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(3)如图，一艘海轮位于灯塔P南偏东$70°$方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P北偏东$40°$方向的N处，则N处与灯塔P之间的距离为
第2(3)题
80
海里.第2(3)题
答案
2. (3) 80
解析
【分析】
解题时首先根据路程=速度×时间求出MN的长度；再结合方位角和平行线的性质得到△PMN中∠PMN和∠PNM的度数，利用三角形内角和定理求出∠MPN的度数，发现∠MPN=∠PMN，根据等腰三角形“等角对等边”的性质即可得到PN=MN，从而求出N处与灯塔P的距离。
【解析】
解：由题意得，海轮航行的路程$MN=40×2=80$（海里）。
∵MN沿正北方向航行，结合方位角可知：
$∠ PNM=40°$，$∠ PMN=70°$，
在$△ PMN$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ MPN=180°-∠ PNM-∠ PMN=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ MPN=∠ PMN=70°$，
根据等角对等边，可得$PN=MN=80$海里。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的判定，方位角的应用，三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与等腰三角形判定的综合应用题，解题的关键是结合方位角得到三角形内角的度数，再利用等角对等边的性质求解，属于基础类几何应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据路程=速度×时间求出MN的长度；再结合方位角和平行线的性质得到△PMN中∠PMN和∠PNM的度数，利用三角形内角和定理求出∠MPN的度数，发现∠MPN=∠PMN，根据等腰三角形“等角对等边”的性质即可得到PN=MN，从而求出N处与灯塔P的距离。
【解析】
解：由题意得，海轮航行的路程$MN=40×2=80$（海里）。
∵MN沿正北方向航行，结合方位角可知：
$∠ PNM=40°$，$∠ PMN=70°$，
在$△ PMN$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ MPN=180°-∠ PNM-∠ PMN=180°-40°-70°=70°$，
∴$∠ MPN=∠ PMN=70°$，
根据等角对等边，可得$PN=MN=80$海里。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的判定，方位角的应用，三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与等腰三角形判定的综合应用题，解题的关键是结合方位角得到三角形内角的度数，再利用等角对等边的性质求解，属于基础类几何应用题型。
【难度系数】
0.7
(4)如图，在池塘一旁有一条笔直的小路(B，C是小路的两个端点)，另一旁有一棵小树(点A处为小树所在的位置)。测得相关数据为$∠ ABC = 60°$，$∠ ACB = 60°$，$BC=50\ \mathrm{m}$，则$AB=$
第2(4)题
50
m.第2(4)题
答案
2. (4) 50
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的已知角度条件，结合三角形内角和定理先计算第三个内角的度数，判断三角形的形状，再根据对应特殊三角形的边长性质求解AB的长度。第一步，利用三角形内角和为180°算出∠BAC的度数；第二步，根据三个角的度数判断三角形为等边三角形；第三步，依据等边三角形三边相等的性质，由已知BC的长度直接得到AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-60°-60°=60°$
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$
$\therefore △ ABC$是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）
$\therefore AB=BC$
$\because BC=50\ \mathrm{m}$
$\therefore AB=50\ \mathrm{m}$
【答案】
50
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查等边三角形的判定和性质，只要熟练掌握三角形内角和定理以及等边三角形的特征，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察△ABC的已知角度条件，结合三角形内角和定理先计算第三个内角的度数，判断三角形的形状，再根据对应特殊三角形的边长性质求解AB的长度。第一步，利用三角形内角和为180°算出∠BAC的度数；第二步，根据三个角的度数判断三角形为等边三角形；第三步，依据等边三角形三边相等的性质，由已知BC的长度直接得到AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-60°-60°=60°$
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$
$\therefore △ ABC$是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）
$\therefore AB=BC$
$\because BC=50\ \mathrm{m}$
$\therefore AB=50\ \mathrm{m}$
【答案】
50
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查等边三角形的判定和性质，只要熟练掌握三角形内角和定理以及等边三角形的特征，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
（5）如图，在直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=36°$，点D，E在AB上。若$BC=BD$，$∠ CED=∠ CDE$，则图中共有
4
个等腰三角形。答案
2. (5) 4
解析
【分析】要判断等腰三角形的个数，可依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先结合已知条件计算图中各角的度数，再逐一判断有多少个三角形存在相等的角（或相等的边）。首先先计算Rt△ABC的内角度数，再结合BC=BD、∠CED=∠CDE的条件，依次推导其余角的度数，对应判断每个三角形是否为等腰三角形即可。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
已知$∠ ACB=90°$，$∠ B=36°$，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-90°-36°=54°$。
2. 判断$△ BCD$：
已知$BC=BD$，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得$△ BCD$是等腰三角形。
计算其底角：$∠ BCD=∠ BDC=(180°-∠ B)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
3. 判断$△ CDE$：
已知$∠ CED=∠ CDE$，根据两角相等的三角形是等腰三角形，可得$△ CDE$是等腰三角形。
其中$∠ CDE=∠ BDC=72°$，因此$∠ CED=72°$，计算得$∠ DCE=180°-72°-72°=36°$。
4. 判断$△ BCE$：
$∠ BCE=∠ BCD-∠ DCE=72°-36°=36°$，因此$∠ BCE=∠ B=36°$，根据等角对等边得$CE=BE$，所以$△ BCE$是等腰三角形。
5. 判断$△ ACE$：
$∠ ACE=∠ ACB-∠ BCE=90°-36°=54°$，因此$∠ ACE=∠ A=54°$，根据等角对等边得$AE=CE$，所以$△ ACE$是等腰三角形。
综上，图中共有4个等腰三角形。
【答案】4
【知识点】三角形内角和；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】本题解题核心是通过角度推导找到相等的角，进而判定等腰三角形，计算角度时要注意理清角的和差关系，避免漏判符合条件的等腰三角形。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
已知$∠ ACB=90°$，$∠ B=36°$，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-90°-36°=54°$。
2. 判断$△ BCD$：
已知$BC=BD$，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得$△ BCD$是等腰三角形。
计算其底角：$∠ BCD=∠ BDC=(180°-∠ B)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
3. 判断$△ CDE$：
已知$∠ CED=∠ CDE$，根据两角相等的三角形是等腰三角形，可得$△ CDE$是等腰三角形。
其中$∠ CDE=∠ BDC=72°$，因此$∠ CED=72°$，计算得$∠ DCE=180°-72°-72°=36°$。
4. 判断$△ BCE$：
$∠ BCE=∠ BCD-∠ DCE=72°-36°=36°$，因此$∠ BCE=∠ B=36°$，根据等角对等边得$CE=BE$，所以$△ BCE$是等腰三角形。
5. 判断$△ ACE$：
$∠ ACE=∠ ACB-∠ BCE=90°-36°=54°$，因此$∠ ACE=∠ A=54°$，根据等角对等边得$AE=CE$，所以$△ ACE$是等腰三角形。
综上，图中共有4个等腰三角形。
【答案】4
【知识点】三角形内角和；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】本题解题核心是通过角度推导找到相等的角，进而判定等腰三角形，计算角度时要注意理清角的和差关系，避免漏判符合条件的等腰三角形。
【难度系数】0.7
3. 已知：如图，$∠ EAC$是$△ ABC$的外角，$AD$平分$∠ EAC$，且$AD// BC$。求证：$AB=AC$。
答案
3. 证明：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.
∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.
∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
解析
【分析】
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠B=∠C即可。首先结合已知AD//BC，可利用平行线的性质得到角的等量关系；再结合AD平分外角∠EAC的条件，可得两个被平分的角相等，通过等量代换就能推导出∠B=∠C，最终得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC（角平分线的定义）。
∴∠B=∠C（等量代换）。
∴AB=AC（等角对等边）。
【答案】
证明：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.
∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题关键是结合平行线性质与角平分线定义推导角的等量关系，再利用等腰三角形判定定理得到边相等的结论，是等腰三角形判定的典型应用，能帮助学生熟悉几何证明的分析逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠B=∠C即可。首先结合已知AD//BC，可利用平行线的性质得到角的等量关系；再结合AD平分外角∠EAC的条件，可得两个被平分的角相等，通过等量代换就能推导出∠B=∠C，最终得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC（角平分线的定义）。
∴∠B=∠C（等量代换）。
∴AB=AC（等角对等边）。
【答案】
证明：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.
∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题关键是结合平行线性质与角平分线定义推导角的等量关系，再利用等腰三角形判定定理得到边相等的结论，是等腰三角形判定的典型应用，能帮助学生熟悉几何证明的分析逻辑。
【难度系数】
0.8
4. 如图，OC是$∠ AOB$的平分线，将直尺$DEMN$按如图所示的方式摆放，使$EM$边与$OB$边重合，顶点$D$落在$OA$上，$DN$边与$OC$交于点$P$。
(1)猜想：$△ DOP$是
(2)证明你的猜想。
(1)猜想：$△ DOP$是
等腰
三角形。(2)证明你的猜想。
答案
4. (1) 等腰
(2) 证明：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM，
∴∠DPO=∠BOP.
∴∠DOP=∠DPO.
∴OD=PD.
∴△DOP 是等腰三角形.
(2) 证明：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM，
∴∠DPO=∠BOP.
∴∠DOP=∠DPO.
∴OD=PD.
∴△DOP 是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△DOP的形状，首先回忆等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。首先结合已知条件，OC是∠AOB的平分线，能得到一组角相等；其次直尺的对边互相平行，即DN//EM，根据平行线的内错角相等又能得到一组角相等，通过等量代换即可得到△DOP中两个内角相等，进而判定三角形形状。
【解析】
(1) 根据已知的角平分线和平行线的性质，推导角的等量关系，可得出△DOP为等腰三角形。
(2) 证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM（直尺对边互相平行），
∴∠DPO=∠BOP（两直线平行，内错角相等）.
∴∠DOP=∠DPO（等量代换）.
∴OD=PD（等角对等边）.
∴△DOP是等腰三角形.
【答案】
(1) 等腰
(2) 证明：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM，
∴∠DPO=∠BOP.
∴∠DOP=∠DPO.
∴OD=PD.
∴△DOP 是等腰三角形.
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合图形特征，利用角平分线和平行线的性质找到相等的角，再通过等角对等边完成等腰三角形的判定，解题思路清晰，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
要判断△DOP的形状，首先回忆等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。首先结合已知条件，OC是∠AOB的平分线，能得到一组角相等；其次直尺的对边互相平行，即DN//EM，根据平行线的内错角相等又能得到一组角相等，通过等量代换即可得到△DOP中两个内角相等，进而判定三角形形状。
【解析】
(1) 根据已知的角平分线和平行线的性质，推导角的等量关系，可得出△DOP为等腰三角形。
(2) 证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM（直尺对边互相平行），
∴∠DPO=∠BOP（两直线平行，内错角相等）.
∴∠DOP=∠DPO（等量代换）.
∴OD=PD（等角对等边）.
∴△DOP是等腰三角形.
【答案】
(1) 等腰
(2) 证明：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP.
∵DN//EM，
∴∠DPO=∠BOP.
∴∠DOP=∠DPO.
∴OD=PD.
∴△DOP 是等腰三角形.
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合图形特征，利用角平分线和平行线的性质找到相等的角，再通过等角对等边完成等腰三角形的判定，解题思路清晰，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
