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(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，有一个锐角为$50°$，则另一个锐角的度数为$\quad (\quad)$
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$30°$
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆直角三角形的基本性质，直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，要求另一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得直角三角形的两个锐角之和为：$180° - 90° = 90°$
已知其中一个锐角为$50°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 50° = 40°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，侧重考察对直角三角形性质的记忆与简单应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆直角三角形的基本性质，直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，要求另一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形
∴ 该三角形有一个内角为90°
根据三角形内角和为180°，可得直角三角形的两个锐角之和为：$180° - 90° = 90°$
已知其中一个锐角为$50°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 50° = 40°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，侧重考察对直角三角形性质的记忆与简单应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
(2)在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$∠ B = 2∠ C$，则$∠ C$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$30°$或$60°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$30°$或$60°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质，已知△ABC中∠A是直角，因此剩余的∠B和∠C两个锐角之和为90°，再结合题目给出的∠B=2∠C的倍数关系，将该等量关系代入两锐角和的式子中，即可计算出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和为180°，已知∠A=90°，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$
又因为$∠ B = 2∠ C$，代入上式得：
$2∠ C + ∠ C = 90°$
$3∠ C = 90°$
解得$∠ C = 30°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是利用直角三角形的性质得到两个锐角的和，结合已知的角度倍数关系列式求解，属于三角形章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质，已知△ABC中∠A是直角，因此剩余的∠B和∠C两个锐角之和为90°，再结合题目给出的∠B=2∠C的倍数关系，将该等量关系代入两锐角和的式子中，即可计算出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和为180°，已知∠A=90°，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$
又因为$∠ B = 2∠ C$，代入上式得：
$2∠ C + ∠ C = 90°$
$3∠ C = 90°$
解得$∠ C = 30°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是利用直角三角形的性质得到两个锐角的和，结合已知的角度倍数关系列式求解，属于三角形章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
(3)下列条件中，能判断出$△ ABC$是直角三角形的个数为（
①$∠ A + ∠ B = ∠ C$；②$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$；③$∠ A = 90° - ∠ B$；
④$∠ A = ∠ B + \frac{1}{2}∠ C$。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）①$∠ A + ∠ B = ∠ C$；②$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$；③$∠ A = 90° - ∠ B$；
④$∠ A = ∠ B + \frac{1}{2}∠ C$。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角。我们可以利用三角形内角和为180°的性质，对给出的4个条件逐一推导，看能否推出某个内角等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，得$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析条件：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
② 已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
③ 已知$∠ A = 90° - ∠ B$，移项得$∠ A + ∠ B = 90°$，则$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
④ 已知$∠ A = ∠ B + \frac{1}{2}∠ C$，代入内角和公式得：$∠ B + \frac{1}{2}∠ C + ∠ B + ∠ C = 180°$，整理得$4∠ B + 3∠ C = 360°$，该式无法推出某角一定为$90°$（例如$∠ B=30°$，$∠ C=80°$，$∠ A=70°$时满足条件，但三角形不是直角三角形），不能判定$△ ABC$是直角三角形。
综上，能判定是直角三角形的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是紧扣直角三角形的定义，结合内角和定理对每个条件严谨推导，注意要判断的是条件能否必然推出三角形为直角三角形，避免把存在性当成必然性导致出错。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角。我们可以利用三角形内角和为180°的性质，对给出的4个条件逐一推导，看能否推出某个内角等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，得$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析条件：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
② 已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
③ 已知$∠ A = 90° - ∠ B$，移项得$∠ A + ∠ B = 90°$，则$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形；
④ 已知$∠ A = ∠ B + \frac{1}{2}∠ C$，代入内角和公式得：$∠ B + \frac{1}{2}∠ C + ∠ B + ∠ C = 180°$，整理得$4∠ B + 3∠ C = 360°$，该式无法推出某角一定为$90°$（例如$∠ B=30°$，$∠ C=80°$，$∠ A=70°$时满足条件，但三角形不是直角三角形），不能判定$△ ABC$是直角三角形。
综上，能判定是直角三角形的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是紧扣直角三角形的定义，结合内角和定理对每个条件严谨推导，注意要判断的是条件能否必然推出三角形为直角三角形，避免把存在性当成必然性导致出错。
【难度系数】
0.7
(4)如图，已知$a// b$，点A，B在直线a上，点C在直线b上，$CA⊥ CB$.若$∠ 1=30°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$60°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$150°$
A
）A.$60°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$150°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知直线a平行于b，可先利用平行线内错角相等的性质，得到∠2和△ABC中的∠CAB度数相等；再结合CA垂直CB可知△ABC是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，就可以求出∠CAB的度数，也就是∠2的度数。
【解析】
解：
∵$a//b$，
∴$∠2=∠CAB$（两直线平行，内错角相等）。
∵$CA⊥CB$，
∴$∠ACB=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠1 = 90°$。
已知$∠1=30°$，代入得：
$∠CAB=90° - 30°=60°$，
∴$∠2=∠CAB=60°$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了平行线和直角三角形的相关性质，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，已知直线a平行于b，可先利用平行线内错角相等的性质，得到∠2和△ABC中的∠CAB度数相等；再结合CA垂直CB可知△ABC是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，就可以求出∠CAB的度数，也就是∠2的度数。
【解析】
解：
∵$a//b$，
∴$∠2=∠CAB$（两直线平行，内错角相等）。
∵$CA⊥CB$，
∴$∠ACB=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠1 = 90°$。
已知$∠1=30°$，代入得：
$∠CAB=90° - 30°=60°$，
∴$∠2=∠CAB=60°$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了平行线和直角三角形的相关性质，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(5)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，将其折叠，使点$A$落在$BC$上的点$A'$处，折痕为$CD$，则$∠ A'DB$的度数为（
A.$40°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
B
）A.$40°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠CA'D与∠A的等量关系；第三步，利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立角的等量关系，代入数值计算即可求出∠A'DB的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CA'D≌△ CAD$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
因为$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，
所以$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合直角三角形和三角形外角的性质进行角的计算，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠CA'D与∠A的等量关系；第三步，利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立角的等量关系，代入数值计算即可求出∠A'DB的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CA'D≌△ CAD$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
因为$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，
所以$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合直角三角形和三角形外角的性质进行角的计算，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，则图中与$∠ A$相等的角是
第2(1)题
∠BCD
，与$∠ A$互余的角是∠B 和∠ACD
。第2(1)题
答案
(1) ∠BCD，∠B 和∠ACD
解析
【分析】
解题时可结合直角三角形两锐角互余的性质，先分析∠A的互余角，再利用同角的余角相等推导与∠A相等的角：①首先看Rt△ABC，∠ACB=90°，可得∠A与∠B互余；②再看CD⊥AB得到的Rt△ACD，可得∠A与∠ACD互余，由此确定∠A的互余角；③最后看Rt△BCD，∠BCD与∠B互余，结合∠A也与∠B互余，即可推出与∠A相等的角。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90°$
在$Rt△ACD$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ ACD = 90°$ ②
由①②可知，$∠ B$和$∠ ACD$都是$∠ A$的余角，即与$∠ A$互余的角是$∠ B$和$∠ ACD$；
在$Rt△BCD$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BCD + ∠ B = 90°$ ③
对比①③，$∠ A$和$∠ BCD$都是$∠ B$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ A=∠ BCD$，即与$∠ A$相等的角是$∠ BCD$。
【答案】
$∠ BCD$；$∠ B$和$∠ ACD$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查直角三角形的性质和余角的性质，解题时结合图形梳理各角之间的关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可结合直角三角形两锐角互余的性质，先分析∠A的互余角，再利用同角的余角相等推导与∠A相等的角：①首先看Rt△ABC，∠ACB=90°，可得∠A与∠B互余；②再看CD⊥AB得到的Rt△ACD，可得∠A与∠ACD互余，由此确定∠A的互余角；③最后看Rt△BCD，∠BCD与∠B互余，结合∠A也与∠B互余，即可推出与∠A相等的角。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90°$
在$Rt△ACD$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ ACD = 90°$ ②
由①②可知，$∠ B$和$∠ ACD$都是$∠ A$的余角，即与$∠ A$互余的角是$∠ B$和$∠ ACD$；
在$Rt△BCD$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BCD + ∠ B = 90°$ ③
对比①③，$∠ A$和$∠ BCD$都是$∠ B$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ A=∠ BCD$，即与$∠ A$相等的角是$∠ BCD$。
【答案】
$∠ BCD$；$∠ B$和$∠ ACD$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查直角三角形的性质和余角的性质，解题时结合图形梳理各角之间的关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（2）如图，P 是射线 ON 上一动点，$∠ AON = 30°$. 当 $∠ A =$
第 2(2)题
60°或 90°
时，$△ AOP$ 为直角三角形.第 2(2)题
答案
(2) 60°或 90°
解析
【分析】
要使△AOP为直角三角形，题干未明确哪个角是直角，因此需要对直角顶点的位置分类讨论：首先排除直角顶点为O的情况（已知∠AON=30°，不可能为直角），再分别计算直角顶点为A、直角顶点为P时∠A的度数即可。
【解析】
已知∠AON=30°，△AOP为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A时，∠A=90°，此时△AOP为直角三角形，符合条件；
2. 当直角顶点为点P时，∠APO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠AON - ∠APO = 180° - 30° - 90° = 60°，符合条件；
若直角顶点为O，∠AON=30°≠90°，不成立，故舍去。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略直角顶点的多种可能出现漏解，解题时遇到未明确直角位置的直角三角形相关问题，要全面考虑所有可能的直角情况，再结合相关性质计算求解。
【难度系数】
0.7
要使△AOP为直角三角形，题干未明确哪个角是直角，因此需要对直角顶点的位置分类讨论：首先排除直角顶点为O的情况（已知∠AON=30°，不可能为直角），再分别计算直角顶点为A、直角顶点为P时∠A的度数即可。
【解析】
已知∠AON=30°，△AOP为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A时，∠A=90°，此时△AOP为直角三角形，符合条件；
2. 当直角顶点为点P时，∠APO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠AON - ∠APO = 180° - 30° - 90° = 60°，符合条件；
若直角顶点为O，∠AON=30°≠90°，不成立，故舍去。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略直角顶点的多种可能出现漏解，解题时遇到未明确直角位置的直角三角形相关问题，要全面考虑所有可能的直角情况，再结合相关性质计算求解。
【难度系数】
0.7
(3)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，则$AB$的长为
4
。答案
(3) 4
解析
【分析】
首先观察题干，已知图形是含30°角的直角三角形，可回忆直角三角形的相关性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。首先确定30°角∠A所对的直角边为BC，待求的AB是斜边，因此可以直接利用该性质建立BC和AB的数量关系，代入已知的BC长度就能求出AB的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=2$，代入上式得：
$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查含30°角的直角三角形的性质的直接应用，牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察题干，已知图形是含30°角的直角三角形，可回忆直角三角形的相关性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。首先确定30°角∠A所对的直角边为BC，待求的AB是斜边，因此可以直接利用该性质建立BC和AB的数量关系，代入已知的BC长度就能求出AB的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=2$，代入上式得：
$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查含30°角的直角三角形的性质的直接应用，牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
