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16. 如图，在平面直角坐标系中，$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于$y$轴对称。
(1)在图中画出$△ A_1B_1C_1$，并写出点$A_1,B_1$的坐标。
(2)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(1)在图中画出$△ A_1B_1C_1$，并写出点$A_1,B_1$的坐标。
(2)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接得到△A₁B₁C₁。
点$A_1$的坐标为$(-1,4)$，点$B_1$的坐标为$(-2,1)$。
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由图可知$A(1,4)$，$B(2,1)$，$C(3,3)$，
根据勾股定理计算：
$AB^2=(2-1)^2+(1-4)^2=1+9=10$，
$BC^2=(3-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$AC^2=(3-1)^2+(3-4)^2=4+1=5$，
$\therefore AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，且$AC=BC=\sqrt{5}$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接得到△A₁B₁C₁。
点$A_1$的坐标为$(-1,4)$，点$B_1$的坐标为$(-2,1)$。
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由图可知$A(1,4)$，$B(2,1)$，$C(3,3)$，
根据勾股定理计算：
$AB^2=(2-1)^2+(1-4)^2=1+9=10$，
$BC^2=(3-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$AC^2=(3-1)^2+(3-4)^2=4+1=5$，
$\therefore AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，且$AC=BC=\sqrt{5}$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
解析
【分析】
(1) 要作△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点A、B、C的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点坐标，再顺次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁，最后直接写出A₁、B₁的坐标。
(2) 判断三角形形状，可先通过勾股定理计算出△ABC三边的平方，先看有没有两边相等判断是否为等腰三角形，再验证是否满足勾股定理的逆定理，判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定三角形形状。
【解析】
(1) 首先确定A(1,4)、B(2,1)、C(3,3)，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到A的对称点A₁(-1,4)，B的对称点B₁(-2,1)，C的对称点C₁(-3,3)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
所以点A₁的坐标为(-1,4)，点B₁的坐标为(-2,1)。
(2) △ABC是等腰直角三角形，理由如下：
已知A(1,4)，B(2,1)，C(3,3)，根据勾股定理，网格中两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离的平方为$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$，因此：
$AB^2=(2-1)^2+(1-4)^2=1+9=10$，
$BC^2=(3-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$AC^2=(3-1)^2+(3-4)^2=4+1=5$，
可得$AC^2=BC^2$，即$AC=BC$，同时$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，满足勾股定理的逆定理，说明∠C是直角。
因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) 画图见解析，$A_1(-1,4)$，$B_1(-2,1)$；
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形。
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查轴对称作图及三角形形状的判定，解题关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用勾股定理计算网格中线段的长度，能灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形，整体难度不大，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要作△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点A、B、C的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点坐标，再顺次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁，最后直接写出A₁、B₁的坐标。
(2) 判断三角形形状，可先通过勾股定理计算出△ABC三边的平方，先看有没有两边相等判断是否为等腰三角形，再验证是否满足勾股定理的逆定理，判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定三角形形状。
【解析】
(1) 首先确定A(1,4)、B(2,1)、C(3,3)，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到A的对称点A₁(-1,4)，B的对称点B₁(-2,1)，C的对称点C₁(-3,3)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
所以点A₁的坐标为(-1,4)，点B₁的坐标为(-2,1)。
(2) △ABC是等腰直角三角形，理由如下：
已知A(1,4)，B(2,1)，C(3,3)，根据勾股定理，网格中两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离的平方为$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$，因此：
$AB^2=(2-1)^2+(1-4)^2=1+9=10$，
$BC^2=(3-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$AC^2=(3-1)^2+(3-4)^2=4+1=5$，
可得$AC^2=BC^2$，即$AC=BC$，同时$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，满足勾股定理的逆定理，说明∠C是直角。
因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) 画图见解析，$A_1(-1,4)$，$B_1(-2,1)$；
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形。
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查轴对称作图及三角形形状的判定，解题关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用勾股定理计算网格中线段的长度，能灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形，整体难度不大，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
17.如图，已知一次函数$y=kx-3$的图象经过点$M(-2,1)$，且与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$。
(1)求$k$的值。
(2)求$△ ABO$的面积。
(1)求$k$的值。
(2)求$△ ABO$的面积。
答案
解：
(1) 将点$M(-2,1)$代入$y=kx-3$，得
$1 = -2k - 3$
移项整理得$2k=-4$，
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该一次函数的解析式为$y=-2x-3$。
令$x=0$，得$y=-3$，因此点$B$的坐标为$(0,-3)$，$OB=3$。
令$y=0$，得$0=-2x-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，因此点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，$OA=\frac{3}{2}$。
$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} · OA · OB = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4}$
(1) 将点$M(-2,1)$代入$y=kx-3$，得
$1 = -2k - 3$
移项整理得$2k=-4$，
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该一次函数的解析式为$y=-2x-3$。
令$x=0$，得$y=-3$，因此点$B$的坐标为$(0,-3)$，$OB=3$。
令$y=0$，得$0=-2x-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，因此点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，$OA=\frac{3}{2}$。
$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} · OA · OB = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4}$
解析
【分析】
(1) 求k值时，一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点M的坐标代入y=kx-3，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k值。
(2) 求△ABO的面积，首先需要确定A、B两点坐标：A是函数与x轴交点，令y=0求出对应x值即可得到A点坐标，OA长度为A点横坐标的绝对值；B是函数与y轴交点，令x=0求出对应y值即可得到B点坐标，OB长度为B点纵坐标的绝对值。△ABO是直角在原点O的直角三角形，代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 将点$M(-2,1)$代入$y=kx-3$，得
$1 = -2k - 3$
移项整理得$2k=-4$，
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该一次函数的解析式为$y=-2x-3$。
令$x=0$，得$y=-3$，因此点$B$的坐标为$(0,-3)$，$OB=3$。
令$y=0$，得$0=-2x-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，因此点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，$OA=\frac{3}{2}$。
$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} · OA · OB = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=-2}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数系数
2. 一次函数与坐标轴交点求法
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用以及一次函数与坐标轴交点的求解方法，计算量小，只要熟悉一次函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求k值时，一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点M的坐标代入y=kx-3，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k值。
(2) 求△ABO的面积，首先需要确定A、B两点坐标：A是函数与x轴交点，令y=0求出对应x值即可得到A点坐标，OA长度为A点横坐标的绝对值；B是函数与y轴交点，令x=0求出对应y值即可得到B点坐标，OB长度为B点纵坐标的绝对值。△ABO是直角在原点O的直角三角形，代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 将点$M(-2,1)$代入$y=kx-3$，得
$1 = -2k - 3$
移项整理得$2k=-4$，
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该一次函数的解析式为$y=-2x-3$。
令$x=0$，得$y=-3$，因此点$B$的坐标为$(0,-3)$，$OB=3$。
令$y=0$，得$0=-2x-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，因此点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，$OA=\frac{3}{2}$。
$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} · OA · OB = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=-2}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数系数
2. 一次函数与坐标轴交点求法
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用以及一次函数与坐标轴交点的求解方法，计算量小，只要熟悉一次函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
18.如图，点$P(-2,4)$，$M(-1,1)$关于直线$x=1$的对称点分别为$P'$，$M'$。
(1)点$P'$的坐标为，点$M'$的坐标为。
(2)点$P(-2,4)$关于直线$x=-1$对称的点的坐标为；点$N(5,-2)$关于直线$x=2$对称的点的坐标为。
(3)求点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标。
(1)点$P'$的坐标为，点$M'$的坐标为。
(2)点$P(-2,4)$关于直线$x=-1$对称的点的坐标为；点$N(5,-2)$关于直线$x=2$对称的点的坐标为。
(3)求点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标。
答案
解：
(1) 点$P(-2,4)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-2)=3$，对称点纵坐标不变，横坐标为$1+3=4$，故$P'$的坐标为$(4,4)$；
点$M(-1,1)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-1)=2$，对称点纵坐标不变，横坐标为$1+2=3$，故$M'$的坐标为$(3,1)$。
(2) 点$P(-2,4)$到直线$x=-1$的水平距离为$-1-(-2)=1$，对称点纵坐标不变，横坐标为$-1+1=0$，故对称点坐标为$(0,4)$；
点$N(5,-2)$到直线$x=2$的水平距离为$5-2=3$，对称点纵坐标不变，横坐标为$2-3=-1$，故对称点坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标为$(x,b)$，
根据轴对称的性质，两点的横坐标到直线$x=n$的距离相等，可得：
$n - a = x - n$
解得$x=2n - a$。
因此点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标为$(2n-a,b)$。
(1) 点$P(-2,4)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-2)=3$，对称点纵坐标不变，横坐标为$1+3=4$，故$P'$的坐标为$(4,4)$；
点$M(-1,1)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-1)=2$，对称点纵坐标不变，横坐标为$1+2=3$，故$M'$的坐标为$(3,1)$。
(2) 点$P(-2,4)$到直线$x=-1$的水平距离为$-1-(-2)=1$，对称点纵坐标不变，横坐标为$-1+1=0$，故对称点坐标为$(0,4)$；
点$N(5,-2)$到直线$x=2$的水平距离为$5-2=3$，对称点纵坐标不变，横坐标为$2-3=-1$，故对称点坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标为$(x,b)$，
根据轴对称的性质，两点的横坐标到直线$x=n$的距离相等，可得：
$n - a = x - n$
解得$x=2n - a$。
因此点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点的坐标为$(2n-a,b)$。
解析
【分析】
解决点关于竖直线$x=n$对称的问题，核心是利用轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分。因为对称轴$x=n$垂直于x轴，所以对称点连线平行于x轴，即纵坐标不变，仅需计算横坐标：先算出已知点横坐标到直线$x=n$的水平距离，再在对称轴另一侧取相同距离对应的横坐标，即可得到对称点坐标。第(1)(2)问代入具体数值计算即可，第(3)问将数值替换为字母，根据距离相等列等式推导通用公式。
【解析】
(1) 点关于直线$x=1$对称时纵坐标不变，计算横坐标：
点$P(-2,4)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-2)=3$，因此$P'$的横坐标为$1+3=4$，即$P'(4,4)$；
点$M(-1,1)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-1)=2$，因此$M'$的横坐标为$1+2=3$，即$M'(3,1)$。
(2) 同理，对称点纵坐标不变，计算横坐标：
点$P(-2,4)$到直线$x=-1$的水平距离为$-1-(-2)=1$，因此对称点横坐标为$-1+1=0$，即坐标为$(0,4)$；
点$N(5,-2)$到直线$x=2$的水平距离为$5-2=3$，因此对称点横坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点坐标为$(x,b)$，根据两点横坐标到直线$x=n$的距离相等，可得：
$n-a=x-n$
解得$x=2n-a$，因此对称点坐标为$(2n-a,b)$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,4)}$，$\boxed{(3,1)}$
(2) $\boxed{(0,4)}$，$\boxed{(-1,-2)}$
(3) $\boxed{(2n-a,b)}$
【知识点】
轴对称的性质，坐标对称变换
【点评】
本题遵循由特殊到一般的逻辑，从具体坐标的对称计算延伸到通用公式推导，核心考查点关于竖直线对称的坐标变化规律，掌握“纵坐标不变，横坐标到对称轴距离相等”的特征即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.75
解决点关于竖直线$x=n$对称的问题，核心是利用轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分。因为对称轴$x=n$垂直于x轴，所以对称点连线平行于x轴，即纵坐标不变，仅需计算横坐标：先算出已知点横坐标到直线$x=n$的水平距离，再在对称轴另一侧取相同距离对应的横坐标，即可得到对称点坐标。第(1)(2)问代入具体数值计算即可，第(3)问将数值替换为字母，根据距离相等列等式推导通用公式。
【解析】
(1) 点关于直线$x=1$对称时纵坐标不变，计算横坐标：
点$P(-2,4)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-2)=3$，因此$P'$的横坐标为$1+3=4$，即$P'(4,4)$；
点$M(-1,1)$到直线$x=1$的水平距离为$1-(-1)=2$，因此$M'$的横坐标为$1+2=3$，即$M'(3,1)$。
(2) 同理，对称点纵坐标不变，计算横坐标：
点$P(-2,4)$到直线$x=-1$的水平距离为$-1-(-2)=1$，因此对称点横坐标为$-1+1=0$，即坐标为$(0,4)$；
点$N(5,-2)$到直线$x=2$的水平距离为$5-2=3$，因此对称点横坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点$(a,b)$关于直线$x=n$对称的点坐标为$(x,b)$，根据两点横坐标到直线$x=n$的距离相等，可得：
$n-a=x-n$
解得$x=2n-a$，因此对称点坐标为$(2n-a,b)$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,4)}$，$\boxed{(3,1)}$
(2) $\boxed{(0,4)}$，$\boxed{(-1,-2)}$
(3) $\boxed{(2n-a,b)}$
【知识点】
轴对称的性质，坐标对称变换
【点评】
本题遵循由特殊到一般的逻辑，从具体坐标的对称计算延伸到通用公式推导，核心考查点关于竖直线对称的坐标变化规律，掌握“纵坐标不变，横坐标到对称轴距离相等”的特征即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.75
