1. 如图，已知$∠ AOP = ∠ BOP$，$PD ⊥ OA$，$PE ⊥ OB$，垂足分别为$D$，$E$。下列结论：① $PD = PE$；② $OD = OE$；③ $∠ DPO = ∠ EPO$；④ $PD = OD$。其中正确的有________（填序号）。

$\boldsymbol{①②③}$

【分析】
解题时首先从已知的角平分线和两条垂线段入手，先利用角平分线的性质判断①是否成立；再通过证明两个直角三角形全等，得到对应边、对应角的关系，判断②③是否成立；最后分析④成立需要的额外条件，结合题目已知判断是否正确。
【解析】
解：已知$∠ AOP=∠ BOP$，即$OP$是$∠ AOB$的角平分线，且$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$。
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PD=PE$，故①正确；
2. 在$△ ODP$和$△ OEP$中：
$\begin{cases}∠ ODP=∠ OEP=90° \\∠ DOP=∠ EOP \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ ODP≌△ OEP(\mathrm{AAS})$
由全等三角形的性质可得：$OD=OE$，$∠ DPO=∠ EPO$，故②③正确；
3. 若要$PD=OD$，需$△ ODP$为等腰直角三角形，即$∠ AOP=45°$，题目未给出该条件，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题目，解题关键是结合已知条件证明三角形全等，推导对应边、角的关系，注意不能自行添加题目未给出的条件进行判断。
【难度系数】
0.8

2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$BC=10$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,且$BD:CD=3:2$,则点$D$到线段$AB$的距离为.

$\boldsymbol{4}$

【分析】
要解决本题，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题要求点D到AB的距离，观察图形可知AD是∠BAC的平分线，D在AD上，因此点D到AB的距离等于点D到AC的距离；又因为∠C=90°，DC⊥AC，所以D到AC的距离就是CD的长度，因此只需先根据BC的长度和BD:CD的比例求出CD的长度，即可得到最终结果。
【解析】
解：已知BC=10，BD:CD=3:2，
则CD的长度为：$CD=BC×\frac{2}{3+2}=10×\frac{2}{5}=4$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$（即$DC⊥ AC$），$DE⊥ AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE=CD=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的性质；按比例计算；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为已知线段相关的CD长度，再结合比例计算即可快速得到答案，熟练掌握角平分线的性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8

3.如图,请用符号语言表示“角的平分线上的点到角两边的距离相等”.
条件：.
结论:PC=PD.

解：条件：OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。

【分析】
要写出角平分线性质对应的条件，首先明确该定理的三个必备要素：一是点要在角的平分线上，二是该点向角的两条边分别作垂线段（垂线段才是点到边的距离）。结合图形梳理要素：首先OP是∠AOB的平分线说明P在角平分线上，其次PC垂直OA、PD垂直OB说明PC、PD是P到角两边的垂线段，将这几个要素整合就是所需条件。
【解析】
根据角平分线的性质定理，推导PC=PD的前提有3个：
1. 点P在∠AOB的角平分线上，即OP平分∠AOB；
2. PC是点P到OA边的距离，即PC⊥OA，垂足为点C；
3. PD是点P到OB边的距离，即PD⊥OB，垂足为点D。
将上述内容整理即可得到完整条件。
【答案】
OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对角平分线性质定理的理解，需要学生准确区分定理的条件和结论，牢记垂直、点在角平分线上这两个核心前提，不要遗漏关键要素。
【难度系数】
0.9

4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,在AC上有一点D,延长BD,并在BD的延长线上取点E,使$AE=AB$,连接AE.
(1)尺规作图:作$∠ EAC$的平分线AF,交DE于点F(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,连接CF,求证$EF=CF$.

解：(1) 按尺规作角平分线的规范作出∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ $AB=AC$，$AE=AB$，
∴ $AE=AC$。
∵ $AF$平分$∠ EAC$，
∴ $∠ EAF=∠ CAF$。
在$△ EAF$和$△ CAF$中，
$\{\begin{array}{l}AE=AC \\∠ EAF=∠ CAF \\AF=AF\end{array} $
∴ $△ EAF ≌ △ CAF$（SAS），
∴ $EF=CF$。

【分析】
(1) 第一问为尺规作角平分线，直接按照角平分线的标准尺规作图步骤操作即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问要证明$EF=CF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到$EF$在$△ EAF$中，$CF$在$△ CAF$中，接下来寻找两个三角形全等的条件：由已知$AB=AC$、$AE=AB$，等量代换可得$AE=AC$；再由AF是$∠ EAC$的平分线，可得$∠ EAF=∠ CAF$；加上公共边$AF=AF$，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证明$△ EAF ≌ △ CAF$后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
(1) 按尺规作角平分线的规范作出$∠ EAC$的平分线$AF$，$AF$交$DE$于点$F$，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
$\because AB=AC$，$AE=AB$，
$\therefore AE=AC$。
$\because AF$平分$∠ EAC$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CAF$。
在$△ EAF$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}AE=AC \\∠ EAF=∠ CAF \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ EAF ≌ △ CAF$（SAS），
$\therefore EF=CF$。
【答案】
(1) 作图符合尺规作角平分线规范、保留痕迹即可；
(2) 证明如上，$EF=CF$成立。
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 全等三角形SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，同时考察了基础尺规作图技能和三角形全等相关知识的应用，解题时要注意推导过程的严谨性，不要遗漏公共边这类隐含的相等条件，熟练掌握全等判定方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

5. 提升题＞如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$于点E,点F在AC上,且$BD=DF$.
(1)求证$CF=EB$;
(2)请你判断$AE$,$AF$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.

(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
---
(2) 解：$AE=AF+BE$，理由如下：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
又∵ $AC=AF+CF$，且由(1)得$CF=BE$，
∴ $AE=AF+BE$。

【分析】
(1) 要证CF=EB，可先证两条线段所在的Rt△DCF和Rt△DEB全等。已知AD平分∠BAC，∠C=90°、DE⊥AB，根据角平分线的性质可得到DC=DE，结合已知BD=DF，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可推出对应边CF=EB。
(2) 要判断AE、AF、BE的数量关系，先证Rt△ACD和Rt△AED全等，可得AC=AE，再将AC拆分为AF+CF，结合(1)中CF=BE的结论，进行等量代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
(2) 解：$AE=AF+BE$，理由如下：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
又
∵ $AC=AF+CF$，且由(1)得$CF=BE$，
∴ $AE=AF+BE$。
【答案】
(1) CF=EB，证明成立；
(2) $AE=AF+BE$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的典型应用题型，解题关键是利用角平分线得到相等的垂线段，结合HL判定证明直角三角形全等，再通过等量代换推导线段关系，能有效考查对全等三角形和角平分线相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7