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3.一个等腰三角形的两边长是7 cm和4 cm，那么这个等腰三角形的周长是(
A.15 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.15 cm或18 cm
D
).A.15 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.15 cm或18 cm
答案
3.D
解析
【分析】
本题是等腰三角形求周长的问题，解题思路分为两步：首先，等腰三角形两条腰长度相等，题目没有明确说明7cm和4cm哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况分类讨论；其次，三角形三边需要满足“任意两边之和大于第三边”的关系，所以每种边长组合都要先验证是否能构成三角形，再计算对应的周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长为7cm和4cm，分两种情况讨论：
1. 当腰长为7cm时，三角形三边长分别为7cm、7cm、4cm
验证三边关系：7+4＞7，7+7＞4，满足三角形构成条件，可以构成三角形
此时周长为：7+7+4=18cm
2. 当腰长为4cm时，三角形三边长分别为4cm、4cm、7cm
验证三边关系：4+4＞7，4+7＞4，满足三角形构成条件，可以构成三角形
此时周长为：4+4+7=15cm
综上，该等腰三角形的周长为15cm或18cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，注意要结合三角形三边关系验证边长组合是否合法，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.8
本题是等腰三角形求周长的问题，解题思路分为两步：首先，等腰三角形两条腰长度相等，题目没有明确说明7cm和4cm哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况分类讨论；其次，三角形三边需要满足“任意两边之和大于第三边”的关系，所以每种边长组合都要先验证是否能构成三角形，再计算对应的周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长为7cm和4cm，分两种情况讨论：
1. 当腰长为7cm时，三角形三边长分别为7cm、7cm、4cm
验证三边关系：7+4＞7，7+7＞4，满足三角形构成条件，可以构成三角形
此时周长为：7+7+4=18cm
2. 当腰长为4cm时，三角形三边长分别为4cm、4cm、7cm
验证三边关系：4+4＞7，4+7＞4，满足三角形构成条件，可以构成三角形
此时周长为：4+4+7=15cm
综上，该等腰三角形的周长为15cm或18cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，注意要结合三角形三边关系验证边长组合是否合法，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.8
4.已知三条线段a,b,c组成一个三角形,则a,b,c的长度可以是(
A.3,4,7
B.3,4,8
C.4,6,9
D.5,6,11
C
).A.3,4,7
B.3,4,8
C.4,6,9
D.5,6,11
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先明确三角形三边的判断规则：要判断三条线段能否组成三角形，无需验证所有两边之和大于第三边的情况，只需验证两条较短的线段长度之和大于最长线段的长度即可，因为若两条短边之和都大于长边，其余的两边之和必然大于第三边，接下来逐一验证每个选项即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：比较两条较短边的和与最长边的大小，若和大于最长边，则能构成三角形，否则不能。
对各选项逐一分析：
A. 三条边为3、4、7，两条短边和为$3+4=7$，等于最长边7，无法构成三角形，排除；
B. 三条边为3、4、8，两条短边和为$3+4=7＜8$，小于最长边8，无法构成三角形，排除；
C. 三条边为4、6、9，两条短边和为$4+6=10＞9$，大于最长边9，满足三边关系，可以构成三角形；
D. 三条边为5、6、11，两条短边和为$5+6=11$，等于最长边11，无法构成三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形三边关系的理解与应用，牢记“两条短边之和大于最长边”的简便判断技巧，可快速排除错误选项，需要注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，不能构成三角形。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先明确三角形三边的判断规则：要判断三条线段能否组成三角形，无需验证所有两边之和大于第三边的情况，只需验证两条较短的线段长度之和大于最长线段的长度即可，因为若两条短边之和都大于长边，其余的两边之和必然大于第三边，接下来逐一验证每个选项即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：比较两条较短边的和与最长边的大小，若和大于最长边，则能构成三角形，否则不能。
对各选项逐一分析：
A. 三条边为3、4、7，两条短边和为$3+4=7$，等于最长边7，无法构成三角形，排除；
B. 三条边为3、4、8，两条短边和为$3+4=7＜8$，小于最长边8，无法构成三角形，排除；
C. 三条边为4、6、9，两条短边和为$4+6=10＞9$，大于最长边9，满足三边关系，可以构成三角形；
D. 三条边为5、6、11，两条短边和为$5+6=11$，等于最长边11，无法构成三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形三边关系的理解与应用，牢记“两条短边之和大于最长边”的简便判断技巧，可快速排除错误选项，需要注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，不能构成三角形。
【难度系数】
0.8
5.一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值是(
A.24
B.23
C.22
D.21
B
).A.24
B.23
C.22
D.21
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，要使三角形周长最大，就要让第三边的长度尽可能大，结合第三边是整数的条件，找到符合要求的最大第三边，再计算周长即可。解题思路为：第一步回忆三角形三边关系，第二步列出第三边的取值不等式，第三步确定第三边的最大整数值，第四步计算周长选出对应答案。
【解析】
设该三角形的第三边长为$x$，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$7-5 ＜ x ＜ 7+5$
即$2 ＜ x ＜ 12$
已知第三边长为整数，因此$x$可取的最大值为11。
此时三角形的周长为$5+7+11=23$。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，注意第三边需要同时满足小于两边之和、大于两边之差的要求，再结合整数条件找到最大值即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，要使三角形周长最大，就要让第三边的长度尽可能大，结合第三边是整数的条件，找到符合要求的最大第三边，再计算周长即可。解题思路为：第一步回忆三角形三边关系，第二步列出第三边的取值不等式，第三步确定第三边的最大整数值，第四步计算周长选出对应答案。
【解析】
设该三角形的第三边长为$x$，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$7-5 ＜ x ＜ 7+5$
即$2 ＜ x ＜ 12$
已知第三边长为整数，因此$x$可取的最大值为11。
此时三角形的周长为$5+7+11=23$。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，注意第三边需要同时满足小于两边之和、大于两边之差的要求，再结合整数条件找到最大值即可求解。
【难度系数】
0.7
6.下列是四组线段长的数据:①2,2,4;②3,3,5;③3,5,5;④5,6,7.其中不能组成等腰三角形的是
①④
.(填序号)答案
6.①④
解析
【分析】
要判断各组线段能否组成等腰三角形，需同时满足两个条件：一是至少有两条边长度相等（符合等腰三角形的定义），二是三条线段满足三角形三边关系（较短两边之和大于最长边，能构成三角形）。解题时先逐一排查每组是否有相等的边，再验证是否满足三边关系，两个条件有一个不满足就不能组成等腰三角形。
【解析】
我们逐个分析四组线段：
①组2,2,4：有两条长度为2的相等边，但2+2=4，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，因此不能组成等腰三角形；
②组3,3,5：有两条长度为3的相等边，且3+3=6＞5，满足三角形三边关系，能组成等腰三角形；
③组3,5,5：有两条长度为5的相等边，且3+5=8＞5，满足三角形三边关系，能组成等腰三角形；
④组5,6,7：三条边长度各不相等，不符合等腰三角形“至少有两边相等”的定义，不能组成等腰三角形。
综上，不能组成等腰三角形的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是基础概念应用题，需要注意判断等腰三角形的前提是三条线段能先构成三角形，避免只看边是否相等就直接判定的易错点。
【难度系数】
0.7
要判断各组线段能否组成等腰三角形，需同时满足两个条件：一是至少有两条边长度相等（符合等腰三角形的定义），二是三条线段满足三角形三边关系（较短两边之和大于最长边，能构成三角形）。解题时先逐一排查每组是否有相等的边，再验证是否满足三边关系，两个条件有一个不满足就不能组成等腰三角形。
【解析】
我们逐个分析四组线段：
①组2,2,4：有两条长度为2的相等边，但2+2=4，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，因此不能组成等腰三角形；
②组3,3,5：有两条长度为3的相等边，且3+3=6＞5，满足三角形三边关系，能组成等腰三角形；
③组3,5,5：有两条长度为5的相等边，且3+5=8＞5，满足三角形三边关系，能组成等腰三角形；
④组5,6,7：三条边长度各不相等，不符合等腰三角形“至少有两边相等”的定义，不能组成等腰三角形。
综上，不能组成等腰三角形的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是基础概念应用题，需要注意判断等腰三角形的前提是三条线段能先构成三角形，避免只看边是否相等就直接判定的易错点。
【难度系数】
0.7
7.已知一个三角形的三边长分别是$a,b,c$，其中$a$和$b$满足方程组$\begin{cases}2a - 3b = 5, \\ b - a = -3.\end{cases}$若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是 ______ 。
答案
7.9
解析
【分析】
解题时首先需要求解关于a、b的二元一次方程组，得到两条边的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边c的取值范围；最后结合周长为整数的条件，确定c的具体值，进而计算三角形的周长。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}2a - 3b = 5, \\ b - a = -3.\end{cases}$
对第二个方程变形得：$a = b + 3$，将其代入第一个方程：
$2(b + 3) - 3b = 5$
展开计算：$2b + 6 - 3b = 5$
化简得：$-b = -1$，解得$b = 1$
将$b=1$代入$a = b + 3$，得$a = 1 + 3 = 4$
第二步：根据三角形三边关系确定c的范围
三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，因此：
$a - b ＜ c ＜ a + b$，代入a=4、b=1得：
$4 - 1 ＜ c ＜ 4 + 1$，即$3 ＜ c ＜ 5$
第三步：结合周长为整数的条件求周长
三角形周长为$a + b + c = 4 + 1 + c = 5 + c$
已知周长为整数，5为整数，因此c必须为整数
在$3 ＜ c ＜ 5$范围内的整数只有4，即$c=4$
所以周长为$5 + 4 = 9$
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程组求解；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是基础综合题，将方程组求解和三角形性质相结合，解题的核心是先求出已知两边的长度，再利用三边关系限定第三边的取值范围，最后结合整数条件得到最终结果，需要注意三角形三边关系的准确应用，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求解关于a、b的二元一次方程组，得到两条边的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边c的取值范围；最后结合周长为整数的条件，确定c的具体值，进而计算三角形的周长。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}2a - 3b = 5, \\ b - a = -3.\end{cases}$
对第二个方程变形得：$a = b + 3$，将其代入第一个方程：
$2(b + 3) - 3b = 5$
展开计算：$2b + 6 - 3b = 5$
化简得：$-b = -1$，解得$b = 1$
将$b=1$代入$a = b + 3$，得$a = 1 + 3 = 4$
第二步：根据三角形三边关系确定c的范围
三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，因此：
$a - b ＜ c ＜ a + b$，代入a=4、b=1得：
$4 - 1 ＜ c ＜ 4 + 1$，即$3 ＜ c ＜ 5$
第三步：结合周长为整数的条件求周长
三角形周长为$a + b + c = 4 + 1 + c = 5 + c$
已知周长为整数，5为整数，因此c必须为整数
在$3 ＜ c ＜ 5$范围内的整数只有4，即$c=4$
所以周长为$5 + 4 = 9$
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程组求解；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是基础综合题，将方程组求解和三角形性质相结合，解题的核心是先求出已知两边的长度，再利用三边关系限定第三边的取值范围，最后结合整数条件得到最终结果，需要注意三角形三边关系的准确应用，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
8.如图，高压电塔的建筑设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是
三角形具有稳定性
. [图]答案
8.三角形具有稳定性
解析
【分析】
这道题考查三角形特有性质的实际应用，解题思路如下：首先明确题目核心是“三角形结构更稳固”，回忆三角形和其他多边形的性质差异，三角形边长确定后形状、大小完全固定，而四边形等多边形易变形，对应到三角形的稳定性这一基础性质即可得出答案，无需复杂推导，只要熟记相关性质就能作答。
【解析】
三角形具有特有的稳定性：当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就会完全固定，不会轻易发生形变，而四边形等其他多边形不具备这一性质，边长确定时仍可改变形状、容易变形。高压电塔需要稳固、不易晃动变形的结构，因此采用三角形结构，利用的就是三角形的稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于基础性质应用类题目，将数学知识和生产生活场景结合，侧重考查对基础知识点的识记，只要掌握三角形的相关特性就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形特有性质的实际应用，解题思路如下：首先明确题目核心是“三角形结构更稳固”，回忆三角形和其他多边形的性质差异，三角形边长确定后形状、大小完全固定，而四边形等多边形易变形，对应到三角形的稳定性这一基础性质即可得出答案，无需复杂推导，只要熟记相关性质就能作答。
【解析】
三角形具有特有的稳定性：当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就会完全固定，不会轻易发生形变，而四边形等其他多边形不具备这一性质，边长确定时仍可改变形状、容易变形。高压电塔需要稳固、不易晃动变形的结构，因此采用三角形结构，利用的就是三角形的稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于基础性质应用类题目，将数学知识和生产生活场景结合，侧重考查对基础知识点的识记，只要掌握三角形的相关特性就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
9.长度为3,4,5,6的四根木棒首尾连接,组成一个三角形(木棒可以连接,但不允许折断),组成的三角形的最长边长为
8
.答案
9.8
解析
【分析】
解题依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。要得到最长的边长，需要将两根木棒拼接成一条边，剩余两根各作为一条边，优先尝试拼接出更长的边，再验证是否满足三边关系即可：先从最大的可能拼接长度开始尝试，若不符合就降低拼接长度，直到找到符合三边关系的最长边。
【解析】
四根木棒组成三角形，需将其中两根拼接为一条边，剩余两根分别作为另外两条边，根据三角形三边关系判断：
1. 先尝试最长的可能拼接长度9：
若拼接6和3得到边长9，剩余边为4、5，此时4+5=9，两边之和等于第三边，不能构成三角形；
若拼接5和4得到边长9，剩余边为3、6，此时3+6=9，同样不符合三边关系，排除长度9。
2. 再尝试拼接长度8：
例如拼接3和5得到边长8，剩余边为4、6，此时三边为4、6、8，验证得4+6＞8、4+8＞6、6+8＞4，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 尝试比8更长的拼接长度（如10、11）时，剩余两边的和均小于拼接边长度，不符合要求。
综上，组成的三角形的最长边长为8。
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题需要灵活运用三角形三边关系解题，易错点是容易忽略两边之和等于第三边时无法构成三角形，误将最长边判断为9，解题时要注意逐一验证拼接方案是否符合要求。
【难度系数】
0.6
解题依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。要得到最长的边长，需要将两根木棒拼接成一条边，剩余两根各作为一条边，优先尝试拼接出更长的边，再验证是否满足三边关系即可：先从最大的可能拼接长度开始尝试，若不符合就降低拼接长度，直到找到符合三边关系的最长边。
【解析】
四根木棒组成三角形，需将其中两根拼接为一条边，剩余两根分别作为另外两条边，根据三角形三边关系判断：
1. 先尝试最长的可能拼接长度9：
若拼接6和3得到边长9，剩余边为4、5，此时4+5=9，两边之和等于第三边，不能构成三角形；
若拼接5和4得到边长9，剩余边为3、6，此时3+6=9，同样不符合三边关系，排除长度9。
2. 再尝试拼接长度8：
例如拼接3和5得到边长8，剩余边为4、6，此时三边为4、6、8，验证得4+6＞8、4+8＞6、6+8＞4，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 尝试比8更长的拼接长度（如10、11）时，剩余两边的和均小于拼接边长度，不符合要求。
综上，组成的三角形的最长边长为8。
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题需要灵活运用三角形三边关系解题，易错点是容易忽略两边之和等于第三边时无法构成三角形，误将最长边判断为9，解题时要注意逐一验证拼接方案是否符合要求。
【难度系数】
0.6
10.一个三角形三边长分别为$a,b,c$,则$a+|b-c|$与$2a$的大小关系是
$a+|b-c|＜2a$
.(第8题)答案
10.$a+|b-c|＜2a$
解析
【分析】
要比较$a+|b-c|$与$2a$的大小，首先回忆三角形三边的不等关系：三角形任意两边之差小于第三边，由此可先得到$|b-c|$和$a$的大小关系，再结合不等式的基本性质，在不等式两边同时加$a$，即可推导出两个式子的大小关系。
【解析】
根据三角形三边的关系：三角形任意两边的差小于第三边，可得：
$|b - c| ＜ a$
根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上同一个数$a$，不等号方向不变，因此：
$a + |b - c| ＜ a + a$
即$a + |b - c| ＜ 2a$
【答案】
$a+|b-c|＜2a$
【知识点】
1.三角形三边关系
2.绝对值的性质
3.不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系与不等式性质的结合应用，解题的核心是熟练掌握三角形三边的不等关系，对绝对值表示的两边差的范围进行判断，整体计算量小，思路清晰明确。
【难度系数】
0.8
要比较$a+|b-c|$与$2a$的大小，首先回忆三角形三边的不等关系：三角形任意两边之差小于第三边，由此可先得到$|b-c|$和$a$的大小关系，再结合不等式的基本性质，在不等式两边同时加$a$，即可推导出两个式子的大小关系。
【解析】
根据三角形三边的关系：三角形任意两边的差小于第三边，可得：
$|b - c| ＜ a$
根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上同一个数$a$，不等号方向不变，因此：
$a + |b - c| ＜ a + a$
即$a + |b - c| ＜ 2a$
【答案】
$a+|b-c|＜2a$
【知识点】
1.三角形三边关系
2.绝对值的性质
3.不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系与不等式性质的结合应用，解题的核心是熟练掌握三角形三边的不等关系，对绝对值表示的两边差的范围进行判断，整体计算量小，思路清晰明确。
【难度系数】
0.8
11.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,满足$|a-4|+(b-6)^2=0$,且$c$为方程$|c-4|=2$的解,求$△ ABC$的周长,并判断$△ ABC$的形状.
答案
11.解:
∵$|a-4|+(b-6)^2=0$,
∴$a=4,b=6$.
∵$|c-4|=2$,
∴$c=6$ 或 $c=2$.
∵4,6,2三条线段不能组成三角形，
∴$△ABC$的三边长分别为4,6,6，
∴$△ABC$的周长$=4+6+6=16$.
∵$△ABC$的两条边相等，
∴$△ABC$是等腰三角形.
∵$|a-4|+(b-6)^2=0$,
∴$a=4,b=6$.
∵$|c-4|=2$,
∴$c=6$ 或 $c=2$.
∵4,6,2三条线段不能组成三角形，
∴$△ABC$的三边长分别为4,6,6，
∴$△ABC$的周长$=4+6+6=16$.
∵$△ABC$的两条边相等，
∴$△ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
解题时首先利用非负数的性质：绝对值和平方数都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0，即可求出a、b的长度；接着解绝对值方程得到c的两个可能取值；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”筛选出符合条件的c值；最后计算三角形周长，并根据边长特点判断三角形形状。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|a-4|+(b-6)^2=0$，
∴$a-4=0$，$b-6=0$，
解得$a=4$，$b=6$。
∵$c$为方程$|c-4|=2$的解，
∴$c-4=2$或$c-4=-2$，
解得$c=6$或$c=2$。
当$c=2$时，三边长为2、4、6，
∵$2+4=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，不能构成三角形，故舍去；
当$c=6$时，三边长为4、6、6，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$4+6+6=16$，
又
∵该三角形有两条边长均为6，长度相等，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为16，是等腰三角形。
【知识点】
1.非负数的性质
2.三角形三边关系
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的易错点是求出c的两个取值后，忽略了验证三边是否能构成三角形，导致出现多解错误，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用非负数的性质：绝对值和平方数都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0，即可求出a、b的长度；接着解绝对值方程得到c的两个可能取值；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”筛选出符合条件的c值；最后计算三角形周长，并根据边长特点判断三角形形状。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|a-4|+(b-6)^2=0$，
∴$a-4=0$，$b-6=0$，
解得$a=4$，$b=6$。
∵$c$为方程$|c-4|=2$的解，
∴$c-4=2$或$c-4=-2$，
解得$c=6$或$c=2$。
当$c=2$时，三边长为2、4、6，
∵$2+4=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，不能构成三角形，故舍去；
当$c=6$时，三边长为4、6、6，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$4+6+6=16$，
又
∵该三角形有两条边长均为6，长度相等，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为16，是等腰三角形。
【知识点】
1.非负数的性质
2.三角形三边关系
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的易错点是求出c的两个取值后，忽略了验证三边是否能构成三角形，导致出现多解错误，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.如图①,在△ABC中,P是三角形内一点,连接BP和CP.
解答下列问题:
(1)如图①,从B点到C点,有三条线路:
BC;BP+PC;BA+AC.
三条线路中最短的是
(2)另外两条线路较短的是
请完成如下说明.
如图②,延长BP交AC于点D.
在△ABD中,∵两边的和大于第三边,
∴BA+AD＞
在△DCP中,
∴
不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞
即BA+PD+(
∴
解答下列问题:
(1)如图①,从B点到C点,有三条线路:
BC;BP+PC;BA+AC.
三条线路中最短的是
BC
,理由是两点之间线段最短
;(2)另外两条线路较短的是
BP+PC
,即BA+AC
＞BP+PC
.请完成如下说明.
如图②,延长BP交AC于点D.
在△ABD中,∵两边的和大于第三边,
∴BA+AD＞
BD
.在△DCP中,
∵两边的和大于第三边
,∴
PD
+DC
＞PC.不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞
BD
+PC
,即BA+PD+(
AD
+DC
)＞(BP
+PD
)+PC,∴
BA
+AC
＞BP
+PC
.答案
12.(1)BC;两点之间线段最短
(2)BP+PC;BA+AC＞BP+PC.
理由:延长BP交AC于点D.
在△ABD中,
∵两边的和大于第三边，
∴BA+AD＞BD.
在△DCP中,
∵两边的和大于第三边，
∴PD+DC＞PC.
不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞BD+PC，
即BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC，
∴BA+AC＞BP+PC.
(2)BP+PC;BA+AC＞BP+PC.
理由:延长BP交AC于点D.
在△ABD中,
∵两边的和大于第三边，
∴BA+AD＞BD.
在△DCP中,
∵两边的和大于第三边，
∴PD+DC＞PC.
不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞BD+PC，
即BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC，
∴BA+AC＞BP+PC.
解析
【分析】
第(1)问判断最短路径时，可直接运用线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，快速得出结论。第(2)问比较两条折线的长短，我们可以通过作辅助线延长BP交AC于点D，将图形拆分为△ABD和△DCP两个小三角形，分别在两个三角形中运用“三角形两边之和大于第三边”的性质得到两个不等式，再将两个不等式左右两边分别相加，结合AD+DC=AC、BD=BP+PD进行等量代换，化简后即可得到两条线路的长短关系，顺着题目给出的推导步骤代入对应结论即可完成填空。
【解析】
(1) 从B点到C点的三条线路中，根据“两点之间线段最短”的性质，线段BC是两点B、C之间的最短连线，因此最短线路为BC。
(2) 剩余两条线路为BP+PC和BA+AC，推导长短关系如下：
延长BP交AC于点D，
在△ABD中，由三角形两边之和大于第三边，得BA+AD＞BD；
在△DCP中，由三角形两边之和大于第三边，得PD+DC＞PC；
将两个不等式左右两边分别相加，可得BA+AD+PD+DC＞BD+PC；
由于AD+DC=AC，BD=BP+PD，代入上式变形为BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC；
两边同时减去PD，最终可得BA+AC＞BP+PC，因此较短的线路是BP+PC。
【答案】
(1)BC；两点之间线段最短
(2)BP+PC；BA+AC＞BP+PC
理由:延长BP交AC于点D.
在△ABD中,
∵两边的和大于第三边，
∴BA+AD＞BD.
在△DCP中,
∵两边的和大于第三边，
∴PD+DC＞PC.
不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞BD+PC，
即BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC，
∴BA+AC＞BP+PC.
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系；不等式基本性质
【点评】
本题是三角形线段不等关系的基础题，既考察了基础几何性质的识记，也需要掌握构造辅助线拆分三角形、结合几何性质与不等式运算推导不等关系的方法，是后续复杂三角形不等关系证明的基础，需熟练掌握此类推导逻辑。
【难度系数】
0.8
第(1)问判断最短路径时，可直接运用线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，快速得出结论。第(2)问比较两条折线的长短，我们可以通过作辅助线延长BP交AC于点D，将图形拆分为△ABD和△DCP两个小三角形，分别在两个三角形中运用“三角形两边之和大于第三边”的性质得到两个不等式，再将两个不等式左右两边分别相加，结合AD+DC=AC、BD=BP+PD进行等量代换，化简后即可得到两条线路的长短关系，顺着题目给出的推导步骤代入对应结论即可完成填空。
【解析】
(1) 从B点到C点的三条线路中，根据“两点之间线段最短”的性质，线段BC是两点B、C之间的最短连线，因此最短线路为BC。
(2) 剩余两条线路为BP+PC和BA+AC，推导长短关系如下：
延长BP交AC于点D，
在△ABD中，由三角形两边之和大于第三边，得BA+AD＞BD；
在△DCP中，由三角形两边之和大于第三边，得PD+DC＞PC；
将两个不等式左右两边分别相加，可得BA+AD+PD+DC＞BD+PC；
由于AD+DC=AC，BD=BP+PD，代入上式变形为BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC；
两边同时减去PD，最终可得BA+AC＞BP+PC，因此较短的线路是BP+PC。
【答案】
(1)BC；两点之间线段最短
(2)BP+PC；BA+AC＞BP+PC
理由:延长BP交AC于点D.
在△ABD中,
∵两边的和大于第三边，
∴BA+AD＞BD.
在△DCP中,
∵两边的和大于第三边，
∴PD+DC＞PC.
不等式左右两边分别相加得
BA+AD+PD+DC＞BD+PC，
即BA+PD+(AD+DC)＞(BP+PD)+PC，
∴BA+AC＞BP+PC.
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系；不等式基本性质
【点评】
本题是三角形线段不等关系的基础题，既考察了基础几何性质的识记，也需要掌握构造辅助线拆分三角形、结合几何性质与不等式运算推导不等关系的方法，是后续复杂三角形不等关系证明的基础，需熟练掌握此类推导逻辑。
【难度系数】
0.8
