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13. 观察下列等式：$1× \dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}$，$2× \dfrac{2}{3}=2-\dfrac{2}{3}$，$3× \dfrac{3}{4}=3-\dfrac{3}{4}$，…
（1）第四个等式是：
（2）探索这些等式的规律，写出第$n$个等式（用含$n$的等式表示）。
（1）第四个等式是：
$4× \dfrac{4}{5} = 4 - \dfrac{4}{5}$
；（2）探索这些等式的规律，写出第$n$个等式（用含$n$的等式表示）。
答案
13. (1) $4× \dfrac{4}{5} = 4 - \dfrac{4}{5}$ (2) $n× \dfrac{n}{n+1} = n - \dfrac{n}{n+1}$
解析
【分析】
首先观察已知的三个等式，梳理每个等式的结构特征：等式左侧第一个因数是从1开始的连续正整数，第二个分数的分子与第一个因数相同，分母比分子大1；等式右侧为第一个因数减去左侧的第二个分数。解决第(1)问时，直接按照规律将正整数替换为4即可；解决第(2)问时，将规律中的正整数用n（n为正整数）表示，再验证左右两边相等确认规律成立即可。
【解析】
（1）观察前三个等式的规律：第k个等式的第一个数为k，分数为$\frac{k}{k+1}$，等式为$k× \frac{k}{k+1}=k-\frac{k}{k+1}$。当k=4时，代入得第四个等式为$4× \frac{4}{5}=4-\frac{4}{5}$。
（2）设n为正整数，按照规律第n个等式左侧为$n× \frac{n}{n+1}$，右侧为$n-\frac{n}{n+1}$。验证右侧：$n-\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+1)-n}{n+1}=\frac{n^2 +n -n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}$，左侧$n× \frac{n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
（1）$4× \dfrac{4}{5} = 4 - \dfrac{4}{5}$；（2）$n× \dfrac{n}{n+1} = n - \dfrac{n}{n+1}$（n为正整数）
【知识点】
数字规律探究；用字母表示数
【点评】
本题是规律探究类基础题型，重点考查观察、归纳的逻辑能力，解题核心是从已知的特殊等式中提取共同特征，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先观察已知的三个等式，梳理每个等式的结构特征：等式左侧第一个因数是从1开始的连续正整数，第二个分数的分子与第一个因数相同，分母比分子大1；等式右侧为第一个因数减去左侧的第二个分数。解决第(1)问时，直接按照规律将正整数替换为4即可；解决第(2)问时，将规律中的正整数用n（n为正整数）表示，再验证左右两边相等确认规律成立即可。
【解析】
（1）观察前三个等式的规律：第k个等式的第一个数为k，分数为$\frac{k}{k+1}$，等式为$k× \frac{k}{k+1}=k-\frac{k}{k+1}$。当k=4时，代入得第四个等式为$4× \frac{4}{5}=4-\frac{4}{5}$。
（2）设n为正整数，按照规律第n个等式左侧为$n× \frac{n}{n+1}$，右侧为$n-\frac{n}{n+1}$。验证右侧：$n-\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+1)-n}{n+1}=\frac{n^2 +n -n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}$，左侧$n× \frac{n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
（1）$4× \dfrac{4}{5} = 4 - \dfrac{4}{5}$；（2）$n× \dfrac{n}{n+1} = n - \dfrac{n}{n+1}$（n为正整数）
【知识点】
数字规律探究；用字母表示数
【点评】
本题是规律探究类基础题型，重点考查观察、归纳的逻辑能力，解题核心是从已知的特殊等式中提取共同特征，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
14. 观察如图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在下面④⑤后的横线上写出相应的等式：
① $1 = 1^2$；
② $1 + 3 = 2^2$；
③ $1 +3 + 5 = 3^2$；
④
⑤
（2）请写出第 $n$ 个等式：
（1）在下面④⑤后的横线上写出相应的等式：
① $1 = 1^2$；
② $1 + 3 = 2^2$；
③ $1 +
④
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$
；⑤
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$
.（2）请写出第 $n$ 个等式：
$1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$
.答案
14. (1) $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$ $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$ (2) $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$
解析
【分析】
我们先观察给出的前3个等式和对应点阵图的关系：等式左边是从1开始的连续正奇数的和，第几个等式就有几个连续奇数相加，等式右边是奇数的个数的平方。按照这个规律就可以写出④⑤对应的等式，再进一步推导第n个等式即可。
【解析】
（1）观察已知等式：
①是第1个等式，有1个连续奇数相加：$1 = 1^2$；
②是第2个等式，有2个连续奇数相加：$1 + 3 = 2^2$；
③是第3个等式，有3个连续奇数相加：$1 + 3 + 5 = 3^2$；
那么第④个是第4个等式，有4个连续奇数相加，第4个正奇数是7，所以等式为：$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；
第⑤个是第5个等式，有5个连续奇数相加，第5个正奇数是9，所以等式为：$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$。
（2）推导第n个等式：第n个等式对应有n个从1开始的连续正奇数相加，第n个正奇数可以表示为$2n-1$，因此等式为$1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$。
【答案】
(1) $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$
(2) $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$
【知识点】
规律探究；用字母表示数
【点评】
本题是典型的数字图形结合的规律探究题，解题关键是先从已知的特殊等式中总结出左右两边的数量对应关系，再将规律推广到一般情况，能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
我们先观察给出的前3个等式和对应点阵图的关系：等式左边是从1开始的连续正奇数的和，第几个等式就有几个连续奇数相加，等式右边是奇数的个数的平方。按照这个规律就可以写出④⑤对应的等式，再进一步推导第n个等式即可。
【解析】
（1）观察已知等式：
①是第1个等式，有1个连续奇数相加：$1 = 1^2$；
②是第2个等式，有2个连续奇数相加：$1 + 3 = 2^2$；
③是第3个等式，有3个连续奇数相加：$1 + 3 + 5 = 3^2$；
那么第④个是第4个等式，有4个连续奇数相加，第4个正奇数是7，所以等式为：$1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；
第⑤个是第5个等式，有5个连续奇数相加，第5个正奇数是9，所以等式为：$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$。
（2）推导第n个等式：第n个等式对应有n个从1开始的连续正奇数相加，第n个正奇数可以表示为$2n-1$，因此等式为$1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$。
【答案】
(1) $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$
(2) $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$
【知识点】
规律探究；用字母表示数
【点评】
本题是典型的数字图形结合的规律探究题，解题关键是先从已知的特殊等式中总结出左右两边的数量对应关系，再将规律推广到一般情况，能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式中，不是代数式的是 【 】
A.$\frac{1}{x}$
B.$3x+2y-1$
C.$2y-1=0$
D.$-6$
A.$\frac{1}{x}$
B.$3x+2y-1$
C.$2y-1=0$
D.$-6$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或者一个字母也属于代数式。注意代数式中不能含有等号、不等号这类表示数量关系的符号。接下来我们逐个判断四个选项是否符合代数式的定义即可得出答案。
【解析】
首先明确代数式的判定规则：代数式仅由数、字母和运算符号组成，不含等号、不等号等关系符号。
选项A：$\frac{1}{x}$是用除号连接数1和字母x的式子，符合代数式定义，是代数式；
选项B：$3x+2y-1$是用加减运算符号连接数和字母的式子，符合代数式定义，是代数式；
选项C：$2y-1=0$中含有等号，属于等式，不是代数式；
选项D：$-6$是单独的一个数，符合代数式定义，是代数式。
【答案】
C
【知识点】
代数式的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确掌握代数式的定义，尤其要注意区分代数式与等式、不等式，代数式中不包含等号、不等号这类表示相等或不等关系的符号。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或者一个字母也属于代数式。注意代数式中不能含有等号、不等号这类表示数量关系的符号。接下来我们逐个判断四个选项是否符合代数式的定义即可得出答案。
【解析】
首先明确代数式的判定规则：代数式仅由数、字母和运算符号组成，不含等号、不等号等关系符号。
选项A：$\frac{1}{x}$是用除号连接数1和字母x的式子，符合代数式定义，是代数式；
选项B：$3x+2y-1$是用加减运算符号连接数和字母的式子，符合代数式定义，是代数式；
选项C：$2y-1=0$中含有等号，属于等式，不是代数式；
选项D：$-6$是单独的一个数，符合代数式定义，是代数式。
【答案】
C
【知识点】
代数式的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确掌握代数式的定义，尤其要注意区分代数式与等式、不等式，代数式中不包含等号、不等号这类表示相等或不等关系的符号。
【难度系数】
0.9
2.（长沙中考）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载$ m $个机械手($ m＞1 $)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为
【 】
A.$ 6m $
B.$ m+10 $
C.$ 60m $
D.$ 10m $
【 】
A.$ 6m $
B.$ m+10 $
C.$ 60m $
D.$ 10m $
答案
D
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系：总采摘量=单个机械手每分钟采摘个数×机械手的总数量。首先提取已知条件：单个机械手每分钟采摘10个苹果，机械手的总数是m个，求总采摘量本质是求m个10的和，根据乘法的意义，用乘法计算即可得出结果。
【解析】
已知1个机械手平均每分钟采摘10个苹果，一共有m个机械手，那么每分钟总的采摘苹果个数为单个机械手的采摘量乘机械手的数量，列式得：
$10× m=10m$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；用字母表示数
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景考查基础数量关系的列式应用，只要明确“总量=单量×数量”的基本关系就能快速求解，是贴近生活的基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目中的数量关系：总采摘量=单个机械手每分钟采摘个数×机械手的总数量。首先提取已知条件：单个机械手每分钟采摘10个苹果，机械手的总数是m个，求总采摘量本质是求m个10的和，根据乘法的意义，用乘法计算即可得出结果。
【解析】
已知1个机械手平均每分钟采摘10个苹果，一共有m个机械手，那么每分钟总的采摘苹果个数为单个机械手的采摘量乘机械手的数量，列式得：
$10× m=10m$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；用字母表示数
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景考查基础数量关系的列式应用，只要明确“总量=单量×数量”的基本关系就能快速求解，是贴近生活的基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
3.（许昌期末）甲、乙同学对代数式“2(x+y)”的意义分别叙述如下：
甲：x的2倍与y的和；
乙：苹果x元/kg，香蕉y元/kg，苹果和香蕉各买2kg的总花费。
则下列判断中，正确的是 【 】
A.只有甲正确
B.只有乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确
甲：x的2倍与y的和；
乙：苹果x元/kg，香蕉y元/kg，苹果和香蕉各买2kg的总花费。
则下列判断中，正确的是 【 】
A.只有甲正确
B.只有乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确
答案
B
解析
【分析】
要判断甲、乙两人的叙述是否正确，只需将两人的文字描述转化为代数式，再和题干给出的“2(x+y)”对比即可。首先分析甲的表述：“x的2倍与y的和”，先计算x的2倍是2x，再加y，得到的代数式为2x+y，和2(x+y)不一致，因此甲的说法错误。再分析乙的表述：苹果和香蕉各买2kg，先算1kg苹果和1kg香蕉的总价格是(x+y)元，买2份的总花费就是2乘(x+y)，即2(x+y)，和题干代数式一致，因此乙的说法正确，据此即可选出正确选项。
【解析】
1. 判断甲的叙述是否正确：
“x的2倍与y的和”对应的代数式为：$2x + y$，和题目给出的$2(x+y)$不相等，因此甲的叙述错误。
2. 判断乙的叙述是否正确：
苹果单价x元/kg，香蕉单价y元/kg，各买2kg的总花费为：$2x + 2y$，根据乘法分配律可整理为$2(x+y)$，和题目给出的代数式一致，因此乙的叙述正确。
综上，只有乙的叙述正确。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义、列代数式
【点评】
本题考查代数式与文字描述、实际场景的对应关系，解题核心是准确将文字表述转化为代数式，注意带括号的代数式的运算顺序，避免混淆运算优先级。
【难度系数】
0.8
要判断甲、乙两人的叙述是否正确，只需将两人的文字描述转化为代数式，再和题干给出的“2(x+y)”对比即可。首先分析甲的表述：“x的2倍与y的和”，先计算x的2倍是2x，再加y，得到的代数式为2x+y，和2(x+y)不一致，因此甲的说法错误。再分析乙的表述：苹果和香蕉各买2kg，先算1kg苹果和1kg香蕉的总价格是(x+y)元，买2份的总花费就是2乘(x+y)，即2(x+y)，和题干代数式一致，因此乙的说法正确，据此即可选出正确选项。
【解析】
1. 判断甲的叙述是否正确：
“x的2倍与y的和”对应的代数式为：$2x + y$，和题目给出的$2(x+y)$不相等，因此甲的叙述错误。
2. 判断乙的叙述是否正确：
苹果单价x元/kg，香蕉单价y元/kg，各买2kg的总花费为：$2x + 2y$，根据乘法分配律可整理为$2(x+y)$，和题目给出的代数式一致，因此乙的叙述正确。
综上，只有乙的叙述正确。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义、列代数式
【点评】
本题考查代数式与文字描述、实际场景的对应关系，解题核心是准确将文字表述转化为代数式，注意带括号的代数式的运算顺序，避免混淆运算优先级。
【难度系数】
0.8
