5. 如图，在$△ ABC$中，点E在AB上，点D在BC上，$BD=BE$，$∠ BAD=∠ BCE$，AD与CE相交于点F.试判断$△ AFC$的形状，并说明理由.

5. 解：△AFC 是等腰三角形.
理由：在△ABD 和△CBE 中，
∵$\begin{cases} ∠BAD=∠BCE, \\ ∠B=∠B, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(AAS).
∴AB=BC.
∵BE=BD，
∴AE=CD.
在△AEF 和△CDF 中，
∵$\begin{cases} ∠AFE=∠CFD, \\ ∠EAF=∠DCF, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△AEF≌△CDF(AAS).
∴AF=CF.
∴△AFC 是等腰三角形.

【分析】
要判断△AFC的形状，首先回忆等腰三角形的判定特征：有两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形，本题可尝试证明AF=CF。首先看已知条件，有一组角相等∠BAD=∠BCE、公共角∠B、一组边相等BD=BE，可先证明△ABD和△CBE全等，得到AB=BC；再结合BE=BD，可推出AE=CD；最后利用对顶角相等、已知的角相等和得到的AE=CD，证明△AEF和△CDF全等，即可得到AF=CF，从而判定△AFC的形状。
【解析】
△AFC是等腰三角形，理由如下：
在$△ ABD$和$△ CBE$中，
∵$\begin{cases} ∠BAD=∠BCE, \\ ∠B=∠B, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CBE(\mathrm{AAS})$，
∴$AB=BC$，
∵$BE=BD$，
∴$AB-BE=BC-BD$，即$AE=CD$，
在$△ AEF$和$△ CDF$中，
∵$\begin{cases} ∠AFE=∠CFD, \\ ∠EAF=∠DCF, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴$△ AEF≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴$AF=CF$，
∴$△ AFC$是等腰三角形。
【答案】
$△ AFC$是等腰三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过两次三角形全等推导得到对应边相等，进而判定等腰三角形，解题时要注意挖掘公共角、对顶角这类隐含条件，梳理清楚边和角的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

6. 如图，锐角三角形 $ ABC $ 的两条高 $ CD $，$ BE $ 相交于点 $ O $，且 $ OB = OC $.
(1)求证：$ △ ABC $ 是等腰三角形.
(2)连接 $ AO $. 试判断 $ AO $ 与 $ BC $ 的位置关系，并说明理由.

6. (1) 证明：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
在△BDC 和△CEB 中，
∵$\begin{cases} ∠CDB=∠BEC, \\ ∠DCB=∠EBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴∠DBC=∠ECB，即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC 是等腰三角形.
(2) 解：AO⊥BC.
理由：如图，连接 AO 并延长交 BC 于点F.

在△AOB 和△AOC 中，
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAF=∠CAF.
∴点O 在∠BAC 的平分线上.
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，即AO⊥BC.

【分析】
(1) 要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明两个底角∠ABC=∠ACB。首先由已知OB=OC，可得∠OBC=∠OCB；结合CD、BE是△ABC的高，可得∠CDB=∠BEC=90°，再加上公共边BC，可通过AAS判定△BDC≌△CEB，由全等三角形对应角相等可得∠DBC=∠ECB，即∠ABC=∠ACB，即可推出AB=AC，证明△ABC为等腰三角形。
(2) 判断AO与BC的位置关系，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：只需证明AO是∠BAC的角平分线即可。先利用(1)的结论AB=AC，结合已知OB=OC、公共边OA，通过SSS判定△AOB≌△AOC，得到∠BAF=∠CAF，即AO平分∠BAC，再结合AB=AC，即可推出AO的延长线垂直BC，即AO⊥BC。
【解析】
(1) 证明：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
∵CD、BE是△ABC的两条高，
∴∠CDB=∠BEC=90°。
在△BDC和△CEB中：
$\begin{cases}∠CDB=∠BEC \\∠DCB=∠EBC \\BC=CB\end{cases}$
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴∠DBC=∠ECB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
(2) AO⊥BC，理由如下：
连接AO并延长交BC于点F，

在△AOB和△AOC中：
$\begin{cases}AB=AC \\OB=OC \\OA=OA\end{cases}$
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAF=∠CAF，即AF平分∠BAC，
又
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，即AO⊥BC。
【答案】
(1) 证明：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
在△BDC 和△CEB 中，
∵$\begin{cases} ∠CDB=∠BEC, \\ ∠DCB=∠EBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴∠DBC=∠ECB，即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC 是等腰三角形.
(2) AO⊥BC，理由：
如图，连接 AO 并延长交 BC 于点F.

在△AOB 和△AOC 中，
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAF=∠CAF.
∴点O 在∠BAC 的平分线上.
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，即AO⊥BC.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查全等三角形和等腰三角形相关知识的运用，解题的关键是结合已知条件找到全等三角形的判定条件，通过全等推导边、角的等量关系，再结合等腰三角形的性质求解，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

7.（1）如图①，在$△ ABC$中，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，过点$O$作直线$EF // BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$.猜想$EF$与$BE$，$CF$有什么数量关系.请说明理由.
（2）如图②，若将（1）中的条件“$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$”改为“$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$的外角”，其他条件不变，则$EF$与$BE$，$CF$的数量关系又是什么？请说明理由.

7. 解：(1) EF=BE+CF.
理由：
∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB.
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO.
∴BE=OE，CF=OF.
∴EF=OE+OF=BE+CF.
(2) EF=BE−CF.
理由：
∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACD，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCD.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCD.
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO.
∴BE=OE，CF=OF.
∴EF=OE−OF=BE−CF.

【分析】
（1）首先根据角平分线的定义可得∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，再结合EF//BC，利用平行线的内错角相等可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，等量代换后得到∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，根据等角对等边可证BE=OE，CF=OF，最后由EF=OE+OF即可推出EF和BE、CF的数量关系。
（2）和第一问的推导思路一致，先利用角平分线定义得到∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCD，结合EF//BC的内错角相等，等量代换得到等腰△EBO和等腰△FCO，即BE=OE，CF=OF，再观察图形可知EF=OE-OF，代入即可得到结论。
【解析】
(1) $EF=BE+CF$，理由如下：
∵$BO$ 平分$∠ABC$，$CO$ 平分$∠ACB$，
∴$∠EBO=∠OBC$，$∠FCO=∠OCB$。
∵$EF // BC$，
∴$∠EOB=∠OBC$，$∠FOC=∠OCB$。
∴$∠EBO=∠EOB$，$∠FOC=∠FCO$。
∴$BE=OE$，$CF=OF$。
∴$EF=OE+OF=BE+CF$。
(2) $EF=BE-CF$，理由如下：
∵$BO$ 平分$∠ABC$，$CO$ 平分$∠ACD$，
∴$∠EBO=∠OBC$，$∠FCO=∠OCD$。
∵$EF // BC$，
∴$∠EOB=∠OBC$，$∠FOC=∠OCD$。
∴$∠EBO=∠EOB$，$∠FOC=∠FCO$。
∴$BE=OE$，$CF=OF$。
∴$EF=OE-OF=BE-CF$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{EF=BE+CF}$；（2）$\boldsymbol{EF=BE-CF}$
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何模型应用题，核心考查“角平分线+平行线推出等腰三角形”的模型，掌握该模型可以快速分析出图形中的相等线段，顺利解决线段和差类问题。
【难度系数】
0.7