4. 如图,把$△ ABO$向上平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1O_1$;把$△ ABO$沿$y$轴翻折,得到$△ A_2B_2O_2$;把$△ ABO$绕点$O$按顺时针方向旋转$90°$,得到$△ A_3B_3O_3$.
(1) 已知点$A,B,O$的坐标分别为$(-4,3),(-6,-1),(0,0)$,分别写出点$A_1,B_1,O_1,A_2,B_2,O_2,A_3,B_3,O_3$的坐标;
(2) 如果$P(x_0,y_0)$为$△ ABO$中任意一点,经上述平移、翻折、旋转后分别得到点$P_1,P_2,P_3$,写出点$P_1,P_2,P_3$的坐标.

解：
(1) 向上平移3个单位长度时，点的横坐标不变，纵坐标加3，可得：
$A_1(-4,6)$，$B_1(-6,2)$，$O_1(0,3)$；
沿$y$轴翻折时，点的纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数，可得：
$A_2(4,3)$，$B_2(6,-1)$，$O_2(0,0)$；
绕点$O$按顺时针方向旋转$90°$时，点$(x,y)$的对应点坐标为$(y,-x)$，可得：
$A_3(3,4)$，$B_3(-1,6)$，$O_3(0,0)$。
(2) 对任意点$P(x_0,y_0)$：
向上平移3个单位后，$P_1$的坐标为$(x_0,y_0+3)$；
沿$y$轴翻折后，$P_2$的坐标为$(-x_0,y_0)$；
绕点$O$顺时针旋转$90°$后，$P_3$的坐标为$(y_0,-x_0)$。

【分析】
本题需要结合三种不同图形变换对应的坐标变化规律求解。首先明确每种变换的坐标特征：①向上平移时，横坐标不变，纵坐标加上平移的单位长度；②沿y轴翻折即关于y轴对称，此时纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数；③绕原点O顺时针旋转90°时，原坐标$(x,y)$的对应坐标为$(y,-x)$。先将已知的A、B、O三点坐标分别代入三种变换规则，即可得到(1)问各对应点坐标，再将特殊点的规律推广到任意点P，就能得到(2)问的结果。
【解析】
(1) ①向上平移3个单位长度：横坐标不变，纵坐标加3。
代入点坐标得：$A_1(-4,3+3)=(-4,6)$，$B_1(-6,-1+3)=(-6,2)$，$O_1(0,0+3)=(0,3)$；
②沿y轴翻折：纵坐标不变，横坐标取相反数。
代入点坐标得：$A_2(-(-4),3)=(4,3)$，$B_2(-(-6),-1)=(6,-1)$，$O_2(-0,0)=(0,0)$；
③绕点O顺时针旋转90°：原坐标$(x,y)$对应变为$(y,-x)$。
代入点坐标得：$A_3(3,-(-4))=(3,4)$，$B_3(-1,-(-6))=(-1,6)$，$O_3(0,-0)=(0,0)$。
(2) 对任意点$P(x_0,y_0)$，根据上述变换规则：
向上平移3个单位后，横坐标不变、纵坐标加3，得$P_1(x_0,y_0+3)$；
沿y轴翻折后，纵坐标不变、横坐标取相反数，得$P_2(-x_0,y_0)$；
绕点O顺时针旋转90°后，按变换规则得$P_3(y_0,-x_0)$。
【答案】
(1) $A_1(-4,6)$，$B_1(-6,2)$，$O_1(0,3)$；$A_2(4,3)$，$B_2(6,-1)$，$O_2(0,0)$；$A_3(3,4)$，$B_3(-1,6)$，$O_3(0,0)$。
(2) $P_1(x_0,y_0+3)$，$P_2(-x_0,y_0)$，$P_3(y_0,-x_0)$。
【知识点】
1. 平移的坐标变化
2. 轴对称的坐标变化
3. 旋转的坐标变化
【点评】
本题考查平面直角坐标系中常见图形变换对应的坐标变化规律，解题核心是牢记三种变换的坐标变换规则，渗透了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握规则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.75

5. 点A在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点B(-3,0)且平行于y轴.（1）写出点A关于y轴的对称点A₁的坐标，点A关于直线l的对称点A₂的坐标；（2）若平面直角坐标系中有一点P(m,n)，其中m＞0，点P关于y轴的对称点为P₁，点P₁关于直线l的对称点为P₂，求线段P₁P₂的长（用含m的式子表示）.（第5题）

解：
(1) 由图得点A的坐标为$(1,3)$，
点A关于$y$轴的对称点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-1,3)}$，
点A关于直线$l$（即直线$x=-3$）的对称点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(-7,3)}$。
(2) $\because$ 点$P(m,n)$关于$y$轴的对称点为$P_1$，
$\therefore P_1$的坐标为$(-m,n)$。
$\because$ 直线$l$的解析式为$x=-3$，点$P_1$与$P_2$关于直线$l$对称，
$\therefore P_1$、$P_2$的中点在直线$x=-3$上，设$P_2$的横坐标为$x_2$，
则 $\frac{-m + x_2}{2} = -3$，
解得 $x_2 = m - 6$，即$P_2$的坐标为$(m-6,n)$。
$\because P_1$、$P_2$纵坐标相同，
$\therefore P_1P_2 = |x_2 - (-m)| = |(m-6) + m| = |2m - 6|$。
综上，线段$P_1P_2$的长为$|2m-6|$（或$2|m-3|$）。

【分析】
解题前先确定点A的坐标，再结合对称的坐标规律分步解题：
1. 第一问：首先读出点A的坐标，关于y轴对称的点满足“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，即可得到A₁的坐标；直线l是x=-3，关于平行于y轴的直线对称的点纵坐标不变，两点到直线l的水平距离相等，由此计算得到A₂的坐标。
2. 第二问：先根据关于y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再根据关于直线x=-3对称的规律求出P₂的横坐标，由于P₁和P₂纵坐标相同，线段长度等于两点横坐标差的绝对值，代入化简即可。
【解析】
(1) 由图可知点A的坐标为$(1,3)$：
① 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，因此A₁的坐标为$(-1,3)$；
② 直线l为过点B(-3,0)且平行于y轴的直线，即直线解析式为$x=-3$。点A到直线$x=-3$的水平距离为$1 - (-3)=4$，因此对称点A₂的横坐标为$-3 -4=-7$，纵坐标不变仍为3，即A₂的坐标为$(-7,3)$。
(2) 第一步：求P关于y轴的对称点P₁的坐标
点$P(m,n)$（$m＞0$）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，因此$P_1$的坐标为$(-m,n)$。
第二步：求P₁关于直线$x=-3$的对称点P₂的坐标
设P₂的横坐标为$x_2$，由于两点关于直线$x=-3$对称，因此两点横坐标的中点在直线$x=-3$上，可得等式：
$\frac{-m + x_2}{2} = -3$
解得：$x_2 = m -6$，P₂纵坐标与P₁相同为n，因此$P_2(m-6,n)$。
第三步：计算线段$P_1P_2$的长度
由于$P_1$和$P_2$纵坐标相同，两点在水平线上，线段长度等于横坐标差的绝对值：
$P_1P_2 = |x_2 - (-m)| = |(m-6) + m| = |2m -6|$（也可化简为$2|m-3|$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,3)}$，$\boldsymbol{(-7,3)}$；
(2) 线段$P_1P_2$的长为$\boldsymbol{|2m-6|}$（或$\boldsymbol{2|m-3|}$）。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，关于平行于y轴的直线对称的坐标特征，水平线段长度计算
【点评】
本题重点考查轴对称变换对应的坐标变化规律，解题核心是掌握不同对称方式下坐标的变化特点，关于平行于y轴的直线对称时，要利用“两点到对称轴的距离相等”的性质计算横坐标，最后求线段长度时注意添加绝对值保证结果的非负性，能有效检验学生对坐标与轴对称知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7