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在平面直角坐标系中描出下列各点：$A(-3,-3),B(-2,-2),C(-1,-1),D(0,0),E(1,1),F(2,2)$。
说一说：这些点的位置有什么规律？你还能再找到一些类似的点吗？
说一说：这些点的位置有什么规律？你还能再找到一些类似的点吗？
答案
解：
在平面直角坐标系中依次描出点$A(-3,-3)$、$B(-2,-2)$、$C(-1,-1)$、$D(0,0)$、$E(1,1)$、$F(2,2)$。
规律：这些点的横坐标与纵坐标相等，所有点都在第一、三象限的角平分线上。
类似的点举例：$(3,3)$、$(-4,-4)$、$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$等，任意横纵坐标相等的点都符合该特征。
在平面直角坐标系中依次描出点$A(-3,-3)$、$B(-2,-2)$、$C(-1,-1)$、$D(0,0)$、$E(1,1)$、$F(2,2)$。
规律：这些点的横坐标与纵坐标相等，所有点都在第一、三象限的角平分线上。
类似的点举例：$(3,3)$、$(-4,-4)$、$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$等，任意横纵坐标相等的点都符合该特征。
解析
【分析】
解题时首先要掌握平面直角坐标系的描点方法：对每个点，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别过x轴、y轴对应刻度作垂线，交点即为所求点，依次描完所有点后，先观察每个点的横、纵坐标的数值关系，再将点连线观察位置特征，最后根据总结的规律写出符合特征的点即可。
【解析】
1. 描点操作：建立平面直角坐标系，对每个点，根据横坐标在x轴找到对应刻度作竖直垂线，根据纵坐标在y轴找到对应刻度作水平垂线，两条垂线的交点就是要描的点，按照该方法依次描出A(-3,-3)、B(-2,-2)、C(-1,-1)、D(0,0)、E(1,1)、F(2,2)。
2. 规律推导：观察所有点的坐标，可发现每个点的横坐标和纵坐标数值完全相等；将这些点连接成线后，可看到这条线正好是第一、三象限的角平分线。
3. 类似点寻找：只要满足横坐标等于纵坐标的点，都符合该位置规律，可随意写出多个符合该条件的点。
【答案】
在平面直角坐标系中依次描出点$A(-3,-3)$、$B(-2,-2)$、$C(-1,-1)$、$D(0,0)$、$E(1,1)$、$F(2,2)$。
规律：这些点的横坐标与纵坐标相等，所有点都在第一、三象限的角平分线上。
类似的点举例：$(3,3)$、$(-4,-4)$、$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$等，任意横纵坐标相等的点都符合该特征。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题通过动手描点、观察归纳的过程，考察对平面直角坐标系中点的坐标和位置对应关系的理解，属于基础规律探究类题型，掌握该规律可为后续函数相关知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要掌握平面直角坐标系的描点方法：对每个点，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别过x轴、y轴对应刻度作垂线，交点即为所求点，依次描完所有点后，先观察每个点的横、纵坐标的数值关系，再将点连线观察位置特征，最后根据总结的规律写出符合特征的点即可。
【解析】
1. 描点操作：建立平面直角坐标系，对每个点，根据横坐标在x轴找到对应刻度作竖直垂线，根据纵坐标在y轴找到对应刻度作水平垂线，两条垂线的交点就是要描的点，按照该方法依次描出A(-3,-3)、B(-2,-2)、C(-1,-1)、D(0,0)、E(1,1)、F(2,2)。
2. 规律推导：观察所有点的坐标，可发现每个点的横坐标和纵坐标数值完全相等；将这些点连接成线后，可看到这条线正好是第一、三象限的角平分线。
3. 类似点寻找：只要满足横坐标等于纵坐标的点，都符合该位置规律，可随意写出多个符合该条件的点。
【答案】
在平面直角坐标系中依次描出点$A(-3,-3)$、$B(-2,-2)$、$C(-1,-1)$、$D(0,0)$、$E(1,1)$、$F(2,2)$。
规律：这些点的横坐标与纵坐标相等，所有点都在第一、三象限的角平分线上。
类似的点举例：$(3,3)$、$(-4,-4)$、$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$等，任意横纵坐标相等的点都符合该特征。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题通过动手描点、观察归纳的过程，考察对平面直角坐标系中点的坐标和位置对应关系的理解，属于基础规律探究类题型，掌握该规律可为后续函数相关知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
例1 请在如图4-10所示的平面直角坐标系中描出点$A(-2,4),B(3,4)$，画直线AB.若点C为直线AB上的任意一点，则点C的纵坐标是多少？
想一想：
（1）如果一些点在平行于$x$轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？
（2）如果一些点在平行于$y$轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？
想一想：
（1）如果一些点在平行于$x$轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？
（2）如果一些点在平行于$y$轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？
答案
解：
在给定的平面直角坐标系中，描出横坐标为-2、纵坐标为4的点A，描出横坐标为3、纵坐标为4的点B，过A、B两点作直线，即得到直线AB。
由点A、B的坐标可知两点纵坐标均为4，直线AB平行于x轴，因此直线AB上任意一点C的纵坐标是4。
（1）如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标都相等。
（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标都相等。
在给定的平面直角坐标系中，描出横坐标为-2、纵坐标为4的点A，描出横坐标为3、纵坐标为4的点B，过A、B两点作直线，即得到直线AB。
由点A、B的坐标可知两点纵坐标均为4，直线AB平行于x轴，因此直线AB上任意一点C的纵坐标是4。
（1）如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标都相等。
（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标都相等。
解析
【分析】
解题时首先要掌握平面直角坐标系内描点的方法：根据点的横坐标对应x轴的数值、纵坐标对应y轴的数值，即可定位点的位置。描出A、B两点后观察坐标特征，发现两点纵坐标相同，可知直线AB平行于x轴，由此可推出直线上任意点的纵坐标特点。再通过该结论类推平行于y轴的直线上点的横坐标规律即可。
【解析】
1. 描点画直线：根据点的坐标定义，在x轴上找到-2的位置、y轴上找到4的位置，描出点$A(-2,4)$；同理在x轴找到3、y轴找到4的位置，描出点$B(3,4)$，过A、B两点画直线，得到直线AB。
2. 求点C的纵坐标：观察A、B两点坐标，两点纵坐标均为4，因此直线AB平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相等，所以直线AB上任意一点C的纵坐标是4。
3. 规律总结：
（1）平行于x轴的直线上的点，到x轴的距离相等，因此这些点的纵坐标都相等；
（2）平行于y轴的直线上的点，到y轴的距离相等，因此这些点的横坐标都相等。
【答案】
点C的纵坐标是4；
(1) 这些点的纵坐标都相等；
(2) 这些点的横坐标都相等。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，该规律是后续学习函数图像、图形坐标变换的重要基础，熟练掌握后可快速解决相关坐标判断问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要掌握平面直角坐标系内描点的方法：根据点的横坐标对应x轴的数值、纵坐标对应y轴的数值，即可定位点的位置。描出A、B两点后观察坐标特征，发现两点纵坐标相同，可知直线AB平行于x轴，由此可推出直线上任意点的纵坐标特点。再通过该结论类推平行于y轴的直线上点的横坐标规律即可。
【解析】
1. 描点画直线：根据点的坐标定义，在x轴上找到-2的位置、y轴上找到4的位置，描出点$A(-2,4)$；同理在x轴找到3、y轴找到4的位置，描出点$B(3,4)$，过A、B两点画直线，得到直线AB。
2. 求点C的纵坐标：观察A、B两点坐标，两点纵坐标均为4，因此直线AB平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相等，所以直线AB上任意一点C的纵坐标是4。
3. 规律总结：
（1）平行于x轴的直线上的点，到x轴的距离相等，因此这些点的纵坐标都相等；
（2）平行于y轴的直线上的点，到y轴的距离相等，因此这些点的横坐标都相等。
【答案】
点C的纵坐标是4；
(1) 这些点的纵坐标都相等；
(2) 这些点的横坐标都相等。
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，该规律是后续学习函数图像、图形坐标变换的重要基础，熟练掌握后可快速解决相关坐标判断问题。
【难度系数】
0.9
例2 写出一些纵坐标等于横坐标的绝对值的点的坐标，并把这些点画在如图4-11所示的平面直角坐标系中，然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来。多画一些这样的点，你有什么发现？
图4-11
图4-11
答案
解：
符合条件的点的坐标可举例为：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$。
在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，多取符合条件的点绘制后可以得到发现：
所有纵坐标等于横坐标的绝对值的点组成的图形由两条射线构成，两条射线的公共端点为坐标原点：其中y轴右侧的射线在第一象限内，从原点出发向右上方延伸，与x轴正方向的夹角为$45°$；y轴左侧的射线在第二象限内，从原点出发向左上方延伸，与x轴负方向的夹角为$45°$，整个图形关于y轴对称，图形上所有点的纵坐标都不小于0。
符合条件的点的坐标可举例为：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$。
在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，多取符合条件的点绘制后可以得到发现：
所有纵坐标等于横坐标的绝对值的点组成的图形由两条射线构成，两条射线的公共端点为坐标原点：其中y轴右侧的射线在第一象限内，从原点出发向右上方延伸，与x轴正方向的夹角为$45°$；y轴左侧的射线在第二象限内，从原点出发向左上方延伸，与x轴负方向的夹角为$45°$，整个图形关于y轴对称，图形上所有点的纵坐标都不小于0。
解析
【分析】
解题时首先要把题目中“纵坐标等于横坐标的绝对值”的文字条件转化为数学关系，即对于平面内的点(x,y)，满足y=|x|。接下来可以先选取一系列方便计算、描点的横坐标值（如-4到4的整数），根据y=|x|算出对应的纵坐标，得到符合条件的点的坐标。随后在坐标系中描出这些点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线连接，再补充更多非整数横坐标的对应点后，观察连线得到的图形，总结特征即可。
【解析】
1. 转化条件：纵坐标等于横坐标的绝对值，即点的坐标满足关系$ y=\left|x\right| $。
2. 取值计算点坐标：
分别取x为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4，根据$ y=\left|x\right| $计算可得对应点依次为：(-4,4)、(-3,3)、(-2,2)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，也可选取更多x值（如±0.5、±1.5等）得到更多符合条件的点。
3. 描点连线：在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，观察图形特征。
【答案】
符合条件的点的坐标可举例为：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$。
在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，多取符合条件的点绘制后可以得到发现：
所有纵坐标等于横坐标的绝对值的点组成的图形由两条射线构成，两条射线的公共端点为坐标原点：其中y轴右侧的射线在第一象限内，从原点出发向右上方延伸，与x轴正方向的夹角为$45°$；y轴左侧的射线在第二象限内，从原点出发向左上方延伸，与x轴负方向的夹角为$45°$，整个图形关于y轴对称，图形上所有点的纵坐标都不小于0。
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 绝对值的性质
3. 描点作图
【点评】
本题将文字描述的坐标关系和实际作图结合，既考查了对绝对值性质、点的坐标相关知识的掌握，也锻炼了动手作图和观察总结图形特征的能力，能帮助大家理解数形结合的思想，感受坐标和几何图形之间的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把题目中“纵坐标等于横坐标的绝对值”的文字条件转化为数学关系，即对于平面内的点(x,y)，满足y=|x|。接下来可以先选取一系列方便计算、描点的横坐标值（如-4到4的整数），根据y=|x|算出对应的纵坐标，得到符合条件的点的坐标。随后在坐标系中描出这些点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线连接，再补充更多非整数横坐标的对应点后，观察连线得到的图形，总结特征即可。
【解析】
1. 转化条件：纵坐标等于横坐标的绝对值，即点的坐标满足关系$ y=\left|x\right| $。
2. 取值计算点坐标：
分别取x为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4，根据$ y=\left|x\right| $计算可得对应点依次为：(-4,4)、(-3,3)、(-2,2)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，也可选取更多x值（如±0.5、±1.5等）得到更多符合条件的点。
3. 描点连线：在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，观察图形特征。
【答案】
符合条件的点的坐标可举例为：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$。
在平面直角坐标系中描出上述各点，按横坐标从小到大的顺序用光滑的线顺次连接，多取符合条件的点绘制后可以得到发现：
所有纵坐标等于横坐标的绝对值的点组成的图形由两条射线构成，两条射线的公共端点为坐标原点：其中y轴右侧的射线在第一象限内，从原点出发向右上方延伸，与x轴正方向的夹角为$45°$；y轴左侧的射线在第二象限内，从原点出发向左上方延伸，与x轴负方向的夹角为$45°$，整个图形关于y轴对称，图形上所有点的纵坐标都不小于0。
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 绝对值的性质
3. 描点作图
【点评】
本题将文字描述的坐标关系和实际作图结合，既考查了对绝对值性质、点的坐标相关知识的掌握，也锻炼了动手作图和观察总结图形特征的能力，能帮助大家理解数形结合的思想，感受坐标和几何图形之间的对应关系。
【难度系数】
0.8
