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1.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要回忆直角三角形全等的判定方法：既包含普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），也有直角三角形特有的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。解题时要逐一分析每个选项是否符合上述判定条件，特别注意：判定全等必须有至少一组边对应相等，仅角相等无法保证大小相等，不能判定全等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形特有的HL判定定理，可以判定两个直角三角形全等；
B. 两个锐角对应相等，仅能得到三个角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明两个三角形形状相同（相似），无法保证大小相等，不能判定全等；
C. 一锐角和斜边对应相等，加上两个三角形的直角本身相等，符合AAS（角角边）判定定理，可以判定全等；
D. 两条直角边对应相等，加上两条直角边的夹角是直角（相等），符合SAS（边角边）判定定理，可以判定全等。
因此符合题意的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的判定条件
【点评】
这道题属于基础概念考查题，核心是区分全等判定和相似判定的差异，要牢记全等判定必须有边的参与，仅角对应相等无法判定全等，做题时要熟练掌握各类全等判定定理的适用条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们需要回忆直角三角形全等的判定方法：既包含普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），也有直角三角形特有的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。解题时要逐一分析每个选项是否符合上述判定条件，特别注意：判定全等必须有至少一组边对应相等，仅角相等无法保证大小相等，不能判定全等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 斜边和一直角边对应相等，符合直角三角形特有的HL判定定理，可以判定两个直角三角形全等；
B. 两个锐角对应相等，仅能得到三个角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明两个三角形形状相同（相似），无法保证大小相等，不能判定全等；
C. 一锐角和斜边对应相等，加上两个三角形的直角本身相等，符合AAS（角角边）判定定理，可以判定全等；
D. 两条直角边对应相等，加上两条直角边的夹角是直角（相等），符合SAS（边角边）判定定理，可以判定全等。
因此符合题意的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的判定条件
【点评】
这道题属于基础概念考查题，核心是区分全等判定和相似判定的差异，要牢记全等判定必须有边的参与，仅角对应相等无法判定全等，做题时要熟练掌握各类全等判定定理的适用条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2.如图，$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$AD=BC$，能直接判断$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB$的理由是。
答案
解：
$\because AB⊥ BD, CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，
即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases}AD = BC \\BD = DB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$的直接判定理由是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
$\because AB⊥ BD, CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，
即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases}AD = BC \\BD = DB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$的直接判定理由是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直条件入手，可先确定两个待判定的三角形都是直角三角形；接下来梳理已知边的关系：AD=BC是两个直角三角形的斜边，同时两个三角形共用边BD，即直角边BD=DB；结合直角三角形特有的全等判定规则，斜边和一条直角边对应相等即可判定全等，由此确定判定依据。
【解析】
$\because AB⊥ BD, CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中：
$\begin{cases}AD = BC \\BD = DB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$的直接判定理由是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
【答案】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（或HL）
【知识点】
垂直的定义、公共边的应用、HL判定定理
【点评】
本题是基础的全等判定类题目，解题时要注意先确认三角形为直角三角形，再结合已知条件和公共边这类隐含条件选择对应的判定定理，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85
解题时首先从已知的垂直条件入手，可先确定两个待判定的三角形都是直角三角形；接下来梳理已知边的关系：AD=BC是两个直角三角形的斜边，同时两个三角形共用边BD，即直角边BD=DB；结合直角三角形特有的全等判定规则，斜边和一条直角边对应相等即可判定全等，由此确定判定依据。
【解析】
$\because AB⊥ BD, CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中：
$\begin{cases}AD = BC \\BD = DB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$的直接判定理由是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
【答案】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（或HL）
【知识点】
垂直的定义、公共边的应用、HL判定定理
【点评】
本题是基础的全等判定类题目，解题时要注意先确认三角形为直角三角形，再结合已知条件和公共边这类隐含条件选择对应的判定定理，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85
3. 如图，已知在$△ ABO$和$△ DCO$中，$AB\bot BO,CD\bot CO,AO=DO.$若利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ DCO$，需增加的条件是。
。
。
答案
解：
∵ $AB\bot BO,CD\bot CO$
∴ $∠ B=∠ C=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ DCO$都是直角三角形。
已知斜边$AO=DO$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需要一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。
因此需增加的条件是 $\boldsymbol{AB=CD}$、$\boldsymbol{BO=CO}$。
∵ $AB\bot BO,CD\bot CO$
∴ $∠ B=∠ C=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ DCO$都是直角三角形。
已知斜边$AO=DO$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需要一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。
因此需增加的条件是 $\boldsymbol{AB=CD}$、$\boldsymbol{BO=CO}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形全等的HL判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。先梳理题中已给条件：由$AB\bot BO$、$CD\bot CO$可确定$△ ABO$和$△ DCO$都是直角三角形，同时已知斜边$AO=DO$，已经满足HL中“斜边对应相等”的要求，因此只需补充任意一组直角边对应相等即可，两个三角形的直角边分别为$AB、BO$和$CD、CO$，因此补充的条件可以是$AB=CD$或者$BO=CO$。
【解析】
∵ $AB\bot BO,CD\bot CO$
∴ $∠ B=∠ C=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ DCO$都是直角三角形。
已知斜边$AO=DO$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需要一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。
因此需增加的条件是 $AB=CD$ 或 $BO=CO$。
【答案】
$AB=CD$（或$BO=CO$）
【知识点】
1. HL判定定理
2. 垂直的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定条件补充，解题时要明确HL定理仅适用于直角三角形，且需同时满足斜边和一条直角边对应相等的要求，注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直角三角形全等的HL判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。先梳理题中已给条件：由$AB\bot BO$、$CD\bot CO$可确定$△ ABO$和$△ DCO$都是直角三角形，同时已知斜边$AO=DO$，已经满足HL中“斜边对应相等”的要求，因此只需补充任意一组直角边对应相等即可，两个三角形的直角边分别为$AB、BO$和$CD、CO$，因此补充的条件可以是$AB=CD$或者$BO=CO$。
【解析】
∵ $AB\bot BO,CD\bot CO$
∴ $∠ B=∠ C=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ DCO$都是直角三角形。
已知斜边$AO=DO$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需要一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。
因此需增加的条件是 $AB=CD$ 或 $BO=CO$。
【答案】
$AB=CD$（或$BO=CO$）
【知识点】
1. HL判定定理
2. 垂直的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定条件补充，解题时要明确HL定理仅适用于直角三角形，且需同时满足斜边和一条直角边对应相等的要求，注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AB,FD⊥AD,AB=CD.若利用“HL”证明$Rt△ AEC ≌ Rt△ DFB$,需添加什么条件?请写出你的证明过程.需要添加的条件是.
（第4题）
（第4题）答案
需要添加的条件是 $\boldsymbol{EC=FB}$。
证明：
∵ $EA⊥ AB$，$FD⊥ AD$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $△ AEC$ 和 $△ DFB$ 都是直角三角形。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = DB$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中，
$\begin{cases}EC = FB \\AC = DB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$。
证明：
∵ $EA⊥ AB$，$FD⊥ AD$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $△ AEC$ 和 $△ DFB$ 都是直角三角形。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = DB$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中，
$\begin{cases}EC = FB \\AC = DB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$。
解析
【分析】
要利用“HL”证明两个直角三角形全等，首先明确“HL”的判定规则：两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等即可判定全等。先梳理已知条件：由$EA⊥AB$、$FD⊥AD$，可得$△ AEC$和$△ DFB$都是直角三角形；已知$AB=CD$，等式两边同时加公共线段$BC$，可推出直角边$AC=DB$，此时已有一条直角边对应相等，只需补充两个三角形的斜边相等即可满足HL的判定条件，因此需添加的条件是$EC=FB$。
【解析】
证明：
∵ $EA⊥AB$，$FD⊥AD$，
∴ $∠A = ∠D = 90°$，
∴ $△ AEC$和$△ DFB$都是直角三角形。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = DB$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中，
$\begin{cases}EC = FB \\AC = DB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$。
【答案】
$EC=FB$
【知识点】
HL全等判定，线段和差计算，垂直的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要先结合已知条件推导出已有的相等边，再对照判定规则确定需要补充的条件即可。
【难度系数】
0.75
要利用“HL”证明两个直角三角形全等，首先明确“HL”的判定规则：两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等即可判定全等。先梳理已知条件：由$EA⊥AB$、$FD⊥AD$，可得$△ AEC$和$△ DFB$都是直角三角形；已知$AB=CD$，等式两边同时加公共线段$BC$，可推出直角边$AC=DB$，此时已有一条直角边对应相等，只需补充两个三角形的斜边相等即可满足HL的判定条件，因此需添加的条件是$EC=FB$。
【解析】
证明：
∵ $EA⊥AB$，$FD⊥AD$，
∴ $∠A = ∠D = 90°$，
∴ $△ AEC$和$△ DFB$都是直角三角形。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = DB$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFB$ 中，
$\begin{cases}EC = FB \\AC = DB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ DFB\ (\mathrm{HL})$。
【答案】
$EC=FB$
【知识点】
HL全等判定，线段和差计算，垂直的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要先结合已知条件推导出已有的相等边，再对照判定规则确定需要补充的条件即可。
【难度系数】
0.75
5. 提升题 如图，幼儿园有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等。
(1)$△ ABC$与$△ DEF$是否全等？
(2)两个滑梯的倾斜角$∠ ABC$和$∠ DFE$的大小有什么关系？
(1)$△ ABC$与$△ DEF$是否全等？
(2)两个滑梯的倾斜角$∠ ABC$和$∠ DFE$的大小有什么关系？
答案
解：
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等，理由如下：
由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}BC = EF \\AC = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
(2) 由$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$，得$∠ ABC = ∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ DFE = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ DFE = 90°$，即$∠ ABC$与$∠ DFE$互余。
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等，理由如下：
由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}BC = EF \\AC = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
(2) 由$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$，得$∠ ABC = ∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ DFE = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ DFE = 90°$，即$∠ ABC$与$∠ DFE$互余。
解析
【分析】
(1) 先判断$△ ABC$和$△ DEF$的形状：由题意可知$AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，所以两个三角形都是直角三角形。要判定直角三角形全等，可优先考虑HL定理，已知滑梯长度相同即斜边$BC=EF$，又给出直角边$AC=DF$，满足HL的判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 要探究$∠ ABC$和$∠ DFE$的大小关系，先利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ ABC=∠ DEF$，再结合直角三角形两锐角互余的性质，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中$∠ DEF+∠ DFE=90°$，通过等量代换即可推出两个角的数量关系。
【解析】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等，理由如下：
由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}BC = EF \\AC = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
(2) 由$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$，得$∠ ABC = ∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ DFE = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ DFE = 90°$，即$∠ ABC$与$∠ DFE$互余。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等；
(2) $∠ ABC$与$∠ DFE$互余（或$∠ ABC + ∠ DFE = 90°$）。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景出题，解题时需先挖掘出图形中隐含的垂直条件，确定两个三角形为直角三角形，再结合已知条件判定全等，最后利用全等性质和直角三角形内角性质推导角的关系，要注意HL判定定理仅适用于直角三角形。
【难度系数】
0.7
(1) 先判断$△ ABC$和$△ DEF$的形状：由题意可知$AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，所以两个三角形都是直角三角形。要判定直角三角形全等，可优先考虑HL定理，已知滑梯长度相同即斜边$BC=EF$，又给出直角边$AC=DF$，满足HL的判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 要探究$∠ ABC$和$∠ DFE$的大小关系，先利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ ABC=∠ DEF$，再结合直角三角形两锐角互余的性质，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中$∠ DEF+∠ DFE=90°$，通过等量代换即可推出两个角的数量关系。
【解析】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等，理由如下：
由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases}BC = EF \\AC = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
(2) 由$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$，得$∠ ABC = ∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ DFE = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ DFE = 90°$，即$∠ ABC$与$∠ DFE$互余。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ DEF$全等；
(2) $∠ ABC$与$∠ DFE$互余（或$∠ ABC + ∠ DFE = 90°$）。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景出题，解题时需先挖掘出图形中隐含的垂直条件，确定两个三角形为直角三角形，再结合已知条件判定全等，最后利用全等性质和直角三角形内角性质推导角的关系，要注意HL判定定理仅适用于直角三角形。
【难度系数】
0.7
