1. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表XX年，六十年为一个循环。我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号。天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数。以2026年为例：天干为：$(2026 - 3) ÷ 10 = 202 ······ 3$；地支为：$(2026 - 3) ÷ 12 = 168 ······ 7$。对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年。

依据上述规律推断，2100年应为农历 （）

A.壬午年
B.壬申年
C.庚午年
D.庚申年

1.D 【点拨】$(2100-3)÷10=209······7$，$(2100-3)÷12=174······9$，所以2100年应为农历庚申年。

2.如图，小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动，第①个图案由2个等边三角形组成，第②个图案由6个等边三角形组成，第③个图案由10个等边三角形组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为（）


A.17
B.22
C.27
D.32

2.B 【点拨】由题目可知:第①个图案由2个等边三角形组成,即$2=2×1$;第②个图案由6个等边三角形组成,即$6=2×2+2×1$;第③个图案由10个等边三角形组成,即$10=2×3+2×2······$则第$n$个图案中所包含的等边三角形的个数为:$2n+2(n-1)=4n-2$,所以第⑥个图案中,边长为1的等边三角形的个数为$4×6-2=22$.故选B.

3. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“$9×\overline{1n}$的数字规律（$n$为正整数）”的问题，当$2≤ n≤9$时，记$9×\overline{1n}=\overline{abc}$，$\overline{1n}$表示两位数$10+n$，$\overline{abc}$表示三位数$100a+10b+c$，则下列用含$n$的代数式表示$b,c$正确的是（）

A.$b=2-n,c=n+6$
B.$b=4-n,c=10-n$
C.$b=n-2,c=n+6$
D.$b=n-2,c=10-n$

3.D 【点拨】因为$2≤ n≤9$,且$n$为正整数,所以当$n=2$时,$9×12=108$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=3$时,$9×13=117$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=4$时,$9×14=126$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=5$时,$9×15=135$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=6$时,$9×16=144$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=7$时,$9×17=153$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=8$时,$9×18=162$,$b=n-2$,$c=10-n$;当$n=9$时,$9×19=171$,$b=n-2$,$c=10-n$.综上所述,用含$n$的代数式表示$b,c$正确的是D.

4. 下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：$a_1 = \frac{1}{2} - (1 + \frac{-1}{2})$；
第2个数：$a_2 = \frac{1}{3} - (1 + \frac{-1}{2})[1 + \frac{(-1)^2}{3}] · [1 + \frac{(-1)^3}{4}]$；
第3个数：$a_3 = \frac{1}{4} - (1 + \frac{-1}{2})[1 + \frac{(-1)^2}{3}] · [1 + \frac{(-1)^3}{4}][1 + \frac{(-1)^4}{5}][1 + \frac{(-1)^5}{6}]$；
$···$；
第n个数：$a_n = \frac{1}{n+1} - (1 + \frac{-1}{2})[1 + \frac{(-1)^2}{3}] · [1 + \frac{(-1)^3}{4}] ··· [1 + \frac{(-1)^{2n-1}}{2n}]$；
那么，在第9个数、第10个数、第11个数、第12个数中，最小的数是（）

A.第9个数
B.第10个数
C.第11个数
D.第12个数

4.D 【点拨】第1个数:$a_1=\frac{1}{2}-(1+\frac{-1}{2})=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$,第2个数:$a_2=\frac{1}{3}-(1+\frac{-1}{2})[1+\frac{(-1)^2}{3}][1+\frac{(-1)^3}{4}]=\frac{1}{3}-(1-\frac{1}{2})×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{3}-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$;第3个数:$a_3=\frac{1}{4}-(1+\frac{-1}{2})[1+\frac{(-1)^2}{3}][1+\frac{(-1)^3}{4}][1+\frac{(-1)^4}{5}][1+\frac{(-1)^5}{6}]=\frac{1}{4}-(1-\frac{1}{2})×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{6}{5}×\frac{5}{6}=\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$;…;第$n$个数:$a_n=\frac{1}{n+1}-(1+\frac{-1}{2})[1+\frac{(-1)^2}{3}][1+\frac{(-1)^3}{4}]...[1+\frac{(-1)^{2n-1}}{2n}]=\frac{1}{n+1}-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}$.所以第9个数、第10个数、第11个数、第12个数分别为$a_9=\frac{1}{10}-\frac{1}{2}$,$a_{10}=\frac{1}{11}-\frac{1}{2}$,$a_{11}=\frac{1}{12}-\frac{1}{2}$,$a_{12}=\frac{1}{13}-\frac{1}{2}$,所以最小的数为第12个数.故选D.

5. 如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动1个单位长度，第一次跳动1个单位长度到达数1的位置，第二次跳动1个单位长度到达数2的位置，第三次跳动1个单位长度到达数3的位置，第四次跳动1个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达$P_1$的位置，点P从0跳动21次到达$P_2$的位置，…，点$P_1$，$P_2$，$P_3$，…，$P_n$在一条直线上，则点P从0跳动次可到达$P_{14}$的位置。

5.903 【点拨】由题意知,点P从0跳动$1+2+3=6$(次)到$P_1$,从$P_1$跳动$4+5+6=15$(次)到$P_2$,…,归纳可得:从一个点跳到下一个点跳动的次数是三个连续的正整数的和.因为$14×3=42$,所以点P从0跳动$1+2+3+4+···+42=\frac{43×42}{2}=903$(次)可到达$P_{14}$的位置.

6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式。

①$1=1$ ②$1+2=\frac{(1+2)×2}{2}=3$ ③$1+2+3=\frac{(1+3)×3}{2}=6$ ④ …
（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式。

①$1=1^2$ ②$1+3=2^2$ ③$3+6=3^2$ ④$6+10=4^2$ ⑤ …
（3）通过猜想，写出（2）中与第$n$个点阵相对应的等式：。

6.(1)$1+2+3+4=\frac{(1+4)×4}{2}=10$
(2)$10+15=5^2$
(3)$\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=n^2$