可得：$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE}$。
2. 分析$△ ABE$和$△ BCD$：
$△ ABE$的底边$AE=AD+DE=2AD$，$△ BCD$的底边$CD=DE+EC=2EC$，由$AD=EC$可得$AE=CD$，且两个三角形的高也为点B到AC边的距离，高相等，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$。
【答案】
$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=S_{△ BCE},S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题，解题核心是抓住“共顶点、底边共线的三角形高相等”这一特点，通过底边的长度关系快速判断面积关系，注意不要遗漏两组底为2倍小边长的三角形面积相等的情况。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$AB=10$,$BC=8$,$AC=6$.
求:(1)$△ ABC$的面积;
(2)$CD$的长.
求:(1)$△ ABC$的面积;
(2)$CD$的长.
答案
11.解:(1)在$△ ABC$中,$\because ∠ ACB=90°$,$BC=8$,$AC=6$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$.
(2)在$△ ABC$中,$\because CD⊥ AB$于点$D$,$AB=10$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×10× CD=24$.
$\therefore CD=\frac{24}{5}$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$.
(2)在$△ ABC$中,$\because CD⊥ AB$于点$D$,$AB=10$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×10× CD=24$.
$\therefore CD=\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
(1) 求△ABC的面积时，首先观察到△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，两条直角边AC、BC的长度已知，直接使用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）计算即可。
(2) 求CD的长时，CD是斜边AB边上的高，同一个三角形的面积是固定的，因此可以用“斜边×斜边上的高÷2”也等于△ABC的面积，代入已知的AB长度和第一问求出的面积，列等式即可求解CD的长度。
【解析】
(1) 在△ABC中，$\because ∠ACB=90°$，$BC=8$，$AC=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(2) $\because CD⊥ AB$于点$D$，$AB=10$，
$\therefore S_{△ ABC}$也可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=24$，$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{\dfrac{24}{5}}$
【知识点】
三角形面积计算、等积法求线段长
【点评】
本题是三角形面积公式的基础应用题型，核心是利用同一个三角形面积不变的特点，通过两种不同的面积表达式建立等式求解未知线段，是几何中求高类问题的常用方法，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ABC的面积时，首先观察到△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，两条直角边AC、BC的长度已知，直接使用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）计算即可。
(2) 求CD的长时，CD是斜边AB边上的高，同一个三角形的面积是固定的，因此可以用“斜边×斜边上的高÷2”也等于△ABC的面积，代入已知的AB长度和第一问求出的面积，列等式即可求解CD的长度。
【解析】
(1) 在△ABC中，$\because ∠ACB=90°$，$BC=8$，$AC=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(2) $\because CD⊥ AB$于点$D$，$AB=10$，
$\therefore S_{△ ABC}$也可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，
将$S_{△ ABC}=24$，$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{\dfrac{24}{5}}$
【知识点】
三角形面积计算、等积法求线段长
【点评】
本题是三角形面积公式的基础应用题型，核心是利用同一个三角形面积不变的特点，通过两种不同的面积表达式建立等式求解未知线段，是几何中求高类问题的常用方法，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12.如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在方格的格点上.
解答下列问题:
(1)画线段AD,满足点D在BC边上,且线段AD平分△ABC的面积;
(2)画出△ABC的高AE;
(3)求△ABC,△ACE,△ACD的面积.
解答下列问题:
(1)画线段AD,满足点D在BC边上,且线段AD平分△ABC的面积;
(2)画出△ABC的高AE;
(3)求△ABC,△ACE,△ACD的面积.
答案
12.解:(1)如图,格点D为BC的中点,连接AD,即为所求.
(2)如图,格点E即为垂足,连接AE,即为所求.
(3)如图,连接CE.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AE· BC=\frac{1}{2}×4×4=8$;
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}×4×8=16$;
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AE· CD=\frac{1}{2}×4×2=4$.
解析
【分析】
解题时可按小问逐一思考：
1. 对于平分三角形面积的线段AD：根据“等底同高的两个三角形面积相等”，三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到BC的中点D，连接AD即可。
2. 对于画高AE：三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，观察得BC在水平直线上，因此过A作竖直向下的垂线段，与BC所在直线的交点即为垂足E。
3. 对于面积计算：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，结合方格数出各三角形对应的底和高的长度，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 首先数出BC的长度为4，要使AD平分△ABC的面积，D需为BC中点，因此在BC上找到距离B点2个单位长度的格点D，连接AD，线段AD即为所求。
(2) 过点A向BC所在的水平直线作竖直的垂线段，与BC所在直线交于格点E，AE即为△ABC的高。
(3) 由方格纸每个小正方形边长为1，可得：
高AE=4，BC=4，CE=8，CD是BC的一半即$CD=\frac{1}{2}BC=2$。
根据三角形面积公式计算：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×4×4=8$；
$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×CE×AE=\frac{1}{2}×8×4=16$；
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×CD×AE=\frac{1}{2}×2×4=4$。
【答案】
(1)如图,格点D为BC的中点,连接AD,即为所求.
(2)如图,格点E即为垂足,连接AE,即为所求.
(3)连接CE.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AE· BC=\frac{1}{2}×4×4=8$;
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}×4×8=16$;
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AE· CD=\frac{1}{2}×4×2=4$.
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的画法；三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查三角形的基础性质与运算，解题的关键是利用方格的特点快速确定格点位置和线段长度，熟练掌握三角形中线、高的相关性质以及面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时可按小问逐一思考：
1. 对于平分三角形面积的线段AD：根据“等底同高的两个三角形面积相等”，三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到BC的中点D，连接AD即可。
2. 对于画高AE：三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，观察得BC在水平直线上，因此过A作竖直向下的垂线段，与BC所在直线的交点即为垂足E。
3. 对于面积计算：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，结合方格数出各三角形对应的底和高的长度，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 首先数出BC的长度为4，要使AD平分△ABC的面积，D需为BC中点，因此在BC上找到距离B点2个单位长度的格点D，连接AD，线段AD即为所求。
(2) 过点A向BC所在的水平直线作竖直的垂线段，与BC所在直线交于格点E，AE即为△ABC的高。
(3) 由方格纸每个小正方形边长为1，可得：
高AE=4，BC=4，CE=8，CD是BC的一半即$CD=\frac{1}{2}BC=2$。
根据三角形面积公式计算：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×4×4=8$；
$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×CE×AE=\frac{1}{2}×8×4=16$；
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×CD×AE=\frac{1}{2}×2×4=4$。
【答案】
(1)如图,格点D为BC的中点,连接AD,即为所求.
(2)如图,格点E即为垂足,连接AE,即为所求.
(3)连接CE.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AE· BC=\frac{1}{2}×4×4=8$;
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}×4×8=16$;
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AE· CD=\frac{1}{2}×4×2=4$.
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的画法；三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查三角形的基础性质与运算，解题的关键是利用方格的特点快速确定格点位置和线段长度，熟练掌握三角形中线、高的相关性质以及面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
