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一、选择题
1. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是()
A.3,4,5
B.2,3,4
C.5,12,13
D.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
1. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是()
A.3,4,5
B.2,3,4
C.5,12,13
D.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，核心方法是运用勾股定理的逆定理。解题时先找到每组数中的最长边，再计算两个较短边的平方和，将其与最长边的平方作比较：若两者相等，就能构成直角三角形，否则不能构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A选项：最长边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形，符合题意；
C选项：最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为$\sqrt{3}$，计算得$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，能构成直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用规则，计算时要先确定最长边，避免边的顺序混淆，涉及无理数的平方运算要遵守运算规则。
【难度系数】
0.9
这道题考查直角三角形的判定，核心方法是运用勾股定理的逆定理。解题时先找到每组数中的最长边，再计算两个较短边的平方和，将其与最长边的平方作比较：若两者相等，就能构成直角三角形，否则不能构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A选项：最长边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形，符合题意；
C选项：最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为$\sqrt{3}$，计算得$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，能构成直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用规则，计算时要先确定最长边，避免边的顺序混淆，涉及无理数的平方运算要遵守运算规则。
【难度系数】
0.9
2.有下列函数关系式:①$y=kx$;②$y=\frac{3}{x}$;③$y=\frac{2}{3}x$;④$y=x^2-(x-1)(x+2)$;⑤$y=4-x$。其中一定是一次函数的有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心依据是一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。解题时我们需要先逐个分析每个函数关系式：首先看是否符合一次函数的形式，对于含有整式运算的式子先化简再判断，同时注意一次函数中$x$的系数不能为0，最后统计符合要求的函数个数即可得到答案。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
1. ①$y=kx$：未说明$k\ne0$，当$k=0$时$y=0$是常数函数，不属于一次函数，故①不一定是一次函数；
2. ②$y=\frac{3}{x}$：是反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$，不符合一次函数要求，故②不是一次函数；
3. ③$y=\frac{2}{3}x$：符合$y=kx$（$k=\frac{2}{3}\ne0$），是正比例函数，属于特殊的一次函数；
4. ④$y=x^2-(x-1)(x+2)$：先化简右侧式子：
展开$(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2$，
代入原式得$y=x^2-(x^2+x-2)=-x+2$，符合$y=kx+b$（$k=-1\ne0$，$b=2$），是一次函数；
5. ⑤$y=4-x$：整理为$y=-x+4$，符合$y=kx+b$（$k=-1\ne0$，$b=4$），是一次函数。
综上，一共有③④⑤3个一次函数，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，整式的化简，正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数的判定，解题的关键是牢记一次函数的判定条件：自变量次数为1且自变量的系数不为0，对于形式复杂的函数要先化简再判断，避免直接根据原式的最高次误判。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。解题时我们需要先逐个分析每个函数关系式：首先看是否符合一次函数的形式，对于含有整式运算的式子先化简再判断，同时注意一次函数中$x$的系数不能为0，最后统计符合要求的函数个数即可得到答案。
【解析】
我们根据一次函数的定义逐个判断：
1. ①$y=kx$：未说明$k\ne0$，当$k=0$时$y=0$是常数函数，不属于一次函数，故①不一定是一次函数；
2. ②$y=\frac{3}{x}$：是反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$，不符合一次函数要求，故②不是一次函数；
3. ③$y=\frac{2}{3}x$：符合$y=kx$（$k=\frac{2}{3}\ne0$），是正比例函数，属于特殊的一次函数；
4. ④$y=x^2-(x-1)(x+2)$：先化简右侧式子：
展开$(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2$，
代入原式得$y=x^2-(x^2+x-2)=-x+2$，符合$y=kx+b$（$k=-1\ne0$，$b=2$），是一次函数；
5. ⑤$y=4-x$：整理为$y=-x+4$，符合$y=kx+b$（$k=-1\ne0$，$b=4$），是一次函数。
综上，一共有③④⑤3个一次函数，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，整式的化简，正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数的判定，解题的关键是牢记一次函数的判定条件：自变量次数为1且自变量的系数不为0，对于形式复杂的函数要先化简再判断，避免直接根据原式的最高次误判。
【难度系数】
0.7
3.有下列各数:3.141 592,$-\sqrt{3}$,0.16,$\sqrt{10^2}$,$-π$,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$\frac{22}{7}$,$\sqrt[3]{5}$,0.2,$\sqrt{8}$。其中无理数有()
A.5个
B.3个
C.4个
D.2个
A.5个
B.3个
C.4个
D.2个
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先把题目中能化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。判断时要牢记有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都可转化为分数，属于有理数），常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②含π的数，③有规律但无限不循环的小数。
【解析】
我们逐个分析所给的数：
1. 3.141592：是有限小数，属于有理数；
2. $-\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
3. 0.16：是有限小数，属于有理数；
4. $\sqrt{10^2}=\sqrt{100}=10$：是整数，属于有理数；
5. $-π$：π本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
6. 0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)：是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\frac{22}{7}$：是分数，属于有理数；
8. $\sqrt[3]{5}$：5开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
9. 0.2：是有限小数，属于有理数；
10. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{3}$、$-π$、0.1010010001…、$\sqrt[3]{5}$、$\sqrt{8}$，共5个。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；二次根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是先将带根号的数化简后再判断，不要直接认为带根号的数都是无理数，同时要注意区分分数和无限不循环小数，避免把$\frac{22}{7}$这类分数错当成无理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先把题目中能化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。判断时要牢记有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都可转化为分数，属于有理数），常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②含π的数，③有规律但无限不循环的小数。
【解析】
我们逐个分析所给的数：
1. 3.141592：是有限小数，属于有理数；
2. $-\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
3. 0.16：是有限小数，属于有理数；
4. $\sqrt{10^2}=\sqrt{100}=10$：是整数，属于有理数；
5. $-π$：π本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
6. 0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)：是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\frac{22}{7}$：是分数，属于有理数；
8. $\sqrt[3]{5}$：5开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
9. 0.2：是有限小数，属于有理数；
10. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{3}$、$-π$、0.1010010001…、$\sqrt[3]{5}$、$\sqrt{8}$，共5个。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；二次根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是先将带根号的数化简后再判断，不要直接认为带根号的数都是无理数，同时要注意区分分数和无限不循环小数，避免把$\frac{22}{7}$这类分数错当成无理数。
【难度系数】
0.7
4. 下列运算正确的是()
A.$\sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt{9} = \pm 3$
D.$\sqrt{5} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{5}$
A.$\sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt{9} = \pm 3$
D.$\sqrt{5} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{5}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查二次根式的基本运算与算术平方根的定义，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的运算法则或概念判断正误：首先回忆二次根式加减法则，要先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；二次根式除法法则是$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）；算术平方根的结果是非负的，只有非负的平方根才叫算术平方根，按照这个思路逐个判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{2} + 2$，$\sqrt{2}$和2不是同类二次根式，无法合并，该运算错误；
B选项：先化简二次根式，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$，该运算正确；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{9}=3$，不是$±3$，该表述错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{5} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \sqrt{5 ÷ \dfrac{1}{5}} = \sqrt{25} = 5$，运算结果不是$\dfrac{1}{5}$，该运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的运算 2.算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次根式的运算法则和算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法、同类二次根式的合并规则以及算术平方根的非负性，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的基本运算与算术平方根的定义，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的运算法则或概念判断正误：首先回忆二次根式加减法则，要先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；二次根式除法法则是$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）；算术平方根的结果是非负的，只有非负的平方根才叫算术平方根，按照这个思路逐个判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{2} + 2$，$\sqrt{2}$和2不是同类二次根式，无法合并，该运算错误；
B选项：先化简二次根式，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$，该运算正确；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{9}=3$，不是$±3$，该表述错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{5} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \sqrt{5 ÷ \dfrac{1}{5}} = \sqrt{25} = 5$，运算结果不是$\dfrac{1}{5}$，该运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的运算 2.算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次根式的运算法则和算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法、同类二次根式的合并规则以及算术平方根的非负性，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0)，B(0,3)。以点A为圆心，AB长为半径作弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为()
A.$\sqrt{13}-2$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}+2$
D.$-\sqrt{13}+2$
A.$\sqrt{13}-2$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}+2$
D.$-\sqrt{13}+2$
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先根据点A、B的坐标得到Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度，利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据圆的半径相等，得到AC=AB；最后结合点A在x轴上的位置，计算点C的横坐标即可。思考时要注意，点A在x轴负半轴，点C在x轴正半轴，AC的长度是两点横坐标差的绝对值，因此用A的横坐标加上AC的长度就能得到C的横坐标。
【解析】
已知点A(-2,0)，B(0,3)，则OA=2，OB=3，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
∵以A为圆心，AB长为半径作弧，交x轴正半轴于C
∴AC=AB=$\sqrt{13}$
∵点A的横坐标为-2，点C在x轴上
∴点C的横坐标为$-2+\sqrt{13}=\sqrt{13}-2$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的半径相等，平面直角坐标系
【点评】
本题是基础几何计算题，将平面直角坐标系、勾股定理、圆的基本性质结合考查，解题的核心是先求出半径长度，再结合点的位置推导目标点的坐标，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据点A、B的坐标得到Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度，利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据圆的半径相等，得到AC=AB；最后结合点A在x轴上的位置，计算点C的横坐标即可。思考时要注意，点A在x轴负半轴，点C在x轴正半轴，AC的长度是两点横坐标差的绝对值，因此用A的横坐标加上AC的长度就能得到C的横坐标。
【解析】
已知点A(-2,0)，B(0,3)，则OA=2，OB=3，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
∵以A为圆心，AB长为半径作弧，交x轴正半轴于C
∴AC=AB=$\sqrt{13}$
∵点A的横坐标为-2，点C在x轴上
∴点C的横坐标为$-2+\sqrt{13}=\sqrt{13}-2$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的半径相等，平面直角坐标系
【点评】
本题是基础几何计算题，将平面直角坐标系、勾股定理、圆的基本性质结合考查，解题的核心是先求出半径长度，再结合点的位置推导目标点的坐标，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
6.一个小球起始时位于$(3,0)$处，按指定方向击出后，其运动轨迹如图所示。如果小球起始时位于$(1,0)$处，仍按原来的方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是$(0,1)$，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是()
A.$(3,4)$
B.$(5,4)$
C.$(7,0)$
D.$(8,1)$
A.$(3,4)$
B.$(5,4)$
C.$(7,0)$
D.$(8,1)$
答案
A
解析
【分析】
这是一道平面直角坐标系中的规律探究题，解题思路如下：首先根据小球反弹的运动规律，依次列举出前几次碰到球桌边时的坐标，观察坐标特征找到循环周期；再用总碰撞次数2024除以周期，根据余数对应周期内的位置，即可确定第2024次碰到桌边时的坐标。
【解析】
根据题意，小球从$(1,0)$出发按指定方向运动，依次得到碰撞坐标：
1. 第1次碰到球桌边：题目给出位置为$\boldsymbol{(0,1)}$；
2. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到上边界$y=4$时，$x=3$，即第2次碰撞位置为$\boldsymbol{(3,4)}$；
3. 反弹后沿斜率为-1的方向运动，碰到$x$轴$y=0$时，$x=7$，即第3次碰撞位置为$\boldsymbol{(7,0)}$；
4. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到右边界$x=8$时，$y=1$，即第4次碰撞位置为$\boldsymbol{(8,1)}$；
5. 反弹后沿斜率为-1的方向运动，碰到上边界$y=4$时，$x=5$，即第5次碰撞位置为$\boldsymbol{(5,4)}$；
6. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到$x$轴$y=0$时，$x=1$，即第6次碰撞位置为$\boldsymbol{(1,0)}$，回到初始位置，后续运动开始循环。
可得碰撞坐标的循环周期为6，循环序列为：$(0,1)$、$(3,4)$、$(7,0)$、$(8,1)$、$(5,4)$、$(1,0)$。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，对应周期内第2个位置，即$(3,4)$。
【答案】
A
【知识点】
规律探究；平面直角坐标系；图形运动
【点评】
本题重点考查对规律的探究和归纳能力，解题的核心是准确列举前几次碰撞的坐标找到循环周期，计算余数时要注意对应周期内的顺序，避免因计数错误丢分。
【难度系数】
0.6
这是一道平面直角坐标系中的规律探究题，解题思路如下：首先根据小球反弹的运动规律，依次列举出前几次碰到球桌边时的坐标，观察坐标特征找到循环周期；再用总碰撞次数2024除以周期，根据余数对应周期内的位置，即可确定第2024次碰到桌边时的坐标。
【解析】
根据题意，小球从$(1,0)$出发按指定方向运动，依次得到碰撞坐标：
1. 第1次碰到球桌边：题目给出位置为$\boldsymbol{(0,1)}$；
2. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到上边界$y=4$时，$x=3$，即第2次碰撞位置为$\boldsymbol{(3,4)}$；
3. 反弹后沿斜率为-1的方向运动，碰到$x$轴$y=0$时，$x=7$，即第3次碰撞位置为$\boldsymbol{(7,0)}$；
4. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到右边界$x=8$时，$y=1$，即第4次碰撞位置为$\boldsymbol{(8,1)}$；
5. 反弹后沿斜率为-1的方向运动，碰到上边界$y=4$时，$x=5$，即第5次碰撞位置为$\boldsymbol{(5,4)}$；
6. 反弹后沿斜率为1的方向运动，碰到$x$轴$y=0$时，$x=1$，即第6次碰撞位置为$\boldsymbol{(1,0)}$，回到初始位置，后续运动开始循环。
可得碰撞坐标的循环周期为6，循环序列为：$(0,1)$、$(3,4)$、$(7,0)$、$(8,1)$、$(5,4)$、$(1,0)$。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，对应周期内第2个位置，即$(3,4)$。
【答案】
A
【知识点】
规律探究；平面直角坐标系；图形运动
【点评】
本题重点考查对规律的探究和归纳能力，解题的核心是准确列举前几次碰撞的坐标找到循环周期，计算余数时要注意对应周期内的顺序，避免因计数错误丢分。
【难度系数】
0.6
7. $\sqrt{25}$的算术平方根等于。
答案
解：
$\because \sqrt{25}=5$，
$\therefore$ 求$\sqrt{25}$的算术平方根等价于求5的算术平方根，
根据算术平方根的定义，5的算术平方根为$\sqrt{5}$，
$\therefore \sqrt{25}$的算术平方根等于$\sqrt{5}$。
$\because \sqrt{25}=5$，
$\therefore$ 求$\sqrt{25}$的算术平方根等价于求5的算术平方根，
根据算术平方根的定义，5的算术平方根为$\sqrt{5}$，
$\therefore \sqrt{25}$的算术平方根等于$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目要求的是$\sqrt{25}$的算术平方根，而非25的算术平方根，避免直接误算。第一步先化简$\sqrt{25}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，计算得5；第二步再对化简后的结果5求算术平方根，正数的算术平方根是正的平方根，即可得到最终结果。
【解析】
$\because \sqrt{25}=5$，
$\therefore$ 求$\sqrt{25}$的算术平方根等价于求5的算术平方根，
根据算术平方根的定义，正数$a$的算术平方根为$\sqrt{a}$，因此5的算术平方根为$\sqrt{5}$，
$\therefore \sqrt{25}$的算术平方根等于$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式化简
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是先明确运算顺序，先化简$\sqrt{25}$得到具体数值后，再求该数值的算术平方根，切勿直接将题目等价于求25的算术平方根，避免落入题目设置的陷阱。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目要求的是$\sqrt{25}$的算术平方根，而非25的算术平方根，避免直接误算。第一步先化简$\sqrt{25}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，计算得5；第二步再对化简后的结果5求算术平方根，正数的算术平方根是正的平方根，即可得到最终结果。
【解析】
$\because \sqrt{25}=5$，
$\therefore$ 求$\sqrt{25}$的算术平方根等价于求5的算术平方根，
根据算术平方根的定义，正数$a$的算术平方根为$\sqrt{a}$，因此5的算术平方根为$\sqrt{5}$，
$\therefore \sqrt{25}$的算术平方根等于$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式化简
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是先明确运算顺序，先化简$\sqrt{25}$得到具体数值后，再求该数值的算术平方根，切勿直接将题目等价于求25的算术平方根，避免落入题目设置的陷阱。
【难度系数】
0.6
8.若点$P_1(1,y_1),P_2(2,y_2)$在一次函数$y=-x+1$的图象上，则$y_1$（填“＞”“＜”或“=”）$y_2$。
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
【分析】
要解决这道题，有两种常用思路：①利用一次函数的增减性判断：先根据一次函数的解析式确定k的正负，明确函数值随x变化的规律，再比较两个点横坐标的大小，就能直接得出y₁和y₂的大小关系；②代入计算法：分别把两个点的横坐标代入函数解析式，算出y₁和y₂的具体数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在一次函数$y=-x+1$中，$k=-1＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知点$P_1$的横坐标为1，$P_2$的横坐标为2，且$1＜2$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：代入求值比较
把$x=1$代入$y=-x+1$，得$y_1=-1+1=0$；
把$x=2$代入$y=-x+1$，得$y_2=-2+1=-1$。
因为$0＞-1$，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，两种解题方法都很常用，其中利用增减性判断不需要计算具体数值，解题效率更高，熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，有两种常用思路：①利用一次函数的增减性判断：先根据一次函数的解析式确定k的正负，明确函数值随x变化的规律，再比较两个点横坐标的大小，就能直接得出y₁和y₂的大小关系；②代入计算法：分别把两个点的横坐标代入函数解析式，算出y₁和y₂的具体数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在一次函数$y=-x+1$中，$k=-1＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知点$P_1$的横坐标为1，$P_2$的横坐标为2，且$1＜2$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：代入求值比较
把$x=1$代入$y=-x+1$，得$y_1=-1+1=0$；
把$x=2$代入$y=-x+1$，得$y_2=-2+1=-1$。
因为$0＞-1$，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，两种解题方法都很常用，其中利用增减性判断不需要计算具体数值，解题效率更高，熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
9.在某中学实践活动课上，小丽打算测量学校旗杆的高度。她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5 m。学校旗杆的高度是 m。
答案
解：设学校旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
化简方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后解得：
$x = 12$
答：学校旗杆的高度是12 m。
根据勾股定理列方程得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
化简方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后解得：
$x = 12$
答：学校旗杆的高度是12 m。
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，我们可先将实际场景转化为直角三角形模型：旗杆垂直于地面，因此旗杆、绳子底端到旗杆底部的水平线段、拉直的绳子刚好构成直角三角形，其中旗杆和水平线段为两条直角边，绳子为斜边。我们可以设旗杆高度为未知数，结合“绳子垂到地面多1m”的条件表示出绳子长度，再利用勾股定理列方程求解。
【解析】
解：设学校旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据直角三角形的勾股定理列方程得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
化简方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后移项计算：
$2x = 24$
解得$x=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于勾股定理在生活中的基础应用题型，解题关键是把实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准三边的数量关系后代入公式求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
这是一道勾股定理的实际应用题，我们可先将实际场景转化为直角三角形模型：旗杆垂直于地面，因此旗杆、绳子底端到旗杆底部的水平线段、拉直的绳子刚好构成直角三角形，其中旗杆和水平线段为两条直角边，绳子为斜边。我们可以设旗杆高度为未知数，结合“绳子垂到地面多1m”的条件表示出绳子长度，再利用勾股定理列方程求解。
【解析】
解：设学校旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据直角三角形的勾股定理列方程得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
化简方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后移项计算：
$2x = 24$
解得$x=12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于勾股定理在生活中的基础应用题型，解题关键是把实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准三边的数量关系后代入公式求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
