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1.如图,已知点O为$△ ABC$的重心,$△ ABO$的面积为10,则四边形ODCE的面积为(
C
). (A)15 (B)20 (C)10 (D)12.5 答案
1.C
解析
【分析】
解题思路：首先明确三角形重心是三条中线的交点，因此图中AD、BE都是△ABC的中线。中线可将三角形分为面积相等的两部分，同时同高的三角形面积之比等于底边长之比，结合重心分中线为2:1的比例关系，先求出各小三角形的面积，再用总面积减去已知小三角形的面积，即可得到四边形的面积。
思考步骤：1. 由重心性质得到中线和线段比例关系；2. 利用同高三角形面积比等于底之比求出△BDO、△AEO的面积；3. 由中线平分三角形面积求出△ABC的总面积；4. 计算四边形ODCE的面积。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D为BC中点，E为AC中点，且$AO:OD=2:1$，$BO:OE=2:1$。
1. 求△BDO的面积：
△ABO和△BDO同高，面积比等于底之比$AO:OD=2:1$，
已知$S_{△ ABO}=10$，因此$S_{△ BDO}=10÷2=5$，
可得$S_{△ ABD}=S_{△ ABO}+S_{△ BDO}=10+5=15$。
∵AD是中线，中线平分三角形面积，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×15=30$。
2. 求△AEO的面积：
△ABO和△AEO同高，面积比等于底之比$BO:OE=2:1$，
因此$S_{△ AEO}=10÷2=5$。
3. 求四边形ODCE的面积：
$S_{四边形ODCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ABO}-S_{△ BDO}-S_{△ AEO}=30-10-5-5=10$。
【答案】C
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积与重心性质结合的基础题，解题关键是掌握中线平分三角形面积、同高三角形面积与底成正比的规律，结合重心的线段比例特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确三角形重心是三条中线的交点，因此图中AD、BE都是△ABC的中线。中线可将三角形分为面积相等的两部分，同时同高的三角形面积之比等于底边长之比，结合重心分中线为2:1的比例关系，先求出各小三角形的面积，再用总面积减去已知小三角形的面积，即可得到四边形的面积。
思考步骤：1. 由重心性质得到中线和线段比例关系；2. 利用同高三角形面积比等于底之比求出△BDO、△AEO的面积；3. 由中线平分三角形面积求出△ABC的总面积；4. 计算四边形ODCE的面积。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D为BC中点，E为AC中点，且$AO:OD=2:1$，$BO:OE=2:1$。
1. 求△BDO的面积：
△ABO和△BDO同高，面积比等于底之比$AO:OD=2:1$，
已知$S_{△ ABO}=10$，因此$S_{△ BDO}=10÷2=5$，
可得$S_{△ ABD}=S_{△ ABO}+S_{△ BDO}=10+5=15$。
∵AD是中线，中线平分三角形面积，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×15=30$。
2. 求△AEO的面积：
△ABO和△AEO同高，面积比等于底之比$BO:OE=2:1$，
因此$S_{△ AEO}=10÷2=5$。
3. 求四边形ODCE的面积：
$S_{四边形ODCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ABO}-S_{△ BDO}-S_{△ AEO}=30-10-5-5=10$。
【答案】C
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积与重心性质结合的基础题，解题关键是掌握中线平分三角形面积、同高三角形面积与底成正比的规律，结合重心的线段比例特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$△ ABC$中,$BD$,$CE$是$△ ABC$的角平分线,$BD$,$CE$相交于点$O$,$∠ ABC=50°$, $∠ ACB=60°$,则$∠ BDC$的度数是(
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
D
).A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确BD是角平分线，根据角平分线的定义可求出∠DBC的度数；再观察∠BDC是△BDC的内角，已知△BDC中另外两个内角∠DBC和∠BCD的度数，利用三角形内角和为180°即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠DBC= $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×50°=25°，
在△BDC中，∠BCD=∠ACB=60°，根据三角形内角和为180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-25°-60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是先利用角平分线得到对应角的度数，再结合三角形内角和公式计算待求角，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先明确BD是角平分线，根据角平分线的定义可求出∠DBC的度数；再观察∠BDC是△BDC的内角，已知△BDC中另外两个内角∠DBC和∠BCD的度数，利用三角形内角和为180°即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠DBC= $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×50°=25°，
在△BDC中，∠BCD=∠ACB=60°，根据三角形内角和为180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-25°-60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是先利用角平分线得到对应角的度数，再结合三角形内角和公式计算待求角，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
3.已知AD是△ABC的高，AD＝5，BD＝6，CD＝2，则△ABC的面积是
10或20
。答案
3.10或20
解析
【分析】
题目仅说明AD是△ABC的高，未明确△ABC的形状，因此高AD的位置存在两种可能：在三角形内部、在三角形外部，需分类讨论。解题时先根据两种情况分别计算底边BC的长度，再代入三角形面积公式即可求出对应面积。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC所在的直线，分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
BC = BD + CD = 6 + 2 = 8
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 8 × 5=20$
2. 当高AD在△ABC外部时，点D在线段BC的延长线上：
BC = BD - CD = 6 - 2 = 4
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 4 × 5=10$
综上，△ABC的面积为10或20。
【答案】
10或20
【知识点】
三角形的高，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解，遇到未明确三角形形状的高的相关问题时，要注意结合高的位置分类讨论。
【难度系数】
0.6
题目仅说明AD是△ABC的高，未明确△ABC的形状，因此高AD的位置存在两种可能：在三角形内部、在三角形外部，需分类讨论。解题时先根据两种情况分别计算底边BC的长度，再代入三角形面积公式即可求出对应面积。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC所在的直线，分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
BC = BD + CD = 6 + 2 = 8
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 8 × 5=20$
2. 当高AD在△ABC外部时，点D在线段BC的延长线上：
BC = BD - CD = 6 - 2 = 4
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 4 × 5=10$
综上，△ABC的面积为10或20。
【答案】
10或20
【知识点】
三角形的高，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解，遇到未明确三角形形状的高的相关问题时，要注意结合高的位置分类讨论。
【难度系数】
0.6
4.如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，则$\frac{DF}{DE}=$
$\frac{4}{3}$
。答案
4.$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形，得到△ABD与△ACD的面积相等；再结合三角形面积公式，分别用AB、DE和AC、DF表示两个三角形的面积，建立等式后代入AB、AC的长度，即可求出DF与DE的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$
∴$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$
约去$\frac{1}{2}$，代入$AB=8\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$得：
$8× DE=6× DF$
整理得$\frac{DF}{DE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法建立线段之间的等量关系，解题的核心是掌握三角形中线平分三角形面积的特点，无需额外计算面积即可快速得到线段比值，是几何中求线段比的常见方法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形，得到△ABD与△ACD的面积相等；再结合三角形面积公式，分别用AB、DE和AC、DF表示两个三角形的面积，建立等式后代入AB、AC的长度，即可求出DF与DE的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$
∴$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$
约去$\frac{1}{2}$，代入$AB=8\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$得：
$8× DE=6× DF$
整理得$\frac{DF}{DE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法建立线段之间的等量关系，解题的核心是掌握三角形中线平分三角形面积的特点，无需额外计算面积即可快速得到线段比值，是几何中求线段比的常见方法。
【难度系数】
0.7
5.在$△ ABC$中，AD是中线，E是AD的中点，F是线段CE上一点，$△ ABC$的面积为20.
(1)如图①，若$CF=\frac{1}{2}CE$，求$△ BCF$的面积；
(2)若$CF=\frac{1}{2}EF$，求$△ BCF$的面积.
(1)如图①，若$CF=\frac{1}{2}CE$，求$△ BCF$的面积；
(2)若$CF=\frac{1}{2}EF$，求$△ BCF$的面积.
答案
5.解:$\because AD$是$△ ABC$的中线,
$△ ABC,△ ACD,△ ABD$是同高三角形,
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20=10$.
$\because E$是$AD$的中点,
$\therefore BE$是$△ ABD$的中线,$CE$是$△ ACD$的中线.
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×10=5$,
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×10=5$.
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=10$.
(1)$\because CF=\frac{1}{2}CE$,
$\therefore BF$是$△ BCE$的中线.
$\therefore S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×10=5$.
(2)如图.$\because CF=\frac{1}{2}EF$,
$\therefore CF=\frac{1}{3}CE$.
$\because △ BCE,△ BCF$是同高三角形,
$\therefore S_{△ BCF}=\frac{1}{3}S_{△ BCE}=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的性质及同高三角形的面积比例关系求解，解题思路如下：首先根据AD是△ABC的中线，得出△ABD与△ACD的面积相等，均为△ABC面积的一半；再由E是AD中点，推出BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，得到△BDE和△CDE的面积，相加即可求出△BCE的面积；最后根据F分CE的线段比例，结合△BCF与△BCE同高，面积比等于对应底的比，就能求出△BCF的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，△ABC、△ABD、△ACD为同高三角形，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×20=10$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×10=5$，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=5+5=10$。
(1)
∵$CF=\frac{1}{2}CE$，即F是CE的中点，BF是△BCE的中线，
∴$S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×10=5$。
(2)
∵$CF=\frac{1}{2}EF$，
∴$CF=\frac{1}{3}CE$，
∵△BCE与△BCF是同高三角形，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△BCF}=\frac{1}{3}S_{△BCE}=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算；等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型习题，重点考查三角形中线分三角形为面积相等的两部分的性质，以及同高三角形面积与底成正比的应用，解题的关键是先求出公共的中间量△BCE的面积，再结合线段比例求解目标面积。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形中线的性质及同高三角形的面积比例关系求解，解题思路如下：首先根据AD是△ABC的中线，得出△ABD与△ACD的面积相等，均为△ABC面积的一半；再由E是AD中点，推出BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，得到△BDE和△CDE的面积，相加即可求出△BCE的面积；最后根据F分CE的线段比例，结合△BCF与△BCE同高，面积比等于对应底的比，就能求出△BCF的面积。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，△ABC、△ABD、△ACD为同高三角形，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×20=10$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×10=5$，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=5+5=10$。
(1)
∵$CF=\frac{1}{2}CE$，即F是CE的中点，BF是△BCE的中线，
∴$S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×10=5$。
(2)
∵$CF=\frac{1}{2}EF$，
∴$CF=\frac{1}{3}CE$，
∵△BCE与△BCF是同高三角形，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△BCF}=\frac{1}{3}S_{△BCE}=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算；等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型习题，重点考查三角形中线分三角形为面积相等的两部分的性质，以及同高三角形面积与底成正比的应用，解题的关键是先求出公共的中间量△BCE的面积，再结合线段比例求解目标面积。
【难度系数】
0.7
