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19.教材在探索平方差公式时利用了面积法，这种方法不仅可以帮助我们记忆公式，还能直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”。例如，著名的“赵爽弦图”（如图①所示，其中四个直角三角形较长的直角边的长度都为a，较短的直角边的长度都为b，斜边的长度都为c）中的大正方形的面积可以表示为$c^2$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^2$，由此推导出重要的勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
(1)1876年，伽菲尔德利用图②验证了勾股定理，请你写出验证过程。
(2)如图③，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6。设BD=x，求x的值。
20.下面表格中的两组对应值满足一次函数$y=kx+b$，现画出了它的图象为直线l，如图所示。琪琪为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线$l'$。
(1)求直线l的函数表达式。
(2)求直线$l'$的函数表达式，并在图中画出直线$l'$。
(3)若$P(a,0)$是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l，$l'$于点M，N。当$MN=4$时，求a的值。
(4)若$Q(0,m)$是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l，$l'$及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出m的值。
(1)1876年，伽菲尔德利用图②验证了勾股定理，请你写出验证过程。
(2)如图③，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6。设BD=x，求x的值。
20.下面表格中的两组对应值满足一次函数$y=kx+b$，现画出了它的图象为直线l，如图所示。琪琪为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线$l'$。
(1)求直线l的函数表达式。
(2)求直线$l'$的函数表达式，并在图中画出直线$l'$。
(3)若$P(a,0)$是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l，$l'$于点M，N。当$MN=4$时，求a的值。
(4)若$Q(0,m)$是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l，$l'$及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出m的值。
答案
19. 解：
(1) 图②是直角梯形，其面积可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时该梯形可看作由2个全等的直角边为$a,b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，面积也可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因此有：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2并化简得：
$a^2+b^2=c^2$，验证了勾股定理。
(2) 由题意得$CD=BC-BD=6-x$，
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2$，
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2$，
因此列方程：
$16-x^2=25-(6-x)^2$
展开化简：
$16-x^2=25-36+12x-x^2$
$16=-11+12x$
解得$x=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$。
---
20. 解：
(1) 将$x=0,y=1$和$x=2,y=7$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}b=1\\2k+b=7\end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，解得$k=3$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=3x+1$。
(2) 将$k$和$b$交换位置，得直线$l'$的函数表达式为$y=x+3$。
画图：取点$(0,3)$和$(-3,0)$，过两点作直线即为直线$l'$。
(3) 由题意，点$M$坐标为$(a,3a+1)$，点$N$坐标为$(a,a+3)$，
则$MN=|(3a+1)-(a+3)|=|2a-2|$，
令$|2a-2|=4$：
当$2a-2=4$时，解得$a=3$；
当$2a-2=-4$时，解得$a=-1$。
因此$a$的值为$3$或$-1$。
(4) $m$的值为$7$，$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{5}$。
(1) 图②是直角梯形，其面积可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时该梯形可看作由2个全等的直角边为$a,b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，面积也可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因此有：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2并化简得：
$a^2+b^2=c^2$，验证了勾股定理。
(2) 由题意得$CD=BC-BD=6-x$，
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2$，
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2$，
因此列方程：
$16-x^2=25-(6-x)^2$
展开化简：
$16-x^2=25-36+12x-x^2$
$16=-11+12x$
解得$x=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$。
---
20. 解：
(1) 将$x=0,y=1$和$x=2,y=7$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}b=1\\2k+b=7\end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，解得$k=3$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=3x+1$。
(2) 将$k$和$b$交换位置，得直线$l'$的函数表达式为$y=x+3$。
画图：取点$(0,3)$和$(-3,0)$，过两点作直线即为直线$l'$。
(3) 由题意，点$M$坐标为$(a,3a+1)$，点$N$坐标为$(a,a+3)$，
则$MN=|(3a+1)-(a+3)|=|2a-2|$，
令$|2a-2|=4$：
当$2a-2=4$时，解得$a=3$；
当$2a-2=-4$时，解得$a=-1$。
因此$a$的值为$3$或$-1$。
(4) $m$的值为$7$，$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{5}$。
解析
【分析】
19题第(1)问采用等面积法验证勾股定理，思路为：分别用梯形面积公式和分割求和法两种方式表示直角梯形的面积，根据面积相等建立等式，化简后即可推导出勾股定理；第(2)问利用公共高AD作为等量关系，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AD²，建立关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值。
20题第(1)问使用待定系数法，将已知的两组函数对应值代入一次函数一般式，求解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到直线l的解析式；第(2)问交换k与b的数值直接得到直线l'的解析式，选取两个特殊点连线即可画出函数图像；第(3)问中平行于y轴的直线上所有点横坐标相同，分别代入两个解析式得到M、N的纵坐标，线段MN长度为两点纵坐标差的绝对值，列绝对值方程求解得到a的值；第(4)问分三种对称情况讨论，利用中点坐标的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的m值。
【解析】
19. 解：
(1) 图②是直角梯形，其面积可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时该梯形可看作由2个全等的直角边为$a,b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，面积也可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因此有：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2并化简得：
$a^2+b^2=c^2$，验证了勾股定理。
(2) 由题意得$CD=BC-BD=6-x$，
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2$，
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2$，
因此列方程：
$16-x^2=25-(6-x)^2$
展开化简：
$16-x^2=25-36+12x-x^2$
$16=-11+12x$
解得$x=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$。
20. 解：
(1) 将$x=0,y=1$和$x=2,y=7$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}b=1\\2k+b=7\end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，解得$k=3$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=3x+1$。
(2) 将$k$和$b$交换位置，得直线$l'$的函数表达式为$y=x+3$。
画图：取点$(0,3)$和$(-3,0)$，过两点作直线即为直线$l'$。
(3) 由题意，点$M$坐标为$(a,3a+1)$，点$N$坐标为$(a,a+3)$，
则$MN=|(3a+1)-(a+3)|=|2a-2|$，
令$|2a-2|=4$：
当$2a-2=4$时，解得$a=3$；
当$2a-2=-4$时，解得$a=-1$。
因此$a$的值为$3$或$-1$。
(4) $m$的值为$7$，$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{5}$。
【答案】
19.(1) 成功验证勾股定理$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boldsymbol{x=\frac{9}{4}}$
20.(1) $\boldsymbol{y=3x+1}$；(2) $\boldsymbol{y=x+3}$，画图见解析；(3) $\boldsymbol{a=3}$或$\boldsymbol{a=-1}$；(4) $\boldsymbol{m=7}$、$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$
【知识点】
勾股定理；待定系数法求一次函数解析式；一次函数几何应用
【点评】
本组题目属于基础综合题，既考察了勾股定理的验证与应用、一次函数的基本性质等核心知识点，也渗透了等面积法、分类讨论等重要数学思想，解题时需注意绝对值方程的多解性、对称情况的全面分类，有助于巩固基础，提升综合解题能力。
【难度系数】
0.7
19题第(1)问采用等面积法验证勾股定理，思路为：分别用梯形面积公式和分割求和法两种方式表示直角梯形的面积，根据面积相等建立等式，化简后即可推导出勾股定理；第(2)问利用公共高AD作为等量关系，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AD²，建立关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值。
20题第(1)问使用待定系数法，将已知的两组函数对应值代入一次函数一般式，求解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到直线l的解析式；第(2)问交换k与b的数值直接得到直线l'的解析式，选取两个特殊点连线即可画出函数图像；第(3)问中平行于y轴的直线上所有点横坐标相同，分别代入两个解析式得到M、N的纵坐标，线段MN长度为两点纵坐标差的绝对值，列绝对值方程求解得到a的值；第(4)问分三种对称情况讨论，利用中点坐标的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的m值。
【解析】
19. 解：
(1) 图②是直角梯形，其面积可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时该梯形可看作由2个全等的直角边为$a,b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，面积也可表示为：
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因此有：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2并化简得：
$a^2+b^2=c^2$，验证了勾股定理。
(2) 由题意得$CD=BC-BD=6-x$，
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2$，
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2$，
因此列方程：
$16-x^2=25-(6-x)^2$
展开化简：
$16-x^2=25-36+12x-x^2$
$16=-11+12x$
解得$x=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$。
20. 解：
(1) 将$x=0,y=1$和$x=2,y=7$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}b=1\\2k+b=7\end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，解得$k=3$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=3x+1$。
(2) 将$k$和$b$交换位置，得直线$l'$的函数表达式为$y=x+3$。
画图：取点$(0,3)$和$(-3,0)$，过两点作直线即为直线$l'$。
(3) 由题意，点$M$坐标为$(a,3a+1)$，点$N$坐标为$(a,a+3)$，
则$MN=|(3a+1)-(a+3)|=|2a-2|$，
令$|2a-2|=4$：
当$2a-2=4$时，解得$a=3$；
当$2a-2=-4$时，解得$a=-1$。
因此$a$的值为$3$或$-1$。
(4) $m$的值为$7$，$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{5}$。
【答案】
19.(1) 成功验证勾股定理$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boldsymbol{x=\frac{9}{4}}$
20.(1) $\boldsymbol{y=3x+1}$；(2) $\boldsymbol{y=x+3}$，画图见解析；(3) $\boldsymbol{a=3}$或$\boldsymbol{a=-1}$；(4) $\boldsymbol{m=7}$、$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$
【知识点】
勾股定理；待定系数法求一次函数解析式；一次函数几何应用
【点评】
本组题目属于基础综合题，既考察了勾股定理的验证与应用、一次函数的基本性质等核心知识点，也渗透了等面积法、分类讨论等重要数学思想，解题时需注意绝对值方程的多解性、对称情况的全面分类，有助于巩固基础，提升综合解题能力。
【难度系数】
0.7
