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6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=2∠ B$，D是BC上一点，且$AD ⊥ AB$，E是BD的中点，连接AE.
(1)求证：$∠ AEC=∠ C$.
(2)求证：$BD=2AC$.
(1)求证：$∠ AEC=∠ C$.
(2)求证：$BD=2AC$.
答案
证明：(1)$\because AD⊥AB$，
$\therefore △ABD$ 为直角三角形。
$\because E$ 是 $BD$ 的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$。
又$\because BE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AE=BE$。
$\therefore ∠B=∠BAE$。
$\therefore ∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B$。
又$\because ∠C=2∠B$，
$\therefore ∠AEC=∠C$。
(2)由(1)得 $AE=AC$，
又$\because AE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore \frac{1}{2}BD=AC$，即 $BD=2AC$。
$\therefore △ABD$ 为直角三角形。
$\because E$ 是 $BD$ 的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$。
又$\because BE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AE=BE$。
$\therefore ∠B=∠BAE$。
$\therefore ∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B$。
又$\because ∠C=2∠B$，
$\therefore ∠AEC=∠C$。
(2)由(1)得 $AE=AC$，
又$\because AE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore \frac{1}{2}BD=AC$，即 $BD=2AC$。
解析
【分析】
(1) 要证∠AEC=∠C，首先观察到AD⊥AB，可得△ABD是直角三角形，E是斜边BD的中点，可利用直角三角形斜边中线的性质得到AE=BE，进而推出∠B=∠BAE；再结合三角形外角的性质，可得∠AEC=2∠B，最后结合已知∠C=2∠B，即可完成求证。
(2) 要证BD=2AC，先由(1)的结论∠AEC=∠C，利用等角对等边得到AE=AC，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，将AE替换为½BD，等量代换即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD⊥AB$，
∴ $△ABD$ 为直角三角形。
∵ $E$ 是 $BD$ 的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}BD$。
又
∵ $BE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=BE$。
∴ $∠B=∠BAE$。
∴ $∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B$。
又
∵ $∠C=2∠B$，
∴ $∠AEC=∠C$。
(2) 证明：
由(1)得 $∠AEC=∠C$，
∴ $AE=AC$，
又
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $\frac{1}{2}BD=AC$，即 $BD=2AC$。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得$∠ AEC=∠ C$；
(2) 证明见解析，可证得$BD=2AC$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是灵活运用直角三角形、等腰三角形的相关性质，通过角的等量代换和线段的等量代换完成求证，能够很好地检验学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠AEC=∠C，首先观察到AD⊥AB，可得△ABD是直角三角形，E是斜边BD的中点，可利用直角三角形斜边中线的性质得到AE=BE，进而推出∠B=∠BAE；再结合三角形外角的性质，可得∠AEC=2∠B，最后结合已知∠C=2∠B，即可完成求证。
(2) 要证BD=2AC，先由(1)的结论∠AEC=∠C，利用等角对等边得到AE=AC，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，将AE替换为½BD，等量代换即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD⊥AB$，
∴ $△ABD$ 为直角三角形。
∵ $E$ 是 $BD$ 的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}BD$。
又
∵ $BE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=BE$。
∴ $∠B=∠BAE$。
∴ $∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B$。
又
∵ $∠C=2∠B$，
∴ $∠AEC=∠C$。
(2) 证明：
由(1)得 $∠AEC=∠C$，
∴ $AE=AC$，
又
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $\frac{1}{2}BD=AC$，即 $BD=2AC$。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得$∠ AEC=∠ C$；
(2) 证明见解析，可证得$BD=2AC$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是灵活运用直角三角形、等腰三角形的相关性质，通过角的等量代换和线段的等量代换完成求证，能够很好地检验学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点.
(1)如图①，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.
(2)如图②，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
(1)如图①，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.
(2)如图②，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
答案
7. (1)证明：$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore ∠BAC=∠DAC=60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\∠ABC=∠ADC,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ACB=90°-∠BAC=30°$，
$\therefore AC=2AB$。
$\therefore AB+AD=AC$。
(2)结论仍然成立。
理由：如图，过点 $C$ 作 $CE⊥AN$ 于点 $E$，$CF⊥AM$ 于点 $F$。
$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore CE=CF$，$∠BAC=60°$。
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠BCD=60°$。
$\because ∠FCE=180°-∠BAD=60°$，
$\therefore ∠FCE=∠BCD$。
$\because ∠FCD+∠DCE=∠FCE$，
$∠BCE+∠DCE=∠BCD$，
$\therefore ∠FCD=∠BCE$。
在$△CDF$和$△CBE$中，
$\because \begin{cases}∠FCD=∠ECB,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
$\therefore △CDF≌△CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=DF$。
$\therefore AB+AD=AE+BE+AD=AE+AD+DF=AE+AF$。
又$\because AC=AE+AF$，
$\therefore AB+AD=AC$。
解析
【分析】
(1) 首先利用角平分线的定义求出∠BAC和∠DAC的度数，再结合两个直角和公共边AC，通过AAS判定两个直角三角形全等，得到AB=AD；接着根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到AC和AB的数量关系，代入即可证明AB+AD=AC。
(2) 要判断结论是否成立，由于没有直接的直角条件，可通过作辅助线构造直角三角形：过点C分别作AN、AM的垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段相等；再根据角的和差关系推导出相等的角，用ASA证明构造的两个直角三角形全等，实现线段的等量转化，将AB+AD转化为第一问中已证的和AC相等的线段和，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴ ∠BAC=∠DAC=60°。
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\∠ABC=∠ADC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{AAS})$。
∴ $AB=AD$。
∵ $∠ACB=90°-∠BAC=30°$，
∴ $AC=2AB$。
∴ $AB+AD=AB+AB=2AB=AC$。
(2) 结论仍然成立，理由如下：
过点 $C$ 作 $CE⊥AN$ 于点 $E$，$CF⊥AM$ 于点 $F$。
∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴ $CE=CF$，$∠BAC=60°$。
∵ $∠ABC+∠ADC=180°$，
∴ $∠BCD=60°$。
∵ $∠FCE=180°-∠BAD=60°$，
∴ $∠FCE=∠BCD$。
∵ $∠FCD+∠DCE=∠FCE$，$∠BCE+∠DCE=∠BCD$，
∴ $∠FCD=∠BCE$。
在$△CDF$和$△CBE$中，
$\because \begin{cases}∠FCD=∠ECB,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
∴ $△CDF≌△CBE(\mathrm{ASA})$。
∴ $BE=DF$。
∴ $AB+AD=AE+BE+AD=AE+AD+DF=AE+AF$。
又$\because AC=AE+AF$，
∴ $AB+AD=AC$。
【答案】
7. (1)证明：$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore ∠BAC=∠DAC=60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\∠ABC=∠ADC,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ACB=90°-∠BAC=30°$，
$\therefore AC=2AB$。
$\therefore AB+AD=AC$。
(2)结论仍然成立。
理由：如图，过点 $C$ 作 $CE⊥AN$ 于点 $E$，$CF⊥AM$ 于点 $F$。
$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore CE=CF$，$∠BAC=60°$。
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠BCD=60°$。
$\because ∠FCE=180°-∠BAD=60°$，
$\therefore ∠FCE=∠BCD$。
$\because ∠FCD+∠DCE=∠FCE$，
$∠BCE+∠DCE=∠BCD$，
$\therefore ∠FCD=∠BCE$。
在$△CDF$和$△CBE$中，
$\because \begin{cases}∠FCD=∠ECB,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
$\therefore △CDF≌△CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=DF$。
$\therefore AB+AD=AE+BE+AD=AE+AD+DF=AE+AF$。
又$\because AC=AE+AF$，
$\therefore AB+AD=AC$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，第一问是基础的几何性质应用，第二问通过作垂直辅助线构造全等三角形完成线段转化，是解决线段和差类证明题的常用思路，掌握这类辅助线的构造方法能有效提升同类型题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用角平分线的定义求出∠BAC和∠DAC的度数，再结合两个直角和公共边AC，通过AAS判定两个直角三角形全等，得到AB=AD；接着根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到AC和AB的数量关系，代入即可证明AB+AD=AC。
(2) 要判断结论是否成立，由于没有直接的直角条件，可通过作辅助线构造直角三角形：过点C分别作AN、AM的垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段相等；再根据角的和差关系推导出相等的角，用ASA证明构造的两个直角三角形全等，实现线段的等量转化，将AB+AD转化为第一问中已证的和AC相等的线段和，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴ ∠BAC=∠DAC=60°。
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\∠ABC=∠ADC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{AAS})$。
∴ $AB=AD$。
∵ $∠ACB=90°-∠BAC=30°$，
∴ $AC=2AB$。
∴ $AB+AD=AB+AB=2AB=AC$。
(2) 结论仍然成立，理由如下：
过点 $C$ 作 $CE⊥AN$ 于点 $E$，$CF⊥AM$ 于点 $F$。
∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴ $CE=CF$，$∠BAC=60°$。
∵ $∠ABC+∠ADC=180°$，
∴ $∠BCD=60°$。
∵ $∠FCE=180°-∠BAD=60°$，
∴ $∠FCE=∠BCD$。
∵ $∠FCD+∠DCE=∠FCE$，$∠BCE+∠DCE=∠BCD$，
∴ $∠FCD=∠BCE$。
在$△CDF$和$△CBE$中，
$\because \begin{cases}∠FCD=∠ECB,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
∴ $△CDF≌△CBE(\mathrm{ASA})$。
∴ $BE=DF$。
∴ $AB+AD=AE+BE+AD=AE+AD+DF=AE+AF$。
又$\because AC=AE+AF$，
∴ $AB+AD=AC$。
【答案】
7. (1)证明：$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore ∠BAC=∠DAC=60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，
$\because \begin{cases}∠BAC=∠DAC,\\∠ABC=∠ADC,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ACB=90°-∠BAC=30°$，
$\therefore AC=2AB$。
$\therefore AB+AD=AC$。
(2)结论仍然成立。
理由：如图，过点 $C$ 作 $CE⊥AN$ 于点 $E$，$CF⊥AM$ 于点 $F$。
$\because AC$ 平分$∠MAN$，$∠MAN=120°$，
$\therefore CE=CF$，$∠BAC=60°$。
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠BCD=60°$。
$\because ∠FCE=180°-∠BAD=60°$，
$\therefore ∠FCE=∠BCD$。
$\because ∠FCD+∠DCE=∠FCE$，
$∠BCE+∠DCE=∠BCD$，
$\therefore ∠FCD=∠BCE$。
在$△CDF$和$△CBE$中，
$\because \begin{cases}∠FCD=∠ECB,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
$\therefore △CDF≌△CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=DF$。
$\therefore AB+AD=AE+BE+AD=AE+AD+DF=AE+AF$。
又$\because AC=AE+AF$，
$\therefore AB+AD=AC$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，第一问是基础的几何性质应用，第二问通过作垂直辅助线构造全等三角形完成线段转化，是解决线段和差类证明题的常用思路，掌握这类辅助线的构造方法能有效提升同类型题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
