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7. 阅读材料，解答下列各题.
通过计算容易发现：①$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}$；②$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5}$；③$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7}$.
(1) 观察上面的三个算式，直接写出算式：$\frac{1}{7} - \frac{1}{8} =$
(2) 运用你观察到的规律，计算$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \dots + \frac{1}{2025 × 2026}$的值.
(3) 探究上述的运算规律，试计算$\frac{1}{1 × 3} + \frac{1}{3 × 5} + \dots + \frac{1}{2025 × 2027}$的值.
通过计算容易发现：①$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}$；②$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5}$；③$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7}$.
(1) 观察上面的三个算式，直接写出算式：$\frac{1}{7} - \frac{1}{8} =$
$\frac{1}{7}×\frac{1}{8}$
.(2) 运用你观察到的规律，计算$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \dots + \frac{1}{2025 × 2026}$的值.
(3) 探究上述的运算规律，试计算$\frac{1}{1 × 3} + \frac{1}{3 × 5} + \dots + \frac{1}{2025 × 2027}$的值.
答案
7.【解】(1)$\frac{1}{7}×\frac{1}{8}$
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
(3)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{2025×2027}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2027})$
$=\frac{1013}{2027}$.
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
(3)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{2025×2027}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2027})$
$=\frac{1013}{2027}$.
8. 先观察 $1-\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2},1-\frac{1}{3^2}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3},1-\frac{1}{4^2}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4},\dots,$ 探究规律解答下列各题：
(1) $1-\frac{1}{n^2}=$
(2) $(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})=$
(3) 计算：$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2026^2}).$
(1) $1-\frac{1}{n^2}=$
$\frac{n-1}{n}$
$×$ $\frac{n+1}{n}$
$;$(2) $(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})=$
$\frac{5}{8}$
$;$(3) 计算：$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2026^2}).$
答案
8.【解】(1)$\frac{n-1}{n}$;$\frac{n+1}{n}$
(2)$\frac{5}{8}$ 【点拨】$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$.
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2026^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}=\frac{2027}{4052}$.
(2)$\frac{5}{8}$ 【点拨】$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$.
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2026^2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}=\frac{2027}{4052}$.
9. [2025·青岛月考]观察下列等式：
$2^2 - 0^2 = 4×1$，
$4^2 - 2^2 = 4×3$，
$6^2 - 4^2 = 4×5$，
…
解答下列各题：
(1)填空：$8^2 - 6^2 =$
(2)第$n$个等式为：
(3)利用上述结论计算：$\frac{1}{28}×(1+3+5+…+223)$。
$2^2 - 0^2 = 4×1$，
$4^2 - 2^2 = 4×3$，
$6^2 - 4^2 = 4×5$，
…
解答下列各题：
(1)填空：$8^2 - 6^2 =$
4
$×$ 7
；(2)第$n$个等式为：
$(2n)^2-(2n-2)^2=4(2n-1)$
；(3)利用上述结论计算：$\frac{1}{28}×(1+3+5+…+223)$。
答案
9.【解】(1)4;7
(2)$(2n)^2-(2n-2)^2=4(2n-1)$
(3)$\frac{1}{28}×(1+3+5+\dots+223)$
$=\frac{1}{28}×4×(1+3+5+\dots+223)÷4$
$=\frac{1}{112}×(4×1+4×3+4×5+\dots+4×223)$
$=\frac{1}{112}×(2^2-0^2+4^2-2^2+6^2-4^2+\dots+224^2-222^2)$
$=\frac{1}{112}×224^2$
$=448$.
(2)$(2n)^2-(2n-2)^2=4(2n-1)$
(3)$\frac{1}{28}×(1+3+5+\dots+223)$
$=\frac{1}{28}×4×(1+3+5+\dots+223)÷4$
$=\frac{1}{112}×(4×1+4×3+4×5+\dots+4×223)$
$=\frac{1}{112}×(2^2-0^2+4^2-2^2+6^2-4^2+\dots+224^2-222^2)$
$=\frac{1}{112}×224^2$
$=448$.
