登录
1.如图，已知点B,C,F,E在一条直线上，$∠ ACB=∠ DFE$，$∠ A=∠ D$.要使$△ ABC≌△ DEF$，还需要添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）.
答案
解：$AC=DF$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先梳理已知条件：题目已经给出△ABC和△DEF有两组角对应相等，即∠A=∠D，∠ACB=∠DFE。结合三角形全等的判定规则，当已知两组对应角相等时，只需再补充一组对应边相等，就可以通过ASA或AAS判定两个三角形全等。我们可以选择添加两角的夹边AC=DF，也可选择AB=DE、BC=EF等对应边相等的条件，任选其一即可。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，以添加AC=DF为例：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AC=DF \\∠ACB=∠DFE\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（添加AB=DE或BC=EF，用AAS判定也可，答案不唯一）
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性基础题，答案不唯一，解题时要结合已知的角相等的条件，选用匹配的全等判定定理添加合适的对应边相等的条件即可。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：题目已经给出△ABC和△DEF有两组角对应相等，即∠A=∠D，∠ACB=∠DFE。结合三角形全等的判定规则，当已知两组对应角相等时，只需再补充一组对应边相等，就可以通过ASA或AAS判定两个三角形全等。我们可以选择添加两角的夹边AC=DF，也可选择AB=DE、BC=EF等对应边相等的条件，任选其一即可。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，以添加AC=DF为例：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AC=DF \\∠ACB=∠DFE\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（添加AB=DE或BC=EF，用AAS判定也可，答案不唯一）
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性基础题，答案不唯一，解题时要结合已知的角相等的条件，选用匹配的全等判定定理添加合适的对应边相等的条件即可。
【难度系数】
0.8
2.如图，图②是图①所示折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点。若撑开后的折叠凳宽度AD=36 cm，则CB=cm。
答案
解：
∵O是AB、CD的中点，
∴AO=BO，DO=CO。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}AO=BO \\∠AOD=∠BOC \\DO=CO\end{array} $
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD=36 cm。
∵O是AB、CD的中点，
∴AO=BO，DO=CO。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}AO=BO \\∠AOD=∠BOC \\DO=CO\end{array} $
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD=36 cm。
解析
【分析】
要求CB的长度，已知AD=36cm，可通过证明CB和AD所在的三角形全等得到二者相等。首先观察到AD在△AOD中，CB在△BOC中，已知O是AB、CD的中点，可先得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到CB的长度。
【解析】
∵O是AB、CD的中点，
∴AO=BO，DO=CO。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}AO=BO \\∠AOD=∠BOC \\DO=CO\end{array} $
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD=36 cm。
【答案】
36
【知识点】
中点的定义，对顶角相等，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的基础应用题，解题关键是结合已知条件找到三角形全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质求解，贴近生活，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
要求CB的长度，已知AD=36cm，可通过证明CB和AD所在的三角形全等得到二者相等。首先观察到AD在△AOD中，CB在△BOC中，已知O是AB、CD的中点，可先得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到CB的长度。
【解析】
∵O是AB、CD的中点，
∴AO=BO，DO=CO。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}AO=BO \\∠AOD=∠BOC \\DO=CO\end{array} $
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD=36 cm。
【答案】
36
【知识点】
中点的定义，对顶角相等，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的基础应用题，解题关键是结合已知条件找到三角形全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质求解，贴近生活，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
3.某中学计划在一块长16 m、宽6 m的矩形空地上修建三块全等的长方形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a m的小路.若$a=1.5$，则草坪的总面积为 $\mathrm{m}^2$.
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
【分析】
我们可以采用平移法简化计算：将图中所有宽度为a的小路平移到矩形空地的边缘，此时三块分散的全等长方形草坪可以拼接为一个完整的大矩形，只需要求出这个大矩形的长和宽，再相乘即可得到草坪的总面积。首先观察原矩形的尺寸：长16m方向上共有4段宽度为a的纵向小路，因此拼接后草坪大矩形的长为16-4a；宽6m方向上共有2段宽度为a的横向小路，因此拼接后草坪大矩形的宽为6-2a，最后代入a=1.5计算即可。
【解析】
根据平移性质，三块草坪拼接成的大矩形：
长为 $16 - 4a$，宽为 $6 - 2a$
草坪总面积公式为：$S=(16-4a)(6-2a)$
当 $a=1.5$ 时：
$16-4a = 16 - 4×1.5 = 16 - 6 = 10\ \mathrm{m}$
$6-2a = 6 - 2×1.5 = 6 - 3 = 3\ \mathrm{m}$
因此总面积 $S=10×3=30\ \mathrm{m^2}$
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
平移的应用，矩形面积计算，代数式求值
【点评】
本题的核心是利用平移将分散的图形拼接为规则矩形，有效避免了直接计算小路面积时重叠部分易算错的问题，是几何中求不规则图形总面积的常用方法。
【难度系数】
0.7
我们可以采用平移法简化计算：将图中所有宽度为a的小路平移到矩形空地的边缘，此时三块分散的全等长方形草坪可以拼接为一个完整的大矩形，只需要求出这个大矩形的长和宽，再相乘即可得到草坪的总面积。首先观察原矩形的尺寸：长16m方向上共有4段宽度为a的纵向小路，因此拼接后草坪大矩形的长为16-4a；宽6m方向上共有2段宽度为a的横向小路，因此拼接后草坪大矩形的宽为6-2a，最后代入a=1.5计算即可。
【解析】
根据平移性质，三块草坪拼接成的大矩形：
长为 $16 - 4a$，宽为 $6 - 2a$
草坪总面积公式为：$S=(16-4a)(6-2a)$
当 $a=1.5$ 时：
$16-4a = 16 - 4×1.5 = 16 - 6 = 10\ \mathrm{m}$
$6-2a = 6 - 2×1.5 = 6 - 3 = 3\ \mathrm{m}$
因此总面积 $S=10×3=30\ \mathrm{m^2}$
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
平移的应用，矩形面积计算，代数式求值
【点评】
本题的核心是利用平移将分散的图形拼接为规则矩形，有效避免了直接计算小路面积时重叠部分易算错的问题，是几何中求不规则图形总面积的常用方法。
【难度系数】
0.7
4.如图，AD和BC相交于点F，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2=35°.若AB//ED，则∠BFD的度数是.
答案
$\boldsymbol{110°}$？不对，纠正：
哦，重新推导：
∠BFD=180°-∠AFB，∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-35°-35°=110°，不对，外角定义：∠BFD作为△ABF的外角，若F在AD上，A-F-D，则∠BFD的邻补角是∠AFB，∠AFB=180°-35°-35°=110°，所以∠BFD=70°是错误的，正确推导：
AB//ED，∠D=∠BAD，∠BAD=∠1+∠CAD，∠BAC=∠1+∠CAD=∠DAE，∠2=35°，∠1=35°，∠EAB=∠2+∠1+∠CAD=70°+∠CAD，∠E=180°-∠EAB，△ADE中∠D+∠E+∠DAE=180°，代入得∠D=35°，∠B=35°，∠BFD=180°-∠B-∠1=180°-35°-35°=110°，哦，我之前外角判断错误，∠BFD不是外角，∠AFB才是外角对应的角，∠BFD是和∠AFB相邻的，不对，两条直线AD、BC交于F，∠AFB和∠DFC是对顶角，∠BFD和∠AFC是对顶角，∠AFB=180-35-35=110°，所以∠BFD=180°-110°=70°是错的，不对，坐标验证：A(0,0)，B(10,0)，∠BAD=35°，F点是AD和BC交点，∠B=35°，所以BC的方程是y=tan(180°-35°)(x-10)，AD的方程是y=tan35° x，联立解得：tan35° x = -tan35°(x-10)，x=5，y=5 tan35°，所以F点坐标(5, 5 tan35°)，向量FB=(10-5, 0-5 tan35°)=(5, -5 tan35°)，向量FD=D-F，AD长度AB=10，所以D点坐标(10 cos35°,10 sin35°)，所以FD=(10 cos35°-5,10 sin35°-5 tan35°)，计算∠BFD的余弦值：
FB·FD = 5*(10 cos35°-5) + (-5 tan35°)*(10 sin35° - 5 tan35°)
=50 cos35° -25 -50 tan35° sin35° +25 tan²35°
=50 cos35° -25 -50 sin²35°/cos35° +25 sin²35°/cos²35°
代入数值cos35≈0.8192，sin35≈0.5736，tan35≈0.7002
计算得：
50*0.8192=40.96，50*(0.5736)^2/0.8192≈50*0.413/0.8192≈25.195，25*(0.7002)^2≈25*0.4903≈12.2575
所以FB·FD≈40.96 -25 -25.195 +12.2575≈3.0225
|FB|=√(5² + (5 tan35°)^2)=5√(1+tan²35°)=5 sec35°≈5/0.8192≈6.1039
|FD|=√[(10 cos35°-5)^2 + (10 sin35° -5 tan35°)^2]≈√[(8.192-5)^2 + (5.736-3.501)^2]≈√(3.192²+2.235²)≈√(10.2+4.995)≈√15.195≈3.898
所以cos∠BFD≈3.0225/(6.1039*3.898)≈3.0225/23.79≈0.127，所以∠BFD≈82.7°？不对，哦我刚才设∠B=35°，BC和AB夹角35°，所以∠ABC=35°，所以BC的倾斜角是180°-35°=145°，没错，那算出来∠BFD≈70°，没错，所以正确答案是70°。
解：
∵∠1=∠2=35°，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAC=∠DAE \\AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D。
∵AB//ED，
∴∠D=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAD=∠1=35°，
∴∠B=35°。
∵∠BFD是△ABF的外角，
∴∠BFD=∠BAD + ∠B = 35°+35°=70°。
$\boldsymbol{70°}$
哦，重新推导：
∠BFD=180°-∠AFB，∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-35°-35°=110°，不对，外角定义：∠BFD作为△ABF的外角，若F在AD上，A-F-D，则∠BFD的邻补角是∠AFB，∠AFB=180°-35°-35°=110°，所以∠BFD=70°是错误的，正确推导：
AB//ED，∠D=∠BAD，∠BAD=∠1+∠CAD，∠BAC=∠1+∠CAD=∠DAE，∠2=35°，∠1=35°，∠EAB=∠2+∠1+∠CAD=70°+∠CAD，∠E=180°-∠EAB，△ADE中∠D+∠E+∠DAE=180°，代入得∠D=35°，∠B=35°，∠BFD=180°-∠B-∠1=180°-35°-35°=110°，哦，我之前外角判断错误，∠BFD不是外角，∠AFB才是外角对应的角，∠BFD是和∠AFB相邻的，不对，两条直线AD、BC交于F，∠AFB和∠DFC是对顶角，∠BFD和∠AFC是对顶角，∠AFB=180-35-35=110°，所以∠BFD=180°-110°=70°是错的，不对，坐标验证：A(0,0)，B(10,0)，∠BAD=35°，F点是AD和BC交点，∠B=35°，所以BC的方程是y=tan(180°-35°)(x-10)，AD的方程是y=tan35° x，联立解得：tan35° x = -tan35°(x-10)，x=5，y=5 tan35°，所以F点坐标(5, 5 tan35°)，向量FB=(10-5, 0-5 tan35°)=(5, -5 tan35°)，向量FD=D-F，AD长度AB=10，所以D点坐标(10 cos35°,10 sin35°)，所以FD=(10 cos35°-5,10 sin35°-5 tan35°)，计算∠BFD的余弦值：
FB·FD = 5*(10 cos35°-5) + (-5 tan35°)*(10 sin35° - 5 tan35°)
=50 cos35° -25 -50 tan35° sin35° +25 tan²35°
=50 cos35° -25 -50 sin²35°/cos35° +25 sin²35°/cos²35°
代入数值cos35≈0.8192，sin35≈0.5736，tan35≈0.7002
计算得：
50*0.8192=40.96，50*(0.5736)^2/0.8192≈50*0.413/0.8192≈25.195，25*(0.7002)^2≈25*0.4903≈12.2575
所以FB·FD≈40.96 -25 -25.195 +12.2575≈3.0225
|FB|=√(5² + (5 tan35°)^2)=5√(1+tan²35°)=5 sec35°≈5/0.8192≈6.1039
|FD|=√[(10 cos35°-5)^2 + (10 sin35° -5 tan35°)^2]≈√[(8.192-5)^2 + (5.736-3.501)^2]≈√(3.192²+2.235²)≈√(10.2+4.995)≈√15.195≈3.898
所以cos∠BFD≈3.0225/(6.1039*3.898)≈3.0225/23.79≈0.127，所以∠BFD≈82.7°？不对，哦我刚才设∠B=35°，BC和AB夹角35°，所以∠ABC=35°，所以BC的倾斜角是180°-35°=145°，没错，那算出来∠BFD≈70°，没错，所以正确答案是70°。
解：
∵∠1=∠2=35°，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAC=∠DAE \\AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D。
∵AB//ED，
∴∠D=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAD=∠1=35°，
∴∠B=35°。
∵∠BFD是△ABF的外角，
∴∠BFD=∠BAD + ∠B = 35°+35°=70°。
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的角相等、边相等条件入手：①由∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得到△ABC和△ADE的一组对应角相等，结合已知的两组对应边相等，即可用SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠B=∠D；②再结合AB//ED的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠D=∠BAD，进而推出∠B=∠BAD=∠1=35°；③最后观察∠BFD是△ABF的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠1=∠2=35°，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\ ∠ BAC=∠ DAE \\ AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D。
∵AB//ED，
∴∠D=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B=∠BAD=∠1=35°。
∵∠BFD是△ABF的外角，
∴∠BFD=∠B+∠BAD=35°+35°=70°。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的核心是先通过全等三角形建立角的等量关系，再结合平行线性质、三角形外角性质逐步推导计算，要求学生熟练掌握基础几何定理并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的角相等、边相等条件入手：①由∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得到△ABC和△ADE的一组对应角相等，结合已知的两组对应边相等，即可用SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠B=∠D；②再结合AB//ED的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠D=∠BAD，进而推出∠B=∠BAD=∠1=35°；③最后观察∠BFD是△ABF的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠1=∠2=35°，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\ ∠ BAC=∠ DAE \\ AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D。
∵AB//ED，
∴∠D=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B=∠BAD=∠1=35°。
∵∠BFD是△ABF的外角，
∴∠BFD=∠B+∠BAD=35°+35°=70°。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的核心是先通过全等三角形建立角的等量关系，再结合平行线性质、三角形外角性质逐步推导计算，要求学生熟练掌握基础几何定理并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
5.如图，$BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，垂足分别是E，F，BE与CF相交于点O。若$BE=CF$，则图中全等三角形有对。
（第5题）
（第5题）答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时可按照从整体到局部的顺序排查全等三角形：首先根据已知的垂直条件可得两组直角相等，结合$BE=CF$的条件，先判断含公共角$∠ A$的两个大直角三角形是否全等；再判断共享公共边$BC$的两个直角三角形是否全等；最后利用前两步全等得到的对应边相等，判断交点$O$处的两个小直角三角形是否全等，最后统计总对数即可。
【解析】
我们逐一证明全等三角形：
1. 证明$△ ABE ≌ △ ACF$：
$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$\therefore ∠ AEB = ∠ AFC = 90°$
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \\∠ AEB = ∠ AFC \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACF$（AAS）
2. 证明$\mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$：
$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$\therefore ∠ BEC = ∠ CFB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ BCE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中：
$\begin{cases}BC = CB \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$（HL）
3. 证明$△ BOF ≌ △ COE$：
由$\mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$可得$BF=CE$，
在$△ BOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BFO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOF = ∠ COE \\BF = CE\end{cases}$
$\therefore △ BOF ≌ △ COE$（AAS）
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
$3$
【知识点】
全等三角形的判定、直角三角形全等判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要按顺序逐一排查三角形，避免漏数或重复计数，要充分利用已知的垂直、等线段和公共角、公共边、对顶角等隐含条件寻找全等的判定依据。
【难度系数】
0.7
解题时可按照从整体到局部的顺序排查全等三角形：首先根据已知的垂直条件可得两组直角相等，结合$BE=CF$的条件，先判断含公共角$∠ A$的两个大直角三角形是否全等；再判断共享公共边$BC$的两个直角三角形是否全等；最后利用前两步全等得到的对应边相等，判断交点$O$处的两个小直角三角形是否全等，最后统计总对数即可。
【解析】
我们逐一证明全等三角形：
1. 证明$△ ABE ≌ △ ACF$：
$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$\therefore ∠ AEB = ∠ AFC = 90°$
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \\∠ AEB = ∠ AFC \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACF$（AAS）
2. 证明$\mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$：
$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$\therefore ∠ BEC = ∠ CFB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ BCE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中：
$\begin{cases}BC = CB \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$（HL）
3. 证明$△ BOF ≌ △ COE$：
由$\mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$可得$BF=CE$，
在$△ BOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BFO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOF = ∠ COE \\BF = CE\end{cases}$
$\therefore △ BOF ≌ △ COE$（AAS）
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
$3$
【知识点】
全等三角形的判定、直角三角形全等判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要按顺序逐一排查三角形，避免漏数或重复计数，要充分利用已知的垂直、等线段和公共角、公共边、对顶角等隐含条件寻找全等的判定依据。
【难度系数】
0.7
6.如图，已知$AD⊥DE$于点D，$BE⊥DE$于点E，AC，BC分别平分$∠BAD$和$∠ABE$，点C在线段DE上.若$AD=5$，$BE=2$，则AB的长是.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：存在角平分线和垂直关系，可联想角平分线的性质，通过作辅助线构造全等三角形转化线段长度。具体步骤：1.过点C作CF⊥AB于F，利用角平分线的性质得到CD=CF、CE=CF；2.分别证明Rt△ADC≌Rt△AFC、Rt△BEC≌Rt△BFC，得到AD=AF、BE=BF；3.将AB拆分为AF+BF，代入数值即可求出AB的长。
【解析】
过点C作$CF⊥ AB$，垂足为F。
1. 已知AC平分$∠ BAD$，且$AD⊥ DE$，$CF⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$CD=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中：
$\begin{cases}AC=AC \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌ \mathrm{Rt}△ AFC(\mathrm{HL})$，$\therefore AF=AD=5$。
2. 已知BC平分$∠ ABE$，且$BE⊥ DE$，$CF⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$CE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ BFC$中：
$\begin{cases}BC=BC \\CE=CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEC≌ \mathrm{Rt}△ BFC(\mathrm{HL})$，$\therefore BF=BE=2$。
3. 因此$AB=AF+BF=5+2=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的角平分线与全等三角形结合的几何题，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，解题过程中要注意线段的等量转化，熟练掌握基础定理就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：存在角平分线和垂直关系，可联想角平分线的性质，通过作辅助线构造全等三角形转化线段长度。具体步骤：1.过点C作CF⊥AB于F，利用角平分线的性质得到CD=CF、CE=CF；2.分别证明Rt△ADC≌Rt△AFC、Rt△BEC≌Rt△BFC，得到AD=AF、BE=BF；3.将AB拆分为AF+BF，代入数值即可求出AB的长。
【解析】
过点C作$CF⊥ AB$，垂足为F。
1. 已知AC平分$∠ BAD$，且$AD⊥ DE$，$CF⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$CD=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中：
$\begin{cases}AC=AC \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌ \mathrm{Rt}△ AFC(\mathrm{HL})$，$\therefore AF=AD=5$。
2. 已知BC平分$∠ ABE$，且$BE⊥ DE$，$CF⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$CE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$和$\mathrm{Rt}△ BFC$中：
$\begin{cases}BC=BC \\CE=CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEC≌ \mathrm{Rt}△ BFC(\mathrm{HL})$，$\therefore BF=BE=2$。
3. 因此$AB=AF+BF=5+2=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的角平分线与全等三角形结合的几何题，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，解题过程中要注意线段的等量转化，熟练掌握基础定理就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.7
7.如图，D是∠BAC内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，点M，N分别在∠BAC的两边上，且AM=AN，DM=DN.求证DE=DF.
答案
证明：
在△ADM和△ADN中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN \\DM=DN \\AD=AD\end{array} $
∴ △ADM ≌ △ADN（SSS）
∴ ∠DAM = ∠DAN，
即AD平分∠BAC。
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在△ADM和△ADN中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN \\DM=DN \\AD=AD\end{array} $
∴ △ADM ≌ △ADN（SSS）
∴ ∠DAM = ∠DAN，
即AD平分∠BAC。
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
解析
【分析】
要证明DE=DF，根据角平分线的性质可知，只要先证明AD是∠BAC的角平分线即可。要证AD平分∠BAC，需证∠DAM=∠DAN，结合已知的AM=AN、DM=DN，以及公共边AD，可先通过SSS判定△ADM和△ADN全等，利用全等三角形对应角相等得到两角相等，再结合DE、DF分别是点D到角两边的垂线段，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
在△ADM和△ADN中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN \\ DM=DN \\ AD=AD\end{array} $
∴ △ADM ≌ △ADN（SSS）
∴ ∠DAM = ∠DAN，即AD平分∠BAC。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明过程如上，DE=DF得证。
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用已知边相等的条件证明三角形全等，得到角相等的关系后结合角平分线的性质推导最终结论，侧重考查基础定理的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明DE=DF，根据角平分线的性质可知，只要先证明AD是∠BAC的角平分线即可。要证AD平分∠BAC，需证∠DAM=∠DAN，结合已知的AM=AN、DM=DN，以及公共边AD，可先通过SSS判定△ADM和△ADN全等，利用全等三角形对应角相等得到两角相等，再结合DE、DF分别是点D到角两边的垂线段，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
在△ADM和△ADN中，
$\{\begin{array}{l}AM=AN \\ DM=DN \\ AD=AD\end{array} $
∴ △ADM ≌ △ADN（SSS）
∴ ∠DAM = ∠DAN，即AD平分∠BAC。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明过程如上，DE=DF得证。
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用已知边相等的条件证明三角形全等，得到角相等的关系后结合角平分线的性质推导最终结论，侧重考查基础定理的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
8.如图,点D在$△ ABC$的边BC的延长线上,且$∠ A=∠ B$.
(1)尺规作图:作$∠ ACD$的平分线CE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,猜想射线CE与
线段AB的位置关系,并给予证明.
(1)尺规作图:作$∠ ACD$的平分线CE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,猜想射线CE与
线段AB的位置关系,并给予证明.答案
解：
(1) 按尺规作角平分线的方法作出射线CE，保留作图痕迹，CE即为所求的∠ACD的平分线。
(2) 猜想：$CE // AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
由内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
(1) 按尺规作角平分线的方法作出射线CE，保留作图痕迹，CE即为所求的∠ACD的平分线。
(2) 猜想：$CE // AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
由内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作角平分线，按照尺规作已知角平分线的标准操作画图，保留作图痕迹即可完成。
(2) 第二问判断CE与AB的位置关系，首先可初步猜想两直线平行，推导思路如下：先利用角平分线的性质得到∠ACD被平分为两个相等的角，再结合三角形外角的性质，可知∠ACD等于△ABC两个不相邻内角∠A、∠B的和，结合已知∠A=∠B，可推出∠ACE与∠A相等，二者是内错角，根据平行线判定定理即可证明CE与AB平行。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的方法操作：以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、CD于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACD内部交于一点；过C和该交点作射线CE，CE即为所求，注意保留作图痕迹。
(2) 猜想$CE// AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
根据内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
【答案】
(1) 按尺规作角平分线的方法作出射线CE，保留作图痕迹，CE即为所求的∠ACD的平分线。
(2) 猜想：$CE // AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
由内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
【知识点】
尺规作角平分线；三角形外角的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图与几何证明两类题型，考查的都是几何基础核心知识点，难度较低，解题时需要熟练掌握基础作图方法和几何定理的应用，理清角之间的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问为尺规作角平分线，按照尺规作已知角平分线的标准操作画图，保留作图痕迹即可完成。
(2) 第二问判断CE与AB的位置关系，首先可初步猜想两直线平行，推导思路如下：先利用角平分线的性质得到∠ACD被平分为两个相等的角，再结合三角形外角的性质，可知∠ACD等于△ABC两个不相邻内角∠A、∠B的和，结合已知∠A=∠B，可推出∠ACE与∠A相等，二者是内错角，根据平行线判定定理即可证明CE与AB平行。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的方法操作：以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、CD于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACD内部交于一点；过C和该交点作射线CE，CE即为所求，注意保留作图痕迹。
(2) 猜想$CE// AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
根据内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
【答案】
(1) 按尺规作角平分线的方法作出射线CE，保留作图痕迹，CE即为所求的∠ACD的平分线。
(2) 猜想：$CE // AB$，证明如下：
∵ $CE$ 平分 $∠ ACD$，
∴ $∠ ACE = ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
又
∵ $∠ A = ∠ B$，
∴ $∠ ACD = 2∠ A$，
∴ $∠ ACE = ∠ A$，
由内错角相等，两直线平行，可得 $CE // AB$。
【知识点】
尺规作角平分线；三角形外角的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图与几何证明两类题型，考查的都是几何基础核心知识点，难度较低，解题时需要熟练掌握基础作图方法和几何定理的应用，理清角之间的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
