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(4)如图，一根长为$ a $的木棍$ AB $斜靠在与地面$ OM $垂直的墙上. 设木棍的中点为$ P $，若木棍$ A $端沿墙下滑，且$ B $端沿地面向右滑动，则在木棍滑动的过程中$ OP $的长度
不变
. (填“变大”“变小”或“不变”)答案
(4) 不变
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，墙ON和地面OM始终垂直，因此∠AOB恒为90°，△AOB在木棍滑动过程中始终是直角三角形，且木棍AB长度固定为a，P是AB的中点。结合直角三角形斜边中线的相关性质，即可推导出OP与AB的长度关系，从而判断OP的长度变化情况。
【解析】
解：
∵ 墙ON与地面OM垂直，
∴ $∠ AOB=90°$，即木棍滑动过程中$△ AOB$始终为直角三角形，AB为该直角三角形的斜边。
∵ 点P是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OP=\frac{1}{2}AB$
已知木棍AB的长度为$a$，滑动过程中AB长度保持不变，因此$OP=\frac{1}{2}a$为定值，长度不变。
【答案】
不变
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形性质的实际应用，解题的关键是找准滑动过程中的两个不变量：$∠ AOB$始终为直角、AB长度固定，结合对应性质即可快速得出结论，是对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，墙ON和地面OM始终垂直，因此∠AOB恒为90°，△AOB在木棍滑动过程中始终是直角三角形，且木棍AB长度固定为a，P是AB的中点。结合直角三角形斜边中线的相关性质，即可推导出OP与AB的长度关系，从而判断OP的长度变化情况。
【解析】
解：
∵ 墙ON与地面OM垂直，
∴ $∠ AOB=90°$，即木棍滑动过程中$△ AOB$始终为直角三角形，AB为该直角三角形的斜边。
∵ 点P是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OP=\frac{1}{2}AB$
已知木棍AB的长度为$a$，滑动过程中AB长度保持不变，因此$OP=\frac{1}{2}a$为定值，长度不变。
【答案】
不变
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形性质的实际应用，解题的关键是找准滑动过程中的两个不变量：$∠ AOB$始终为直角、AB长度固定，结合对应性质即可快速得出结论，是对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(5)如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD。若$CD=5$，则BC的长为
15
。答案
(5) 15
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 看到AB的垂直平分线DE，优先联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，再结合等边对等角推出∠BAD=∠B=30°；2. 在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，进一步计算得∠DAC=30°；3. 在Rt△ADC中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AD的长度，也就得到了BD的长度，最后通过BC=BD+CD算出最终结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，CD=5，
∴AD=2CD=2×5=10，
∴BD=AD=10，
∴BC=BD+CD=10+5=15。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查基础定理的应用，解题关键是通过垂直平分线的性质得到相等线段，进而推导角度关系，再结合直角三角形的特殊性质求解线段长度，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导：1. 看到AB的垂直平分线DE，优先联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，再结合等边对等角推出∠BAD=∠B=30°；2. 在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，进一步计算得∠DAC=30°；3. 在Rt△ADC中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AD的长度，也就得到了BD的长度，最后通过BC=BD+CD算出最终结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，CD=5，
∴AD=2CD=2×5=10，
∴BD=AD=10，
∴BC=BD+CD=10+5=15。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查基础定理的应用，解题关键是通过垂直平分线的性质得到相等线段，进而推导角度关系，再结合直角三角形的特殊性质求解线段长度，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知：如图，D是线段BC的延长线上一点，$∠ ACB=∠ ACD$，$∠ COD=∠ B$. 求证：$△ AOE$是直角三角形.
答案
证明：$\because ∠ACB+∠ACD=180°$，
$∠ACB=∠ACD$，
$\therefore ∠ACB=∠ACD=90°$。
$\because ∠AOE=∠COD$，$∠COD=∠B$，
$\therefore ∠AOE=∠B$。
$\because ∠BAC+∠B=90°$，
$\therefore ∠BAC+∠AOE=90°$。
$\therefore △AOE$ 是直角三角形。
$∠ACB=∠ACD$，
$\therefore ∠ACB=∠ACD=90°$。
$\because ∠AOE=∠COD$，$∠COD=∠B$，
$\therefore ∠AOE=∠B$。
$\because ∠BAC+∠B=90°$，
$\therefore ∠BAC+∠AOE=90°$。
$\therefore △AOE$ 是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△AOE是直角三角形，核心是证明该三角形存在90°内角或两个锐角互余。第一步先结合平角和为180°、∠ACB=∠ACD的已知条件，可推出∠ACB=∠ACD=90°，得到Rt△ABC中∠BAC+∠B=90°；第二步利用对顶角相等的性质，结合已知∠COD=∠B，做等量代换得到∠AOE=∠B；第三步将∠B替换为∠AOE，即可得到△AOE中∠BAC+∠AOE=90°，两个锐角互余，即可判定三角形为直角三角形。
【解析】
证明：
$\because ∠ACB+∠ACD=180°$（平角的定义），$∠ACB=∠ACD$（已知），
$\therefore ∠ACB=∠ACD=90°$。
$\because ∠AOE=∠COD$（对顶角相等），$∠COD=∠B$（已知），
$\therefore ∠AOE=∠B$（等量代换）。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠BAC+∠B=90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠BAC+∠AOE=90°$（等量代换）。
$\therefore △AOE$ 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。
【答案】
$△ AOE$是直角三角形
【知识点】
平角的性质；对顶角相等；直角三角形判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题时只要理清角与角之间的关系，结合直角三角形的判定条件即可快速求证，能帮助学生巩固角的相关性质和直角三角形的判定方法。
【难度系数】
0.8
要证明△AOE是直角三角形，核心是证明该三角形存在90°内角或两个锐角互余。第一步先结合平角和为180°、∠ACB=∠ACD的已知条件，可推出∠ACB=∠ACD=90°，得到Rt△ABC中∠BAC+∠B=90°；第二步利用对顶角相等的性质，结合已知∠COD=∠B，做等量代换得到∠AOE=∠B；第三步将∠B替换为∠AOE，即可得到△AOE中∠BAC+∠AOE=90°，两个锐角互余，即可判定三角形为直角三角形。
【解析】
证明：
$\because ∠ACB+∠ACD=180°$（平角的定义），$∠ACB=∠ACD$（已知），
$\therefore ∠ACB=∠ACD=90°$。
$\because ∠AOE=∠COD$（对顶角相等），$∠COD=∠B$（已知），
$\therefore ∠AOE=∠B$（等量代换）。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠BAC+∠B=90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠BAC+∠AOE=90°$（等量代换）。
$\therefore △AOE$ 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。
【答案】
$△ AOE$是直角三角形
【知识点】
平角的性质；对顶角相等；直角三角形判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题时只要理清角与角之间的关系，结合直角三角形的判定条件即可快速求证，能帮助学生巩固角的相关性质和直角三角形的判定方法。
【难度系数】
0.8
4. 已知：如图，∠BAC为钝角，CD⊥AB交BA的延长线于点D，BE⊥AC交CA的延长线于点E，M是BC的中点，连接ME，MD。
求证：ME=MD。
求证：ME=MD。
答案
证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
$\therefore ∠BEC=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中，
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore ME$ 和 $MD$ 分别是斜边 $BC$ 上的中线。
$\therefore ME=MD=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore ∠BEC=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中，
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore ME$ 和 $MD$ 分别是斜边 $BC$ 上的中线。
$\therefore ME=MD=\frac{1}{2}BC$。
解析
【分析】
要证明ME=MD，可先梳理已知条件推导关系：首先由CD⊥AB、BE⊥AC，可得到△BEC和△BDC都是直角三角形，且两个三角形共用斜边BC；再结合M是BC中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质，可知ME和MD都等于斜边BC的一半，由此即可推出二者相等。
【解析】
证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
$\therefore ∠BEC=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中，
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore ME$ 和 $MD$ 分别是斜边 $BC$ 上的中线。
$\therefore ME=MD=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
$\boxed{ME=MD}$，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是从已知的垂直关系确定直角三角形，再结合中点条件，利用直角三角形斜边中线的性质建立线段的等量关系，即可快速证得结论。
【难度系数】
0.8
要证明ME=MD，可先梳理已知条件推导关系：首先由CD⊥AB、BE⊥AC，可得到△BEC和△BDC都是直角三角形，且两个三角形共用斜边BC；再结合M是BC中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质，可知ME和MD都等于斜边BC的一半，由此即可推出二者相等。
【解析】
证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
$\therefore ∠BEC=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中，
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore ME$ 和 $MD$ 分别是斜边 $BC$ 上的中线。
$\therefore ME=MD=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
$\boxed{ME=MD}$，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是从已知的垂直关系确定直角三角形，再结合中点条件，利用直角三角形斜边中线的性质建立线段的等量关系，即可快速证得结论。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC=120°$，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$。
(1)求$∠ BAD$的度数。
(2)若$BD=2\ \mathrm{cm}$，求$CD$的长度。
(1)求$∠ BAD$的度数。
(2)若$BD=2\ \mathrm{cm}$，求$CD$的长度。
答案
解：(1)$\because AB=AC$，$∠BAC=120°$，
$\therefore ∠B=∠C=30°$。
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
$\therefore ∠BAD=∠B=30°$。
(2)$\because ∠BAC=120°$，$∠BAD=30°$，
$\therefore ∠CAD=90°$。
又$\because ∠C=30°$，
$\therefore CD=2AD$。
又$\because BD=AD$，$BD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=2AD=4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore ∠B=∠C=30°$。
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
$\therefore ∠BAD=∠B=30°$。
(2)$\because ∠BAC=120°$，$∠BAD=30°$，
$\therefore ∠CAD=90°$。
又$\because ∠C=30°$，
$\therefore CD=2AD$。
又$\because BD=AD$，$BD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=2AD=4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1)求解∠BAD的度数时，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，算出底角∠B的度数；再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，由“等边对等角”可知∠BAD与∠B相等，即可求出对应角度。
(2)求解CD的长度时，先通过∠BAC与∠BAD的差得到∠CAD=90°，确定△CAD为直角三角形，再结合∠C=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到CD与AD的数量关系，最后结合AD=BD的等量关系代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=30°$。
(2) $\because ∠ BAC=120°$，$∠ BAD=30°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=120°-30°=90°$，即$△ CAD$是直角三角形。
又$\because ∠ C=30°$，
$\therefore CD=2AD$（直角三角形中$30°$角所对直角边等于斜边的一半）。
又$\because$由垂直平分线性质得$AD=BD$，且$BD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=2AD=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质综合基础题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质，通过等量转化即可完成求解，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠BAD的度数时，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，算出底角∠B的度数；再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，由“等边对等角”可知∠BAD与∠B相等，即可求出对应角度。
(2)求解CD的长度时，先通过∠BAC与∠BAD的差得到∠CAD=90°，确定△CAD为直角三角形，再结合∠C=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到CD与AD的数量关系，最后结合AD=BD的等量关系代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=30°$。
(2) $\because ∠ BAC=120°$，$∠ BAD=30°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=120°-30°=90°$，即$△ CAD$是直角三角形。
又$\because ∠ C=30°$，
$\therefore CD=2AD$（直角三角形中$30°$角所对直角边等于斜边的一半）。
又$\because$由垂直平分线性质得$AD=BD$，且$BD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=2AD=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质综合基础题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质，通过等量转化即可完成求解，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
