登录
10.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了著名的“三斜求积”公式，即如果一个三角形三条边的长度分别为$a,b,c$，那么该三角形的面积$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$。若$△ ABC$的三边长分别为$2,\sqrt{6},3$，则$△ ABC$的面积为。
答案
解：令$a=2$，$b=\sqrt{6}$，$c=3$，
则$a^2=4$，$b^2=6$，$c^2=9$，代入三斜求积公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[4×6-(\frac{4+6-9}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(24-\frac{1}{4})}\\&=\sqrt{\frac{95}{16}}\\&=\frac{\sqrt{95}}{4}\end{aligned}$
$\dfrac{\sqrt{95}}{4}$
则$a^2=4$，$b^2=6$，$c^2=9$，代入三斜求积公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[4×6-(\frac{4+6-9}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(24-\frac{1}{4})}\\&=\sqrt{\frac{95}{16}}\\&=\frac{\sqrt{95}}{4}\end{aligned}$
$\dfrac{\sqrt{95}}{4}$
解析
【分析】
本题属于新公式应用类题目，解题时无需推导给出的三斜求积公式，按以下思路计算即可：第一步先确定三角形三边长对应公式中a、b、c的取值；第二步分别计算a²、b²、c²的值；第三步将所得值代入公式，按照先算小括号、再算中括号、最后算括号外的运算顺序逐步计算，最终化简二次根式得到面积即可。
【解析】
令$a=2$，$b=\sqrt{6}$，$c=3$，
则$a^2=4$，$b^2=6$，$c^2=9$，代入三斜求积公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[4×6-(\frac{4+6-9}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(24-\frac{1}{4})}\\&=\sqrt{\frac{95}{16}}\\&=\frac{\sqrt{95}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{95}}{4}$
【知识点】
公式代入求值，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题以我国古代数学成果“三斜求积”公式为背景，考查对新定义公式的理解应用能力和基本运算能力，解题核心是准确代入数值、细心计算，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
本题属于新公式应用类题目，解题时无需推导给出的三斜求积公式，按以下思路计算即可：第一步先确定三角形三边长对应公式中a、b、c的取值；第二步分别计算a²、b²、c²的值；第三步将所得值代入公式，按照先算小括号、再算中括号、最后算括号外的运算顺序逐步计算，最终化简二次根式得到面积即可。
【解析】
令$a=2$，$b=\sqrt{6}$，$c=3$，
则$a^2=4$，$b^2=6$，$c^2=9$，代入三斜求积公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[4×6-(\frac{4+6-9}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(24-\frac{1}{4})}\\&=\sqrt{\frac{95}{16}}\\&=\frac{\sqrt{95}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{95}}{4}$
【知识点】
公式代入求值，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题以我国古代数学成果“三斜求积”公式为背景，考查对新定义公式的理解应用能力和基本运算能力，解题核心是准确代入数值、细心计算，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
11.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8。在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则点D的坐标是。
答案
解：由折叠的性质可知，AE=OA=10，DE=OD。
∵ 四边形OABC是长方形，
∴ AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=√(AE² - AB²)=√(10² - 8²)=6，
∴ CE=BC - BE=10 - 6=4。
设OD=x，则DE=x，CD=8 - x。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD² + CE² = DE²，
即 (8 - x)² + 4² = x²，
展开整理得80 - 16x = 0，
解得x=5。
∴ 点D的坐标是(0,5)。
∵ 四边形OABC是长方形，
∴ AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=√(AE² - AB²)=√(10² - 8²)=6，
∴ CE=BC - BE=10 - 6=4。
设OD=x，则DE=x，CD=8 - x。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD² + CE² = DE²，
即 (8 - x)² + 4² = x²，
展开整理得80 - 16x = 0，
解得x=5。
∴ 点D的坐标是(0,5)。
解析
【分析】
这是平面直角坐标系下的折叠类几何题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的线段，再结合矩形的已知边长，在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度；之后设OD的长为x，用含x的式子表示出CD的长度，再在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
【解析】
由折叠的性质可知，AE=OA=10，DE=OD。
∵ 四边形OABC是长方形，
∴ AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$，
∴ $CE=BC - BE=10 - 6=4$。
设OD=x，则DE=x，$CD=8 - x$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD^2 + CE^2 = DE^2$，
即 $(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开整理得$80 - 16x = 0$，
解得$x=5$。
∵ 点D在y轴正半轴上，
∴ 点D的坐标是$(0,5)$。
【答案】
$(0,5)$
【知识点】
翻折变换的性质；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠的不变性找到相等线段，结合勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
这是平面直角坐标系下的折叠类几何题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的线段，再结合矩形的已知边长，在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到CE的长度；之后设OD的长为x，用含x的式子表示出CD的长度，再在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
【解析】
由折叠的性质可知，AE=OA=10，DE=OD。
∵ 四边形OABC是长方形，
∴ AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$，
∴ $CE=BC - BE=10 - 6=4$。
设OD=x，则DE=x，$CD=8 - x$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD^2 + CE^2 = DE^2$，
即 $(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开整理得$80 - 16x = 0$，
解得$x=5$。
∵ 点D在y轴正半轴上，
∴ 点D的坐标是$(0,5)$。
【答案】
$(0,5)$
【知识点】
翻折变换的性质；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠的不变性找到相等线段，结合勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
12. 在$△ ABC$中，$AB=AC=5\ \mathrm{cm}$。若$△ ABC$一边上的高为$4\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为。
答案
解：分三种情况讨论：
1. 当BC边上的高为4 cm时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AB=AC，
∴ BD=DC，
在Rt△ABD中，AB=5 cm，AD=4 cm，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=2BD=6\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC内部时，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC外部时，CD⊥BA的延长线于点D，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB+AD=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
综上，BC的长为$6\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
1. 当BC边上的高为4 cm时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AB=AC，
∴ BD=DC，
在Rt△ABD中，AB=5 cm，AD=4 cm，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=2BD=6\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC内部时，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC外部时，CD⊥BA的延长线于点D，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB+AD=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
综上，BC的长为$6\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题为等腰三角形边长求解问题，由于题目未明确高对应的边，且等腰三角形腰上的高可能在三角形内部也可能在外部，因此需分类讨论求解：首先分高在底边BC上、高在腰上两种大情况，再将腰上的高分为在三角形内部和外部两种子情况，每种情况结合等腰三角形性质和勾股定理即可计算出BC的长度。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当BC边上的高为4 cm时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AB=AC，等腰三角形三线合一，
∴ BD=DC，
在Rt△ABD中，AB=5 cm，AD=4 cm，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=2BD=6\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC内部时，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC外部时，CD⊥BA的延长线于点D，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB+AD=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时需注意：若题目未明确高的对应边和位置，要全面考虑高对应底边、对应腰且在三角形内部、对应腰且在三角形外部的所有情况，避免思维定式导致漏解。
【难度系数】
0.4
本题为等腰三角形边长求解问题，由于题目未明确高对应的边，且等腰三角形腰上的高可能在三角形内部也可能在外部，因此需分类讨论求解：首先分高在底边BC上、高在腰上两种大情况，再将腰上的高分为在三角形内部和外部两种子情况，每种情况结合等腰三角形性质和勾股定理即可计算出BC的长度。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当BC边上的高为4 cm时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AB=AC，等腰三角形三线合一，
∴ BD=DC，
在Rt△ABD中，AB=5 cm，AD=4 cm，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=2BD=6\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC内部时，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 当腰AB边上的高CD=4 cm，且高在△ABC外部时，CD⊥BA的延长线于点D，
在Rt△ACD中，AC=5 cm，CD=4 cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB+AD=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时需注意：若题目未明确高的对应边和位置，要全面考虑高对应底边、对应腰且在三角形内部、对应腰且在三角形外部的所有情况，避免思维定式导致漏解。
【难度系数】
0.4
三、解答题
13. 计算。
(1)$(-1)^2 - \sqrt[3]{27} + \sqrt{4}$；
(2)$(π - 2025)^0 - |\sqrt{3} - 2| - \sqrt{12}$。
13. 计算。
(1)$(-1)^2 - \sqrt[3]{27} + \sqrt{4}$；
(2)$(π - 2025)^0 - |\sqrt{3} - 2| - \sqrt{12}$。
答案
解：
(1) 原式$=1 - 3 + 2$
$=0$
(2) 原式$=1 - (2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3}$
$=1 - 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=-1 - \sqrt{3}$
(1) 原式$=1 - 3 + 2$
$=0$
(2) 原式$=1 - (2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3}$
$=1 - 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=-1 - \sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题时按照先算乘方、开方，再算加减的运算顺序依次计算，遇到零指数幂、绝对值时先根据对应性质化简：
(1) 先分别计算乘方$(-1)^2$、立方根$\sqrt[3]{27}$、算术平方根$\sqrt{4}$，再进行加减运算即可；
(2) 先根据零指数幂的性质计算$(π-2025)^0$，再判断$\sqrt{3}-2$的正负性化简绝对值，同时化简$\sqrt{12}$，最后去括号合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：
$(-1)^2=1$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{4}=2$
原式$=1 - 3 + 2$
$=0$
(2) 先化简各部分：
$π\approx3.14$，则$π-2025≠0$，故$(π-2025)^0=1$；
$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，故$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式计算：
原式$=1 - (2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3}$
$=1 - 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=-1 - \sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-1-\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算、零指数幂性质、二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的基础常规题，核心考查各类基础运算的规则，解题时需注意绝对值化简的符号判断、二次根式化简的准确性，运算过程中注意符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题时按照先算乘方、开方，再算加减的运算顺序依次计算，遇到零指数幂、绝对值时先根据对应性质化简：
(1) 先分别计算乘方$(-1)^2$、立方根$\sqrt[3]{27}$、算术平方根$\sqrt{4}$，再进行加减运算即可；
(2) 先根据零指数幂的性质计算$(π-2025)^0$，再判断$\sqrt{3}-2$的正负性化简绝对值，同时化简$\sqrt{12}$，最后去括号合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：
$(-1)^2=1$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{4}=2$
原式$=1 - 3 + 2$
$=0$
(2) 先化简各部分：
$π\approx3.14$，则$π-2025≠0$，故$(π-2025)^0=1$；
$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，故$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式计算：
原式$=1 - (2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3}$
$=1 - 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=-1 - \sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-1-\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算、零指数幂性质、二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的基础常规题，核心考查各类基础运算的规则，解题时需注意绝对值化简的符号判断、二次根式化简的准确性，运算过程中注意符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
14.已知$2a+1$的算术平方根是3，$3a - b - 1$的立方根是2。
(1)求$a,b$的值。
(2)求$20b+a$的平方根。
(1)求$a,b$的值。
(2)求$20b+a$的平方根。
答案
解：
(1) 因为$2a+1$的算术平方根是3，
所以$2a + 1 = 3^2 = 9$，
解得$a = 4$。
因为$3a - b - 1$的立方根是2，
所以$3a - b - 1 = 2^3 = 8$，
将$a=4$代入上式，得$3×4 - b - 1 = 8$，
即$11 - b = 8$，
解得$b = 3$。
(2) 把$a=4$，$b=3$代入$20b+a$，得
$20b + a = 20×3 + 4 = 64$，
因为64的平方根是$\pm\sqrt{64}=\pm8$，
所以$20b+a$的平方根是$\pm8$。
(1) 因为$2a+1$的算术平方根是3，
所以$2a + 1 = 3^2 = 9$，
解得$a = 4$。
因为$3a - b - 1$的立方根是2，
所以$3a - b - 1 = 2^3 = 8$，
将$a=4$代入上式，得$3×4 - b - 1 = 8$，
即$11 - b = 8$，
解得$b = 3$。
(2) 把$a=4$，$b=3$代入$20b+a$，得
$20b + a = 20×3 + 4 = 64$，
因为64的平方根是$\pm\sqrt{64}=\pm8$，
所以$20b+a$的平方根是$\pm8$。
解析
【分析】
解决本题需结合算术平方根、立方根、平方根的定义逐步推导：
1. 求a、b的值时，根据算术平方根的定义：若非负数x的算术平方根是m，则x=m²，可列出关于a的方程求出a；再根据立方根的定义：若数x的立方根是n，则x=n³，将求得的a代入对应方程即可求出b的值。
2. 求20b+a的平方根时，先将a、b代入代数式算出结果，再根据平方根的定义计算即可，注意平方根有正负两个互为相反数的结果，不可漏解。
【解析】
(1) 因为$2a+1$的算术平方根是3，根据算术平方根的定义可得：
$2a + 1 = 3^2 = 9$
解得$a = 4$。
又因为$3a - b - 1$的立方根是2，根据立方根的定义可得：
$3a - b - 1 = 2^3 = 8$
将$a=4$代入上式，得：
$3×4 - b - 1 = 8$
即$11 - b = 8$
解得$b = 3$。
(2) 把$a=4$，$b=3$代入$20b+a$，得：
$20b + a = 20×3 + 4 = 64$
根据平方根的定义，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$，因此$20b+a$的平方根是$\pm8$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=3$；(2) $\pm8$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题是根式概念的基础应用题，解题关键是准确区分算术平方根、立方根、平方根的概念，求平方根时注意不要遗漏负的结果，计算过程细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合算术平方根、立方根、平方根的定义逐步推导：
1. 求a、b的值时，根据算术平方根的定义：若非负数x的算术平方根是m，则x=m²，可列出关于a的方程求出a；再根据立方根的定义：若数x的立方根是n，则x=n³，将求得的a代入对应方程即可求出b的值。
2. 求20b+a的平方根时，先将a、b代入代数式算出结果，再根据平方根的定义计算即可，注意平方根有正负两个互为相反数的结果，不可漏解。
【解析】
(1) 因为$2a+1$的算术平方根是3，根据算术平方根的定义可得：
$2a + 1 = 3^2 = 9$
解得$a = 4$。
又因为$3a - b - 1$的立方根是2，根据立方根的定义可得：
$3a - b - 1 = 2^3 = 8$
将$a=4$代入上式，得：
$3×4 - b - 1 = 8$
即$11 - b = 8$
解得$b = 3$。
(2) 把$a=4$，$b=3$代入$20b+a$，得：
$20b + a = 20×3 + 4 = 64$
根据平方根的定义，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$，因此$20b+a$的平方根是$\pm8$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=3$；(2) $\pm8$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题是根式概念的基础应用题，解题关键是准确区分算术平方根、立方根、平方根的概念，求平方根时注意不要遗漏负的结果，计算过程细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
15.如图,已知$AB=CD=6\ \mathrm{dm},BC=3\ \mathrm{dm},AD=9\ \mathrm{dm},∠ ABD=90°$。请说明:$BC⊥ CD$。
答案
解：
∵ ∠ABD=90°，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
在△BCD中，
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$，
∴ $BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∴ △BCD是直角三角形，且$∠BCD=90°$，
∴ $BC⊥ CD$。
∵ ∠ABD=90°，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
在△BCD中，
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$，
∴ $BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∴ △BCD是直角三角形，且$∠BCD=90°$，
∴ $BC⊥ CD$。
解析
【分析】
要证明BC⊥CD，本质是要证明∠BCD=90°，即△BCD为直角三角形。我们可以先利用已知的Rt△ABD，结合勾股定理计算出公共边BD的平方，再计算△BCD中BC和CD的平方和，将其与BD的平方对比，若满足两边平方和等于第三边的平方，就可以通过勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，且直角在点C处，即可证明BC⊥CD。
【解析】
∵ ∠ABD=90°，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
在△BCD中，
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$，
∴ $BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∴ △BCD是直角三角形，且$∠BCD=90°$，
∴ $BC⊥ CD$。
【答案】
$BC⊥CD$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；垂直的判定
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础综合应用，解题关键是抓住两个三角形的公共边BD作为衔接，先在直角三角形中用勾股定理求边长平方，再通过边的数量关系判定直角三角形，进而得到垂直结论，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
要证明BC⊥CD，本质是要证明∠BCD=90°，即△BCD为直角三角形。我们可以先利用已知的Rt△ABD，结合勾股定理计算出公共边BD的平方，再计算△BCD中BC和CD的平方和，将其与BD的平方对比，若满足两边平方和等于第三边的平方，就可以通过勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，且直角在点C处，即可证明BC⊥CD。
【解析】
∵ ∠ABD=90°，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
在△BCD中，
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$，
∴ $BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∴ △BCD是直角三角形，且$∠BCD=90°$，
∴ $BC⊥ CD$。
【答案】
$BC⊥CD$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；垂直的判定
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础综合应用，解题关键是抓住两个三角形的公共边BD作为衔接，先在直角三角形中用勾股定理求边长平方，再通过边的数量关系判定直角三角形，进而得到垂直结论，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
