画$△ ABC$，使$∠ A=30°$，$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$. 你画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？

解：
画法如下：
1. 作∠MAN = 30°；
2. 在射线AM上截取AB = 3 cm；
3. 以点B为圆心，2 cm长为半径画弧，该弧与射线AN交于两个不同的点；
4. 连接点B与上述任意一个交点，所得三角形均满足题设要求。
题中给出的条件是两边及其中一边的对角分别相等，该条件不符合全等三角形的SAS判定规则，不能判定三角形全等，满足条件的三角形共有两种不同的形状，因此你画的三角形与其他同学画的三角形不一定全等。

【分析】
解题时先按给定条件梳理画图思路：第一步先作已知角∠A=30°，第二步在角的一条边上截取长度为3cm的AB，第三步确定点C的位置：已知BC=2cm，因此以B为圆心、2cm为半径画弧，可发现弧与∠A的另一条边有2个不同交点，说明满足条件的三角形有2种不同形状。再结合全等三角形的判定规则分析：两边及其中一边的对角相等（即SSA）不属于全等三角形的判定定理，因此符合条件的三角形不一定全等。
【解析】
画图步骤：
1. 作∠MAN = 30°；
2. 在射线AM上截取AB = 3 cm；
3. 以点B为圆心，2 cm长为半径画弧，该弧与射线AN交于两个不同的点；
4. 连接点B与上述任意一个交点，所得三角形均满足题设要求。
全等判断：
题中给出的条件是两边及其中一边的对角分别相等，该条件不符合全等三角形的SAS判定规则，没有对应的全等判定定理，满足条件的三角形共有两种不同的形状，因此画出的三角形与其他同学画的三角形不一定全等。
【答案】
不一定全等
【知识点】
1. 尺规作三角形 2. 全等三角形的判定
【点评】
本题通过动手操作直观考查对全等三角形判定条件的理解，核心是明确“两边及其中一边的对角相等（SSA）”不能判定两个三角形全等，需注意区分SSA和SAS的适用条件，避免判定全等时混淆规则。
【难度系数】
0.7

例 如图1-11,AC⊥CB,DB⊥CB,AB⊥DE,垂足分别为C,B,F,AB=DE,E是BC的中点.
（1）观察并猜想BD与BC有何数量关系,并证明你的猜想；
（2）已知BD=6,求AC的长.

证明：(1) 猜想$BD=BC$。
∵ $AC⊥ CB$，$DB⊥ CB$，$AB⊥ DE$，
∴ $∠ C = ∠ DBE = ∠ EFB = 90°$，
∴ $∠ D + ∠ DEB = 90°$，$∠ ABC + ∠ DEB = 90°$，
∴ $∠ D = ∠ ABC$。
在$△ ABC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ C = ∠ DBE, \\∠ ABC = ∠ D, \\AB = DE,\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ EDB$（AAS），
∴ $BD = BC$。
(2) 解：
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC$。
由(1)得$BD=BC$，$△ ABC≌△ EDB$，
又∵ $BD=6$，
∴ $BC=6$，$AC=BE$，
∴ $BE = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∴ $AC=3$。

【分析】
（1）要判断BD和BC的数量关系，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。首先根据题目给出的多个垂直条件，利用“同角的余角相等”推出∠ABC=∠D，再结合已知的直角相等和AB=DE的条件，用AAS证明△ABC≌△EDB，根据全等三角形对应边相等即可得到BD=BC。
（2）已知BD的长度，结合第一问的结论可得BC的长度，再根据E是BC中点得到BE的长度，利用全等三角形对应边相等可知AC=BE，即可求出AC的长。
【解析】
(1) 猜想：$BD=BC$，证明如下：
∵ $AC⊥ CB$，$DB⊥ CB$，$AB⊥ DE$，
∴ $∠ C = ∠ DBE = ∠ EFB = 90°$，
∴ $∠ D + ∠ DEB = 90°$，$∠ ABC + ∠ DEB = 90°$，
∴ $∠ D = ∠ ABC$。
在$△ ABC$和$△ EDB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ C = ∠ DBE \\∠ ABC = ∠ D \\AB = DE\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ EDB$（AAS），
∴ $BD = BC$。
(2) 解：
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC$。
由(1)得$BD=BC$，$△ ABC≌△ EDB$，
又
∵ $BD=6$，
∴ $BC=6$，$AC=BE$，
∴ $BE = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∴ $AC=3$。
【答案】
（1）$BD=BC$；
（2）$AC$的长为$3$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 线段中点的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，找到三角形全等的条件，再结合全等的性质和中点的性质求解线段长度，能够有效训练学生的逻辑推导能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.7

1. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）有三个角相等的两个三角形全等；（）
（2）面积相等的两个三角形全等；（）
（3）有两边及其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等；（）
（4）有一个锐角相等且有一条直角边相等的两个直角三角形全等。（）

解：
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√

2.（1）如图，已知$AD=AB$，$∠ C=∠ E$，$∠ CDE=55°$，则$∠ ABE=$°；

[第2(1)题]
（2）如图，点$D,E,F,B$在一条直线上，$AB// CD$，$AE// CF$，且$AE=CF$，已知$BD=10$，$BF=2$，则$EF=$；

[第2(2)题]

解：(1) 在△ADC和△ABE中，
$\begin{cases}∠C = ∠E \\∠A = ∠A \\AD = AB\end{cases}$
∴△ADC ≌ △ABE（AAS）
∴∠ADC = ∠ABE
∵∠CDE = 55°，
∴∠ADC = 180° - ∠CDE = 125°
∴∠ABE = $\boldsymbol{125}$°
(2) ∵AB//CD，
∴∠D = ∠B
∵AE//CF，
∴∠AED = ∠CFB
在△AED和△CFB中，
$\begin{cases}∠D = ∠B \\∠AED = ∠CFB \\AE = CF\end{cases}$
∴△AED ≌ △CFB（AAS）
∴DE = BF = 2
∴EF = BD - DE - BF = 10 - 2 - 2 = $\boldsymbol{6}$

【分析】
(1) 解题时先观察已知条件：有一组角相等∠C=∠E、一组边相等AD=AB，还有两个三角形的公共角∠A，符合AAS全等判定条件，可先证△ADC和△ABE全等，全等后对应角相等，再结合∠CDE与∠ADC是邻补角，即可求出∠ABE的度数。
(2) 首先根据平行线的性质可推导得到两组内错角相等，再结合已知AE=CF，符合AAS全等判定条件，可证△AED和△CFB全等，得到DE=BF，最后根据线段的和差关系即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 在△ADC和△ABE中，
$\begin{cases}∠C = ∠E \\∠A = ∠A \\AD = AB\end{cases}$
∴△ADC ≌ △ABE（AAS）
∴∠ADC = ∠ABE
∵∠CDE = 55°，∠ADC与∠CDE互为邻补角
∴∠ADC = 180° - ∠CDE = 180° - 55° = 125°
∴∠ABE = 125°
(2)
∵AB//CD，
∴∠D = ∠B（两直线平行，内错角相等）
∵AE//CF，
∴∠AED = ∠CFB（两直线平行，内错角相等）
在△AED和△CFB中，
$\begin{cases}∠D = ∠B \\∠AED = ∠CFB \\AE = CF\end{cases}$
∴△AED ≌ △CFB（AAS）
∴DE = BF = 2
∴EF = BD - DE - BF = 10 - 2 - 2 = 6
【答案】
(1) 125；(2) 6
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
这两道题是全等三角形应用的基础常考题，解题核心是结合已知条件（含平行线推导的角相等）找到三角形全等的判定依据，再利用全等的性质求解对应角或线段长度，熟练掌握全等判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8