1.如图，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为$D,E$.若$PD=7\ \mathrm{cm}$，当$PE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，点$P$在$∠ AOB$的平分线上.

$\boldsymbol{7}$

【分析】
要判断点P在∠AOB的平分线上，需回忆角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，要满足点P在角平分线上，只需这两个距离相等，结合已知PD的长度即可求出PE的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，因此$PD$是点$P$到边$OA$的距离，$PE$是点$P$到边$OB$的距离。
要使点$P$在$∠ AOB$的平分线上，需满足$PE=PD$，
又已知$PD=7\ \mathrm{cm}$，因此$PE=PD=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
角平分线的判定定理、点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题型，解题的关键是熟记角平分线的判定条件，区分开角平分线的性质和判定即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ B=54°$，点$D$在$△ ABC$的外部，连接$CD$，过点$D$作$DE ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$E$，$DF ⊥ BC$于点$F$。若$DE=DF$，则$∠ DCF$的度数为________。

$\boldsymbol{52°}$

【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再求出它的邻补角∠ECB的度数；接着根据角平分线的判定定理，由DE⊥AC、DF⊥BC且DE=DF，可推出CD平分∠ECB，最后根据角平分线的性质即可求出∠DCF的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 54° = 76°$
2. 计算∠ECB的度数：
∠ECB与∠ACB互为邻补角，因此：
$∠ ECB = 180° - ∠ ACB = 180° - 76° = 104°$
3. 判断CD是∠ECB的角平分线：
已知$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ BC$，且$DE=DF$，根据“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可得CD平分$∠ ECB$。
4. 计算∠DCF的度数：
$∠ DCF = \frac{1}{2}∠ ECB = \frac{1}{2} × 104° = 52°$
【答案】
$\boldsymbol{52°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是先利用三角形内角和求出相关角的度数，再结合角平分线的判定定理得到角的倍分关系进而求解，考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.75

3.某社区是由AB,AC,BC三条路围成的小型社区(如图).该社区准备在社区内修建一个电动车充电点,并将充电点建设在到三条路的距离相等的位置,则充电点应该建在△ABC .

(第3题) (第4题)

的三条内角平分线的交点处

【分析】
本题的核心需求是在△ABC内部找到到三条边距离均相等的点。我们可以结合角平分线的性质推导：首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点一定在该角的角平分线上。要同时到AB、AC两边距离相等，点需在∠A的内角平分线上；要同时到AB、BC两边距离相等，点需在∠B的内角平分线上；两条内角平分线的交点就满足到三边距离相等，且该点也在∠C的内角平分线上，同时位于三角形内部，符合选址要求。
【解析】
根据角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
1. 若点到AB、AC的距离相等，则该点在∠BAC的内角平分线上；
2. 若点到AB、BC的距离相等，则该点在∠ABC的内角平分线上；
上述两条内角平分线的交点，同时满足到AB、AC、BC三边的距离相等，且该点也在∠ACB的内角平分线上，位于△ABC内部，符合题目的建设要求。
【答案】
的三条内角平分线的交点处
【知识点】
角平分线的性质；三角形内角平分线的特征
【点评】
本题属于角平分线性质的实际应用题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，结合选址在三角形内部的要求，就能快速确定符合条件的点的位置，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8

4.如图，P是$△ ABC$内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离$PD=PE=PF$.若$∠ BPC=142°$，则$∠ BAC$的度数为.

$\boldsymbol{104°}$

【分析】
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由PD=PE=PF可判断BP平分∠ABC、CP平分∠ACB；接着在△BPC中利用三角形内角和定理求出∠PBC与∠PCB的和；再根据角平分线的定义得到∠ABC与∠ACB的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∴ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴ $∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△BPC中，$∠ BPC=142°$，由三角形内角和为180°得：
$∠ PBC + ∠ PCB = 180° - ∠ BPC = 180° - 142° = 38°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ PBC + ∠ PCB) = 2×38° = 76°$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 76° = 104°$。
【答案】
$\boldsymbol{104°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合应用题，解题的突破口是根据点到三边的距离相等判断出点P是三角形内角平分线的交点，再结合角度的倍分关系即可推导计算，属于基础的几何常规题型。
【难度系数】
0.7

5. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$AP$，$CP$分别是$△ ABC$外角$∠ MAC$和$∠ NCA$的平分线，它们相交于点$P$.求证：
(1)$BP$为$∠ MBN$的平分线；
(2)$∠ PAC+∠ PCA=∠ ABC+∠ APC$.

证明：
(1) 过点P作PD⊥BM于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F。
∵ AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC，
∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CP平分∠NCA，PE⊥AC，PF⊥BN，
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PD = PF。
又∵ PD⊥BM，PF⊥BN，
∴ 点P在∠MBN的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即BP为∠MBN的平分线。
(2) ∵ ∠MAC，∠NCA是△ABC的外角，
∴ ∠MAC = ∠ABC + ∠ACB，∠NCA = ∠ABC + ∠BAC。
∴ ∠MAC + ∠NCA = 2∠ABC + ∠ACB + ∠BAC。
∵ 在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∴ ∠MAC + ∠NCA = ∠ABC + 180°。
∵ AP平分∠MAC，CP平分∠NCA，
∴ ∠PAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，∠PCA = $\frac{1}{2}$∠NCA，
∴ ∠PAC + ∠PCA = $\frac{1}{2}$(∠MAC + ∠NCA) = $\frac{1}{2}$(∠ABC + 180°) = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
在△APC中，∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°，
∴ ∠APC = 180° - (∠PAC + ∠PCA) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴ ∠ABC + ∠APC = ∠ABC + 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴ ∠PAC + ∠PCA = ∠ABC + ∠APC。

【分析】
(1) 要证明BP为∠MBN的平分线，可利用角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点P到BM、BN的距离相等。我们过点P作BM、AC、BN的三条垂线，结合AP、CP是外角平分线的条件，利用角平分线的性质推导三组垂线段的等量关系，即可得到P到BM和BN的距离相等，完成证明。
(2) 要证明∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC，先利用三角形外角的性质，用△ABC的内角表示出两个外角∠MAC、∠NCA，再结合角平分线的定义得到∠PAC+∠PCA的表达式；随后在△APC中利用三角形内角和定理推导出∠APC与∠ABC的关系，分别化简等式两边的表达式，证明二者相等即可。
【解析】
(1) 过点P作PD⊥BM于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F。
∵ AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC，
∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CP平分∠NCA，PE⊥AC，PF⊥BN，
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PD = PF。
又
∵ PD⊥BM，PF⊥BN，
∴ 点P在∠MBN的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即BP为∠MBN的平分线。
(2)
∵ ∠MAC，∠NCA是△ABC的外角，
∴ ∠MAC = ∠ABC + ∠ACB，∠NCA = ∠ABC + ∠BAC。
∴ ∠MAC + ∠NCA = 2∠ABC + ∠ACB + ∠BAC。
∵ 在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∴ ∠MAC + ∠NCA = ∠ABC + 180°。
∵ AP平分∠MAC，CP平分∠NCA，
∴ ∠PAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，∠PCA = $\frac{1}{2}$∠NCA，
∴ ∠PAC + ∠PCA = $\frac{1}{2}$(∠MAC + ∠NCA) = $\frac{1}{2}$(∠ABC + 180°) = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
在△APC中，∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°，
∴ ∠APC = 180° - (∠PAC + ∠PCA) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴ ∠ABC + ∠APC = ∠ABC + 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴ ∠PAC + ∠PCA = ∠ABC + ∠APC。
【答案】
(1) BP为∠MBN的平分线；
(2) ∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC。
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线模块的典型综合题，第一问的核心是灵活运用角平分线性质和判定的互逆关系，掌握作垂线段构造距离相等的辅助线方法；第二问重点考查角度的转化推导，需要熟练结合三角形内外角关系、内角和定理建立不同角之间的联系，这类角度推导思路是几何证明题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6