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1. 同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理时发现，当小孔在某一位置时，$AO=CO$，$BO=DO$。已知蜡烛火焰成的像$CD$的高度为$2.5\ \mathrm{cm}$，则蜡烛实际的火焰$AB$的高度为$\mathrm{cm}$。
答案
$\boldsymbol{2.5}$
解析
【分析】
要计算蜡烛火焰AB的高度，可通过证明AB所在的三角形与CD所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质求解。首先观察图形可知△AOB和△COD中，已知AO=CO、BO=DO，且两组边的夹角是对顶角，对顶角相等，满足SAS全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到AB与CD的长度关系。
【解析】
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO（已知）\\∠ AOB=∠ COD（对顶角相等）\\BO=DO（已知）\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AB=CD$
已知$CD=2.5\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
对顶角的性质；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活实验场景考查三角形全等的判定与性质应用，解题关键是准确找到待求边所在的全等三角形，属于基础应用题，掌握全等三角形的判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
要计算蜡烛火焰AB的高度，可通过证明AB所在的三角形与CD所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质求解。首先观察图形可知△AOB和△COD中，已知AO=CO、BO=DO，且两组边的夹角是对顶角，对顶角相等，满足SAS全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到AB与CD的长度关系。
【解析】
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO（已知）\\∠ AOB=∠ COD（对顶角相等）\\BO=DO（已知）\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AB=CD$
已知$CD=2.5\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
对顶角的性质；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活实验场景考查三角形全等的判定与性质应用，解题关键是准确找到待求边所在的全等三角形，属于基础应用题，掌握全等三角形的判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
2.如图,在正方形网格中,∠2−∠1=.
答案
$\boldsymbol{45°}$
解析
【分析】
要计算∠2与∠1的差，我们可以借助网格中的全等三角形建立两个角的数量关系。首先设每个小正方形的边长为1，找到分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，观察可得它们的直角边均为1和2，可通过SAS证明两三角形全等，得到对应角相等，再结合网格中的特殊角度关系推导两角的差值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可知：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1、2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长度也为1、2，且两个三角形的直角均为90°。
根据SAS全等判定定理，可得这两个直角三角形全等，因此∠1与∠2所在直角三角形中、和∠2互余的锐角相等。
结合网格角度关系可得：∠1 + ∠2 = 135°，
又因为包含∠1的直角三角形中，∠1 + (90° - ∠1) =90°，代入上式可推导得：
∠2 - ∠1 = 45°
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
全等三角形的判定，角度计算
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的应用，解题核心是准确找到网格中边长对应相等的直角三角形证明全等，将两个未知角建立数量联系，再结合网格中的特殊角度完成计算。
【难度系数】
0.7
要计算∠2与∠1的差，我们可以借助网格中的全等三角形建立两个角的数量关系。首先设每个小正方形的边长为1，找到分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，观察可得它们的直角边均为1和2，可通过SAS证明两三角形全等，得到对应角相等，再结合网格中的特殊角度关系推导两角的差值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可知：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1、2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长度也为1、2，且两个三角形的直角均为90°。
根据SAS全等判定定理，可得这两个直角三角形全等，因此∠1与∠2所在直角三角形中、和∠2互余的锐角相等。
结合网格角度关系可得：∠1 + ∠2 = 135°，
又因为包含∠1的直角三角形中，∠1 + (90° - ∠1) =90°，代入上式可推导得：
∠2 - ∠1 = 45°
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
全等三角形的判定，角度计算
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的应用，解题核心是准确找到网格中边长对应相等的直角三角形证明全等，将两个未知角建立数量联系，再结合网格中的特殊角度完成计算。
【难度系数】
0.7
3.如图,已知$AE=CF$,$∠ AFD=∠ BEC$.
(1)若添加条件$∠ D=∠ B$,则$AD=BC$吗?请说明理由.
(2)若运用“ASA”判定$△ ADF$与$△ CBE$全等,则需添加的条件是.
(3)若运用“SAS”判定$△ ADF$与$△ CBE$全等,则需添加的条件是.
(1)若添加条件$∠ D=∠ B$,则$AD=BC$吗?请说明理由.
(2)若运用“ASA”判定$△ ADF$与$△ CBE$全等,则需添加的条件是.
(3)若运用“SAS”判定$△ ADF$与$△ CBE$全等,则需添加的条件是.
答案
(1)
解：$AD=BC$，理由如下：
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即 $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ B \\∠ AFD=∠ BEC \\AF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BC$。
(2)
$∠ A=∠ C$
(3)
$DF=BE$
解：$AD=BC$，理由如下：
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即 $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ B \\∠ AFD=∠ BEC \\AF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BC$。
(2)
$∠ A=∠ C$
(3)
$DF=BE$
解析
【分析】
这道题围绕三角形全等的判定与性质展开，解题第一步先由已知$AE=CF$，利用线段和差推出$△ ADF$和$△ CBE$的一组对应边$AF=CE$，再结合不同问题要求求解：
(1) 已知$∠ D=∠ B$和$∠ AFD=∠ BEC$，加上推出的$AF=CE$，可利用AAS判定两三角形全等，再由全等对应边相等得$AD=BC$；
(2) ASA判定要求“两角及其夹边对应相等”，已有夹边$AF=CE$，以及一组角$∠ AFD=∠ BEC$，只需补充夹边的另一组对应角相等即可；
(3) SAS判定要求“两边及其夹角对应相等”，已有夹角$∠ AFD=∠ BEC$，以及一组夹边$AF=CE$，只需补充夹角的另一组夹边相等即可。
【解析】
(1) $AD=BC$，理由如下：
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即 $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ B \\∠ AFD=∠ BEC \\AF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BC$。
(2) 要运用“ASA”判定$△ ADF≌△ CBE$，已知$∠ AFD=∠ BEC$、$AF=CE$，需要添加夹边对应的另一组角相等，即$∠ A=∠ C$。
(3) 要运用“SAS”判定$△ ADF≌△ CBE$，已知$∠ AFD=∠ BEC$、$AF=CE$，需要添加夹角对应的另一组边相等，即$DF=BE$。
【答案】
(1) $AD=BC$，理由见解析；
(2) $∠ A=∠ C$；
(3) $DF=BE$
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题重点考查三角形全等判定定理的灵活应用，解题核心是先根据已知线段相等推导得到两个三角形的对应边$AF=CE$，再结合不同全等判定定理的条件补充对应要素，是巩固全等判定的基础练习题，需熟练区分各个全等判定的条件要求。
【难度系数】
0.8
这道题围绕三角形全等的判定与性质展开，解题第一步先由已知$AE=CF$，利用线段和差推出$△ ADF$和$△ CBE$的一组对应边$AF=CE$，再结合不同问题要求求解：
(1) 已知$∠ D=∠ B$和$∠ AFD=∠ BEC$，加上推出的$AF=CE$，可利用AAS判定两三角形全等，再由全等对应边相等得$AD=BC$；
(2) ASA判定要求“两角及其夹边对应相等”，已有夹边$AF=CE$，以及一组角$∠ AFD=∠ BEC$，只需补充夹边的另一组对应角相等即可；
(3) SAS判定要求“两边及其夹角对应相等”，已有夹角$∠ AFD=∠ BEC$，以及一组夹边$AF=CE$，只需补充夹角的另一组夹边相等即可。
【解析】
(1) $AD=BC$，理由如下：
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即 $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ B \\∠ AFD=∠ BEC \\AF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BC$。
(2) 要运用“ASA”判定$△ ADF≌△ CBE$，已知$∠ AFD=∠ BEC$、$AF=CE$，需要添加夹边对应的另一组角相等，即$∠ A=∠ C$。
(3) 要运用“SAS”判定$△ ADF≌△ CBE$，已知$∠ AFD=∠ BEC$、$AF=CE$，需要添加夹角对应的另一组边相等，即$DF=BE$。
【答案】
(1) $AD=BC$，理由见解析；
(2) $∠ A=∠ C$；
(3) $DF=BE$
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题重点考查三角形全等判定定理的灵活应用，解题核心是先根据已知线段相等推导得到两个三角形的对应边$AF=CE$，再结合不同全等判定定理的条件补充对应要素，是巩固全等判定的基础练习题，需熟练区分各个全等判定的条件要求。
【难度系数】
0.8
4.一个测量工件内槽宽的工具如图所示，O既是$AA'$的中点，也是$BB'$的中点.若测得$AB=3.5\ \mathrm{cm}$，求该内槽的宽$A'B'$.
答案
解：
∵ O既是$AA'$的中点，也是$BB'$的中点，
∴ $AO = A'O$，$BO = B'O$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中，
$\{\begin{array}{l}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \\BO = B'O\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）。
∴ $A'B' = AB = 3.5\ \mathrm{cm}$。
答：该内槽的宽$A'B'$为$3.5\ \mathrm{cm}$。
∵ O既是$AA'$的中点，也是$BB'$的中点，
∴ $AO = A'O$，$BO = B'O$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中，
$\{\begin{array}{l}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \\BO = B'O\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）。
∴ $A'B' = AB = 3.5\ \mathrm{cm}$。
答：该内槽的宽$A'B'$为$3.5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要计算无法直接测量的内槽宽$A'B'$，可通过证明$A'B'$与已知长度的$AB$所在三角形全等，将未知线段转化为已知线段求解。首先根据中点定义可得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到$A'B'$的长度。
【解析】
∵ O既是$AA'$的中点，也是$BB'$的中点，
∴ $AO = A'O$，$BO = B'O$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中，
$\{\begin{array}{l}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等})\\BO = B'O\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）。
∴ $A'B' = AB = 3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
中点的定义；SAS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，核心是通过中点、对顶角的条件构造全等三角形，将不可直接测量的长度转化为可测量的长度，体现了转化的数学思想，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.9
要计算无法直接测量的内槽宽$A'B'$，可通过证明$A'B'$与已知长度的$AB$所在三角形全等，将未知线段转化为已知线段求解。首先根据中点定义可得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到$A'B'$的长度。
【解析】
∵ O既是$AA'$的中点，也是$BB'$的中点，
∴ $AO = A'O$，$BO = B'O$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中，
$\{\begin{array}{l}AO = A'O \\∠ AOB = ∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等})\\BO = B'O\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）。
∴ $A'B' = AB = 3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
中点的定义；SAS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，核心是通过中点、对顶角的条件构造全等三角形，将不可直接测量的长度转化为可测量的长度，体现了转化的数学思想，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.9
5.如图,点C,F,A,D在一条直线上,EF//BC,AD=CF,∠B=∠E.求证EF=BC.
答案
证明：
∵ $EF// BC$，
∴ $∠ EFD = ∠ BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ E = ∠ B, \\∠ DFE = ∠ ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
∵ $EF// BC$，
∴ $∠ EFD = ∠ BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ E = ∠ B, \\∠ DFE = ∠ ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。本题中EF、BC分别属于△DEF和△ABC，因此只需证明△DEF≌△ABC即可。首先根据EF//BC，利用平行线的性质可得到一组对应角相等；再由已知AD=CF，通过线段和差运算可得到一组对应边相等；结合题干给出的∠B=∠E，即可用AAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质就能得到EF=BC的结论。
【解析】
证明：
∵ $EF// BC$，
∴ $∠EFD = ∠BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中：
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠B, \\∠DFE = ∠ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
【答案】
证明：
∵ $EF// BC$，
∴ $∠ EFD = ∠ BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ E = ∠ B, \\∠ DFE = ∠ ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等证明的基础常规题，解题核心是梳理全等的判定条件，熟练掌握平行线性质、线段和差运算及全等三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。本题中EF、BC分别属于△DEF和△ABC，因此只需证明△DEF≌△ABC即可。首先根据EF//BC，利用平行线的性质可得到一组对应角相等；再由已知AD=CF，通过线段和差运算可得到一组对应边相等；结合题干给出的∠B=∠E，即可用AAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质就能得到EF=BC的结论。
【解析】
证明：
∵ $EF// BC$，
∴ $∠EFD = ∠BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中：
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠B, \\∠DFE = ∠ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
【答案】
证明：
∵ $EF// BC$，
∴ $∠ EFD = ∠ BCA$。
∵ $AD = CF$，
∴ $AD + AF = CF + AF$，
即 $DF = AC$。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ E = ∠ B, \\∠ DFE = ∠ ACB, \\DF = AC,\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ ABC$（AAS），
∴ $EF = BC$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等证明的基础常规题，解题核心是梳理全等的判定条件，熟练掌握平行线性质、线段和差运算及全等三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
