6.如图，在$△ ABC$中，作$DE// AB$分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$，延长$BC$至点$F$，连接$FD$，使得$∠ F=∠ A$，若$FD=AC$.
(1)求证$BC=DE$；
(2)若$CD$平分$∠ EDF$，且$∠ B=105°$，求$∠ DCB$的度数.

(1) 证明：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DEF$。
在$△ ABC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ F \\∠ B = ∠ DEF \\AC = FD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ FED$（AAS），
∴ $BC = DE$。
---
(2) 解：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ A = ∠ CDE$，$∠ DEF = ∠ B = 105°$。
∵ $∠ F = ∠ A$，
∴ $∠ CDE = ∠ F$。
∵ $CD$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ CDE = ∠ CDF$，
∴ $∠ CDF = ∠ F$。
在$△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ EDF + ∠ F = 180°$，
又∵ $∠ EDF = ∠ CDE + ∠ CDF = 2∠ CDF = 2∠ F$，
代入得：$105° + 2∠ F + ∠ F = 180°$，
解得$∠ F = 25°$。
∵ $∠ DCB$是$△ DCF$的外角，
∴ $∠ DCB = ∠ CDF + ∠ F = 2∠ F = 50°$。
答：$∠ DCB$的度数为$50°$。

【分析】
(1) 要证明BC=DE，可通过证明两条边所在的三角形全等得到。首先根据DE//AB的平行线性质得到一组对应角相等，结合题目给出的∠F=∠A、FD=AC的条件，用AAS判定△ABC和△FED全等，即可得到对应边BC=DE。
(2) 求∠DCB的度数，先利用平行线的性质得到角的等量关系，结合CD平分∠EDF的条件，将△DEF内的角都用∠F表示，再利用三角形内角和为180°求出∠F的度数，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DCB的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ F \\∠ B = ∠ DEF \\AC = FD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ FED$（AAS），
∴ $BC = DE$（全等三角形对应边相等）。
(2) 解：
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ A = ∠ CDE$（两直线平行，内错角相等），$∠ DEF = ∠ B = 105°$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠ F = ∠ A$，
∴ $∠ CDE = ∠ F$（等量代换）。
∵ $CD$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ CDE = ∠ CDF$（角平分线定义），
∴ $∠ CDF = ∠ F$（等量代换）。
在$△ DEF$中，根据三角形内角和为180°，得$∠ DEF + ∠ EDF + ∠ F = 180°$，
又
∵ $∠ EDF = ∠ CDE + ∠ CDF = 2∠ CDF = 2∠ F$，
代入得：$105° + 2∠ F + ∠ F = 180°$，
解得$∠ F = 25°$。
∵ $∠ DCB$是$△ DCF$的外角，
∴ $∠ DCB = ∠ CDF + ∠ F = 2∠ F = 50°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BC=DE$；
(2) $\boxed{50°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形角的相关性质
【点评】
本题是三角形模块的常规综合题，核心考查基础定理的应用，解题关键是通过平行线、角平分线的性质完成角的等量代换，结合全等判定和三角形内角、外角性质逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.7

7. 提升题▶如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10 cm，∠B=∠C，BC=8 cm. 若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.
(1)若点Q的速度与点P的速度相等，经过1 s后，求证△BPD≌△CQP；
(2)若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？

(1) 证明：
∵ D为AB的中点，AB=10 cm，
∴ $BD = \frac{1}{2}AB = 5\ \mathrm{cm}$。
经过1 s后，$BP = 3×1 = 3\ \mathrm{cm}$，$CQ = 3×1 = 3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP = CQ$。
∵ $BC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $PC = BC - BP = 8 - 3 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $PC = BD$。
又∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $△ BPD ≌ △ CQP$（SAS）。
---
(2) 解：
∵ $v_Q ≠ v_P$，
∴ $BP ≠ CQ$。
又∵ $∠ B = ∠ C$，$△ BPD ≌ △ CPQ$，
∴ 对应边满足 $BP = CP$，$BD = CQ$。
∵ $BP + CP = BC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP = CP = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ 点P的运动时间 $t = \frac{BP}{3} = \frac{4}{3}\ \mathrm{s}$。
∵ $BD = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $CQ = BD = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ 点Q的速度 $v_Q = \frac{CQ}{t} = 5 ÷ \frac{4}{3} = \frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$。
答：当点Q的速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$时，能够使$△ BPD ≌ △ CPQ$。

【分析】
(1) 要证明△BPD≌△CQP，已知∠B=∠C，根据SAS全等判定定理，只需找到∠B的两组夹边BD、BP和∠C的两组夹边CQ、PC分别相等即可。先由中点性质求出BD的长度，再根据运动速度和时间计算BP、CQ的长度，结合BC的长度求出PC的长度，验证对应边相等即可完成证明。
(2) 因为点Q和点P速度不相等，所以BP≠CQ，要使△BPD≌△CPQ且∠B=∠C，此时全等的对应边应为BP=CP、BD=CQ。先求出BP的长度，再根据P的速度算出运动时间，该时间也是Q的运动时间，结合CQ=BD的长度，利用速度=路程÷时间即可求出Q的速度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D为AB的中点，AB=10 cm，
∴ $BD = \frac{1}{2}AB = 5\ \mathrm{cm}$。
经过1 s后，$BP = 3×1 = 3\ \mathrm{cm}$，$CQ = 3×1 = 3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP = CQ$。
∵ $BC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $PC = BC - BP = 8 - 3 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $PC = BD$。
又
∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $△ BPD ≌ △ CQP$（SAS）。
(2) 解：
∵ $v_Q ≠ v_P$，
∴ $BP ≠ CQ$。
又
∵ $∠ B = ∠ C$，$△ BPD ≌ △ CPQ$，
∴ 对应边满足 $BP = CP$，$BD = CQ$。
∵ $BP + CP = BC = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP = CP = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ 点P的运动时间 $t = \frac{BP}{3} = \frac{4}{3}\ \mathrm{s}$。
∵ $BD = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $CQ = BD = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ 点Q的速度 $v_Q = \frac{CQ}{t} = 5 ÷ \frac{4}{3} = \frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
(1) △BPD≌△CQP得证；
(2) $\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 动点问题计算
3. 行程公式应用
【点评】
本题是三角形全等与动点结合的典型习题，第一问侧重基础的全等判定应用，第二问需要结合条件确定全等的对应边，再结合行程运算求解，能够较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6