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3. 如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，点$D$，$D'$分别在边$BC$，$B'C'$上，$BD=B'D'$.求证：$AD=A'D'$.
答案
证明：
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
解析
【分析】
要证明AD=A'D'，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先观察到AD属于△ABD，A'D'属于△A'B'D'，我们先利用已知的△ABC≌△A'B'C'，得到对应边AB=A'B'、对应角∠B=∠B'，再结合题目给出的BD=B'D'的条件，刚好满足SAS全等判定的要求，证得△ABD≌△A'B'D'后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
【答案】
证明：
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. SAS全等判定定理
3. 全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合题，解题时可以从待证结论逆向推导所需条件，再结合已知信息补全全等判定的要素，能帮助学生巩固全等相关知识的应用逻辑。
【难度系数】
0.85
要证明AD=A'D'，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先观察到AD属于△ABD，A'D'属于△A'B'D'，我们先利用已知的△ABC≌△A'B'C'，得到对应边AB=A'B'、对应角∠B=∠B'，再结合题目给出的BD=B'D'的条件，刚好满足SAS全等判定的要求，证得△ABD≌△A'B'D'后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
【答案】
证明：
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B',\\∠ B = ∠ B',\\BD = B'D',\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = A'D'$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. SAS全等判定定理
3. 全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合题，解题时可以从待证结论逆向推导所需条件，再结合已知信息补全全等判定的要素，能帮助学生巩固全等相关知识的应用逻辑。
【难度系数】
0.85
4. 如图，AB=CD，AB//CD. 求证：AD=BC. 
答案
证明：连接AC。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA。
在△ABC和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD,\\∠BAC = ∠DCA,\\AC = CA,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDA（SAS）。
∴ AD = BC。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA。
在△ABC和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD,\\∠BAC = ∠DCA,\\AC = CA,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDA（SAS）。
∴ AD = BC。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AD、BC是四边形的对边，没有现成的全等三角形，因此考虑添加辅助线连接AC，构造出△ABC和△CDA。结合已知AB//CD可推出内错角相等，再加上已知AB=CD和公共边AC=CA，即可用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证AD=BC。
【解析】
证明：连接AC。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AB = CD\\∠BAC = ∠DCA\\AC = CA\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDA（SAS）。
∴ AD = BC（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
AD=BC
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将边相等的证明转化为三角形全等的证明，考查的都是几何证明的基础知识点，对后续学习平行四边形的判定有铺垫作用。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AD、BC是四边形的对边，没有现成的全等三角形，因此考虑添加辅助线连接AC，构造出△ABC和△CDA。结合已知AB//CD可推出内错角相等，再加上已知AB=CD和公共边AC=CA，即可用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证AD=BC。
【解析】
证明：连接AC。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AB = CD\\∠BAC = ∠DCA\\AC = CA\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDA（SAS）。
∴ AD = BC（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
AD=BC
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将边相等的证明转化为三角形全等的证明，考查的都是几何证明的基础知识点，对后续学习平行四边形的判定有铺垫作用。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，OB＝OC，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 
（第5题）
（第5题）答案
证明：
在△BOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\OB=OC \\∠BOE=∠COD\end{array} $
∴△BOE≌△COD（ASA）
∴OE=OD，BE=CD
∵OB=OC，
∴OB+OD=OC+OE，即BD=CE
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠B=∠C \\BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC
在△BOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\OB=OC \\∠BOE=∠COD\end{array} $
∴△BOE≌△COD（ASA）
∴OE=OD，BE=CD
∵OB=OC，
∴OB+OD=OC+OE，即BD=CE
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠B=∠C \\BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC
解析
【分析】
要证明AB=AC，可通过证明包含AB、AC的△ABD和△ACE全等实现。已知这两个三角形有公共角∠A，且题目给出∠B=∠C，还缺少一组对应边相等的条件。结合已知OB=OC、对顶角∠BOE=∠COD，可先证明△BOE≌△COD，推导得到BD=CE，即可满足△ABD和△ACE的全等条件，最终得到AB=AC。
【解析】
证明：
在△BOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\OB=OC \\∠BOE=∠COD\end{array} $
∴△BOE≌△COD（ASA）
∴OE=OD，BE=CD
∵OB=OC，
∴OB+OD=OC+OE，即BD=CE
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠B=∠C \\BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC
【答案】
AB=AC
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，需要先通过小三角形全等得到所需的边相等条件，再以此为基础证明目标三角形全等，考查基础的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明AB=AC，可通过证明包含AB、AC的△ABD和△ACE全等实现。已知这两个三角形有公共角∠A，且题目给出∠B=∠C，还缺少一组对应边相等的条件。结合已知OB=OC、对顶角∠BOE=∠COD，可先证明△BOE≌△COD，推导得到BD=CE，即可满足△ABD和△ACE的全等条件，最终得到AB=AC。
【解析】
证明：
在△BOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\OB=OC \\∠BOE=∠COD\end{array} $
∴△BOE≌△COD（ASA）
∴OE=OD，BE=CD
∵OB=OC，
∴OB+OD=OC+OE，即BD=CE
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠B=∠C \\BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC
【答案】
AB=AC
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，需要先通过小三角形全等得到所需的边相等条件，再以此为基础证明目标三角形全等，考查基础的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
6. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，直线$MN$经过点$C$，且$AD⊥ MN$，$BE⊥ MN$，垂足分别为$D,E$.
(1) 当直线$MN$绕点$C$旋转到图①的位置时，求证：① $△ ADC≌△ CEB$；② $DE=AD+BE$.
(2) 当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
(1) 当直线$MN$绕点$C$旋转到图①的位置时，求证：① $△ ADC≌△ CEB$；② $DE=AD+BE$.
(2) 当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
答案
证明：
(1) ①
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又 ∵ $∠ACD + ∠DAC = 90°$，
∴ $∠DAC = ∠ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。
② 由①知$△ ADC ≌ △ CEB$，
∴ $AD = CE$，$DC = EB$，
∵ $DE = DC + CE$，
∴ $DE = AD + BE$。
(2) 解：$△ ADC ≌ △ CEB$的结论仍然成立，但$DE = AD + BE$不成立，此时$DE = AD - BE$，理由如下：
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又 ∵ $∠CBE + ∠BCE = 90°$，
∴ $∠ACD = ∠CBE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠ACD = ∠CBE \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS），
∴ $AD = CE$，$CD = BE$，
∵ $DE = CE - CD$，
∴ $DE = AD - BE$，
故(1)中$DE=AD+BE$的结论不成立。
(1) ①
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又 ∵ $∠ACD + ∠DAC = 90°$，
∴ $∠DAC = ∠ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。
② 由①知$△ ADC ≌ △ CEB$，
∴ $AD = CE$，$DC = EB$，
∵ $DE = DC + CE$，
∴ $DE = AD + BE$。
(2) 解：$△ ADC ≌ △ CEB$的结论仍然成立，但$DE = AD + BE$不成立，此时$DE = AD - BE$，理由如下：
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又 ∵ $∠CBE + ∠BCE = 90°$，
∴ $∠ACD = ∠CBE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠ACD = ∠CBE \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS），
∴ $AD = CE$，$CD = BE$，
∵ $DE = CE - CD$，
∴ $DE = AD - BE$，
故(1)中$DE=AD+BE$的结论不成立。
解析
【分析】
本题是“一线三垂直”的全等三角形经典题型，解题思路如下：
1. 证全等的思考路径：首先由AD、BE都垂直于MN，得到一组直角相等；再结合∠ACB=90°，利用“同角的余角相等”推导得到一组锐角相等，加上已知AC=BC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等。
2. 推导线段和差的思考路径：根据全等三角形对应边相等的性质，把DE拆成的线段替换成AD、BE对应的线段，就能得到DE和AD、BE的数量关系。
3. 旋转后的图②，用和图①相同的逻辑先验证全等是否成立，再根据新的线段位置关系判断原有的和差结论是否变化。
【解析】
(1) ①
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又
∵ $∠ACD + ∠DAC = 90°$，
∴ $∠DAC = ∠ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。
② 由①知$△ ADC ≌ △ CEB$，
∴ $AD = CE$，$DC = EB$，
∵ $DE = DC + CE$，
∴ $DE = AD + BE$。
(2) $△ ADC ≌ △ CEB$的结论仍然成立，但$DE = AD + BE$不成立，此时$DE = AD - BE$，理由如下：
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又
∵ $∠CBE + ∠BCE = 90°$，
∴ $∠ACD = ∠CBE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠ACD = ∠CBE \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS），
∴ $AD = CE$，$CD = BE$，
∵ $DE = CE - CD$，
∴ $DE = AD - BE$，
故(1)中$DE=AD+BE$的结论不成立。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{△ ADC≌△ CEB}$得证；② $\boldsymbol{DE=AD+BE}$得证；
(2) $\boldsymbol{△ ADC≌△ CEB}$仍然成立，$\boldsymbol{DE=AD+BE}$不成立，此时$\boldsymbol{DE=AD-BE}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一线三垂直全等模型的典型考题，侧重考查全等判定定理的运用和图形变化时的边角分析能力，解题时要注意图形旋转后线段的位置变化，不要盲目照搬原有结论。
【难度系数】
0.65
本题是“一线三垂直”的全等三角形经典题型，解题思路如下：
1. 证全等的思考路径：首先由AD、BE都垂直于MN，得到一组直角相等；再结合∠ACB=90°，利用“同角的余角相等”推导得到一组锐角相等，加上已知AC=BC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等。
2. 推导线段和差的思考路径：根据全等三角形对应边相等的性质，把DE拆成的线段替换成AD、BE对应的线段，就能得到DE和AD、BE的数量关系。
3. 旋转后的图②，用和图①相同的逻辑先验证全等是否成立，再根据新的线段位置关系判断原有的和差结论是否变化。
【解析】
(1) ①
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又
∵ $∠ACD + ∠DAC = 90°$，
∴ $∠DAC = ∠ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。
② 由①知$△ ADC ≌ △ CEB$，
∴ $AD = CE$，$DC = EB$，
∵ $DE = DC + CE$，
∴ $DE = AD + BE$。
(2) $△ ADC ≌ △ CEB$的结论仍然成立，但$DE = AD + BE$不成立，此时$DE = AD - BE$，理由如下：
∵ $AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴ $∠ADC = ∠CEB = 90°$，
∵ $∠ACB = 90°$，
∴ $∠ACD + ∠BCE = 90°$，
又
∵ $∠CBE + ∠BCE = 90°$，
∴ $∠ACD = ∠CBE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠CEB \\∠ACD = ∠CBE \\AC = CB\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS），
∴ $AD = CE$，$CD = BE$，
∵ $DE = CE - CD$，
∴ $DE = AD - BE$，
故(1)中$DE=AD+BE$的结论不成立。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{△ ADC≌△ CEB}$得证；② $\boldsymbol{DE=AD+BE}$得证；
(2) $\boldsymbol{△ ADC≌△ CEB}$仍然成立，$\boldsymbol{DE=AD+BE}$不成立，此时$\boldsymbol{DE=AD-BE}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一线三垂直全等模型的典型考题，侧重考查全等判定定理的运用和图形变化时的边角分析能力，解题时要注意图形旋转后线段的位置变化，不要盲目照搬原有结论。
【难度系数】
0.65
