3. 如图，在$△ ABC$中，$M$是边$BC$的中点，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$BD=CE$，$MD=ME$。求证：$∠ B=∠ C$。

证明：
∵ M是边BC的中点，
∴ BM = CM。
在△BDM和△CEM中，
$\{\begin{array}{l}BD = CE, \\MD = ME, \\BM = CM,\end{array} $
∴ △BDM ≌ △CEM（SSS），
∴ ∠B = ∠C。

【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等得到。首先观察到∠B、∠C分别在△BDM和△CEM中，先根据M是BC中点的性质，得到BM=CM，再结合题目给出的BD=CE、MD=ME的已知条件，可凑齐三组对应边相等，满足“边边边”的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ M是边BC的中点，
∴ BM = CM。
在△BDM和△CEM中，
$\{\begin{array}{l}BD = CE, \\MD = ME, \\BM = CM,\end{array} $
∴ △BDM ≌ △CEM（SSS），
∴ ∠B = ∠C。
【答案】
∠B=∠C
【知识点】
中点的性质；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是找准待证角所在的三角形，结合已知条件和中点性质得到三组对应边相等，进而利用全等判定定理证明三角形全等得到对应角相等，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9

4. 如图，AB=CB，AD=CD. 求证：$∠ A=∠ C$. （第4题）

证明：连接BD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SSS），
∴ ∠A = ∠C。

【分析】
要证明∠A=∠C，可利用全等三角形对应角相等的性质推导。已知AB=CB、AD=CD，且△ABD和△CBD有公共边BD，因此我们可以通过连接BD构造两个三角形，借助“边边边（SSS）”判定定理证明两个三角形全等，进而得到对应角相等的结论。
【解析】
首先连接辅助线BD，观察△ABD和△CBD：
1. 由题目已知条件可得AB=CB，AD=CD；
2. BD是两个三角形的公共边，因此BD=BD；
3. 两个三角形三组对应边分别相等，可根据SSS判定△ABD≌△CBD；
4. 根据全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠A=∠C。
【答案】
证明：连接BD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SSS），
∴ ∠A = ∠C。
【知识点】
SSS证全等；全等三角形的性质；辅助线构造
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，核心考查全等三角形的判定与性质，解题关键是想到连接公共边BD作为辅助线，凑齐SSS判定全等的条件，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85

5. 如图，点B,D,C在一条直线上，AB=AD，BC=DE，AC=AE.
（1）求证：∠CAE=∠BAD.
（2）已知∠BAD=42°，求∠CDE的度数.

（1）证明：
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$
即 $∠ CAE = ∠ BAD$
---
（2）解：
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADB$，
$\because ∠ BAD=42°$，
$\therefore ∠ B = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 42°}{2}=69°$，
由$△ ABC ≌ △ ADE$，得$∠ ADE = ∠ B = 69°$，
$\because$ 点$B,D,C$在同一直线上，
$\therefore ∠ ADB + ∠ ADE + ∠ CDE = 180°$，
$\therefore ∠ CDE = 180° - ∠ ADB - ∠ ADE = 180° - 69° - 69° = 42°$
答：$∠ CDE$的度数为$42°$。

【分析】
（1）要证∠CAE=∠BAD，首先观察已知条件给出了三组对应边相等，可先通过SSS判定△ABC≌△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE，再让两个角同时减去公共角∠DAC，即可得到待证结论。
（2）已知AB=AD，△ABD为等腰三角形，结合已知∠BAD的度数可先求出底角∠B、∠ADB的度数；再利用全等三角形对应角相等得到∠ADE=∠B，最后根据B、D、C共线构成平角，用平角的度数减去∠ADB与∠ADE的度数和，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
（1）证明：
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠BAC = ∠DAE$
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$
即 $∠CAE = ∠BAD$
（2）解：
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠B = ∠ADB$，
$\because ∠BAD=42°$，
$\therefore ∠B = \frac{180° - ∠BAD}{2} = \frac{180° - 42°}{2}=69°$，
由$△ ABC ≌ △ ADE$，得$∠ADE = ∠B = 69°$，
$\because$ 点$B,D,C$在同一直线上，
$\therefore ∠ADB + ∠ADE + ∠CDE = 180°$，
$\therefore ∠CDE = 180° - ∠ADB - ∠ADE = 180° - 69° - 69° = 42°$
【答案】
（1）∠CAE=∠BAD得证；（2）$\boldsymbol{42°}$
【知识点】
SSS证全等、全等三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形全等与等腰三角形的综合基础题，解题关键是先利用三边相等判定三角形全等，再结合全等对应角相等、等腰三角形等边对等角、平角的性质逐步推导，做题时要注意梳理角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB=A'B'，BC=B'C'，AD=A'D'.
（1）求证：△ABC≌△A'B'C'.
（2）用文字语言叙述第（1）题的结论.

（1）证明：
∵AD，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又∵$BC=B'C'$，
∴$BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\AD=A'D' \\BD=B'D'\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
∴$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
（2）结论：
两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

【分析】
要证明△ABC≌△A'B'C'，已知AB=A'B'，BC=B'C'，还缺少对应夹角相等或第三边相等的条件。结合已知AD、A'D'是中线且AD=A'D'，可先利用中线的性质推出BD=B'D'，先通过SSS证明△ABD≌△A'B'D'，得到∠B=∠B'，再利用SAS即可证明两个大三角形全等。第二问只需将已知条件和结论整理成规范的文字表述即可。
【解析】
（1）证明：
∵AD，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又
∵$BC=B'C'$，
∴$BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\AD=A'D' \\BD=B'D'\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
∴$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
（2）将证明对应的条件和结论整理为通用的文字结论即可。
【答案】
（1）证明过程见上述解析；
（2）两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型综合题，解题的核心是通过中线的性质构造出可证明全等的小三角形，得到大三角形全等所需的对应角相等的条件，能有效考查对全等判定方法和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7