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8. 提升题 某商场为庆祝开业推出两种购物方案。方案一:非会员购物,所有商品价格可获九五折优惠;方案二:若交纳300元会费成为该商场会员,则所有商品价格可获九折优惠。
(1)用x(单位:元)表示商品价格,y(单位:元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中y与x之间的关系式。
(2)某顾客计划在该商场购买一台价格为5880元的电视机,选择哪种方案更省钱？
(1)用x(单位:元)表示商品价格,y(单位:元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中y与x之间的关系式。
(2)某顾客计划在该商场购买一台价格为5880元的电视机,选择哪种方案更省钱？
答案
解:(1)方案一: $y=0.95x$;
方案二: $y=0.9x+300$。
(2)当$x=5\ 880$时,
方案一: $y=0.95x=0.95×5\ 880=5\ 586$;
方案二: $y=0.9x+300=0.9×5\ 880+300=5\ 592$。
因为$5\ 586＜5\ 592$,所以选择方案一更省钱。
方案二: $y=0.9x+300$。
(2)当$x=5\ 880$时,
方案一: $y=0.95x=0.95×5\ 880=5\ 586$;
方案二: $y=0.9x+300=0.9×5\ 880+300=5\ 592$。
因为$5\ 586＜5\ 592$,所以选择方案一更省钱。
解析
【分析】
(1) 要推导两种方案的y与x的关系式，需先明确各方案支出的构成：方案一无额外费用，仅按商品原价的九五折收费，即支出金额=商品价格×0.95；方案二需先交固定会费300元，再按商品原价的九折收费，即支出金额=商品价格×0.9+固定会费300，根据这两个等量关系即可列出对应的函数式。
(2) 要判断购买5880元的电视机哪种方案省钱，只需将x=5880分别代入两个方案的函数式，计算出对应的支出金额y，再比较两个y值的大小，y更小的方案更省钱。
【解析】
(1) 方案一：非会员所有商品享九五折优惠，无额外支出，因此$y = 0.95x$；
方案二：交纳300元会费后所有商品享九折优惠，因此$y = 0.9x + 300$。
(2) 当商品价格$x=5880$时：
方案一的支出：$y = 0.95x = 0.95×5880 = 5586$；
方案二的支出：$y = 0.9x + 300 = 0.9×5880 + 300 = 5592$。
因为$5586 ＜ 5592$，所以选择方案一更省钱。
【答案】
(1) 方案一：$y=0.95x$；方案二：$y=0.9x+300$
(2) 选择方案一更省钱
【知识点】
一次函数的应用，代数式求值，有理数大小比较
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，解题关键是准确梳理不同方案的费用构成，建立对应的数量关系，再通过计算比较得出最优结论，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 要推导两种方案的y与x的关系式，需先明确各方案支出的构成：方案一无额外费用，仅按商品原价的九五折收费，即支出金额=商品价格×0.95；方案二需先交固定会费300元，再按商品原价的九折收费，即支出金额=商品价格×0.9+固定会费300，根据这两个等量关系即可列出对应的函数式。
(2) 要判断购买5880元的电视机哪种方案省钱，只需将x=5880分别代入两个方案的函数式，计算出对应的支出金额y，再比较两个y值的大小，y更小的方案更省钱。
【解析】
(1) 方案一：非会员所有商品享九五折优惠，无额外支出，因此$y = 0.95x$；
方案二：交纳300元会费后所有商品享九折优惠，因此$y = 0.9x + 300$。
(2) 当商品价格$x=5880$时：
方案一的支出：$y = 0.95x = 0.95×5880 = 5586$；
方案二的支出：$y = 0.9x + 300 = 0.9×5880 + 300 = 5592$。
因为$5586 ＜ 5592$，所以选择方案一更省钱。
【答案】
(1) 方案一：$y=0.95x$；方案二：$y=0.9x+300$
(2) 选择方案一更省钱
【知识点】
一次函数的应用，代数式求值，有理数大小比较
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，解题关键是准确梳理不同方案的费用构成，建立对应的数量关系，再通过计算比较得出最优结论，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+4$的图象与正比例函数$y=3x$的图象交于点$A(1,m)$。
(1)$m=$
(2)若点$B(3,n)$在直线$y=kx+4$上，连接$OB$，求$△ AOB$的面积。
(1)$m=$
3
，$k=$-1
。(2)若点$B(3,n)$在直线$y=kx+4$上，连接$OB$，求$△ AOB$的面积。
答案
解:(2)由(1),得$k=-1$,
所以直线AB对应的函数表达式为$y=-x+4$。
当$x=3$时,$y=-3+4=1=n$,则点B的坐标为$(3,1)$;
当$y=0$时,$x=4$,则直线AB与x轴的交点坐标为$C(4,0)$,如图所示
。所以$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×4×1=4$。
解析
【分析】
(1) 先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点A(1,m)代入y=3x即可求出m的值；再将求得的A点坐标代入一次函数y=kx+4，就能解出k的值。
(2) 求△AOB的面积时，由于△AOB没有边在坐标轴上，直接计算底和高较麻烦，因此采用割补法：先找到一次函数y=kx+4与x轴的交点C，将△AOB的面积转化为△AOC与△BOC的面积差，两个三角形均以OC为底，高分别为点A、点B的纵坐标，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点A(1,m)在正比例函数y=3x的图象上，
∴将x=1代入y=3x，得m=3×1=3，即A(1,3)。
将A(1,3)代入y=kx+4，得3 = k + 4，解得k = -1。
(2) 由(1)可知k=-1，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+4。
① 求点B坐标：将B(3,n)代入y=-x+4，得n = -3 + 4 = 1，即B(3,1)。
② 求直线AB与x轴交点：令y=0，得0 = -x + 4，解得x=4，即交点C(4,0)，OC=4。
③ 计算面积：
$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_A|=\frac{1}{2}×4×3=6$
$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_B|=\frac{1}{2}×4×1=2$
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=6-2=4$
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{-1}$
(2) 由(1),得$k=-1$,
所以直线AB对应的函数表达式为$y=-x+4$。
当$x=3$时,$y=-3+4=1=n$,则点B的坐标为$(3,1)$;
当$y=0$时,$x=4$,则直线AB与x轴的交点坐标为$C(4,0)$,如图所示。
所以$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×4×1=4$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象上点的特征，割补法求面积
【点评】
本题围绕一次函数的基础知识点展开，第一问难度较低，熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系即可快速求解；第二问考察平面直角坐标系中不规则图形的面积计算，割补法是此类问题的常用解题技巧，掌握该方法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点A(1,m)代入y=3x即可求出m的值；再将求得的A点坐标代入一次函数y=kx+4，就能解出k的值。
(2) 求△AOB的面积时，由于△AOB没有边在坐标轴上，直接计算底和高较麻烦，因此采用割补法：先找到一次函数y=kx+4与x轴的交点C，将△AOB的面积转化为△AOC与△BOC的面积差，两个三角形均以OC为底，高分别为点A、点B的纵坐标，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点A(1,m)在正比例函数y=3x的图象上，
∴将x=1代入y=3x，得m=3×1=3，即A(1,3)。
将A(1,3)代入y=kx+4，得3 = k + 4，解得k = -1。
(2) 由(1)可知k=-1，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+4。
① 求点B坐标：将B(3,n)代入y=-x+4，得n = -3 + 4 = 1，即B(3,1)。
② 求直线AB与x轴交点：令y=0，得0 = -x + 4，解得x=4，即交点C(4,0)，OC=4。
③ 计算面积：
$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_A|=\frac{1}{2}×4×3=6$
$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_B|=\frac{1}{2}×4×1=2$
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=6-2=4$
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{-1}$
(2) 由(1),得$k=-1$,
所以直线AB对应的函数表达式为$y=-x+4$。
当$x=3$时,$y=-3+4=1=n$,则点B的坐标为$(3,1)$;
当$y=0$时,$x=4$,则直线AB与x轴的交点坐标为$C(4,0)$,如图所示
。所以$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×4×1=4$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象上点的特征，割补法求面积
【点评】
本题围绕一次函数的基础知识点展开，第一问难度较低，熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系即可快速求解；第二问考察平面直角坐标系中不规则图形的面积计算，割补法是此类问题的常用解题技巧，掌握该方法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 如图，已知直线 $ y_1 = x + 3 $ 与坐标轴相交于A，B两点，直线 $ y_2 = -\frac{1}{2}x - 3 $ 与坐标轴相交于C，D两点，两直线的交点为M。
(1)点M的坐标为
(2)若在x轴上存在一点T，使得 $ S_{△ ATM} = S_{△ ADM} $，求出此时点T的坐标。
(1)点M的坐标为
$(-4,-1)$
。(2)若在x轴上存在一点T，使得 $ S_{△ ATM} = S_{△ ADM} $，求出此时点T的坐标。
答案
解:(2)因为$y_1=x+3$,$y_2=-\frac{1}{2}x-3$,
当$x=0$时,$y_1=3$,
$y_2=-3$;当$y_1=0$时,
$x=-3$,所以$A(0,3)$,
$B(-3,0)$,$D(0,-3)$,
所以$AD=6$。
设点$T(m,0)$,所以$BT=|m+3|$。
因为$S_{△ ADM}=\frac{1}{2}AD·|x_M|=\frac{1}{2}×6×4=12$,
所以$S_{△ ATM}=S_{△ ATB}+S_{△ BTM}=\frac{1}{2}×|m+3|×4=2|m+3|=12$,
所以$|m+3|=6$,所以$m=-9$或$m=3$,
所以点T的坐标为$(-9,0)$或$(3,0)$,如图所示
。解析
【分析】
(1) 两直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此只需联立两个一次函数的解析式，解二元一次方程组即可得到M点的坐标。
(2) 首先先求出A、B、D三个点的坐标，先计算出△ADM的面积；再设x轴上点T的坐标为(m,0)，利用割补法将△ATM的面积拆分为两个同底三角形的面积和，用含m的式子表示出△ATM的面积，令其等于△ADM的面积，解绝对值方程即可得到m的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 联立直线$y_1 = x + 3$和$y_2 = -\frac{1}{2}x - 3$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y = x + 3 \\y = -\frac{1}{2}x - 3\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程得：$x + 3 = -\frac{1}{2}x - 3$，
移项合并同类项得：$\frac{3}{2}x = -6$，解得$x = -4$，
把$x=-4$代入$y = x + 3$，得$y = -4 + 3 = -1$，
因此点M的坐标为$(-4,-1)$。
(2) 先求A、B、D三点的坐标：
对于$y_1 = x + 3$，当$x=0$时，$y=3$，故$A(0,3)$；当$y=0$时，$x=-3$，故$B(-3,0)$。
对于$y_2 = -\frac{1}{2}x - 3$，当$x=0$时，$y=-3$，故$D(0,-3)$。
可得$AD = |3 - (-3)| = 6$，点M到y轴的距离为$|x_M| = |-4| = 4$，
因此$S_{△ ADM} = \frac{1}{2} × AD × |x_M| = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
设点T的坐标为$(m,0)$，则$BT = |m - (-3)| = |m + 3|$。
观察图形可得$S_{△ ATM} = S_{△ ATB} + S_{△ BTM}$，△ATB以BT为底，高为A到x轴的距离3；△BTM以BT为底，高为M到x轴的距离1，因此：
$S_{△ ATM} = \frac{1}{2} × BT × 3 + \frac{1}{2} × BT × 1 = \frac{1}{2} × |m+3| × 4 = 2|m + 3|$
令$S_{△ ATM} = S_{△ ADM} = 12$，即$2|m + 3| = 12$，
化简得$|m + 3| = 6$，解得$m + 3 = 6$或$m + 3 = -6$，即$m = 3$或$m = -9$。
因此点T的坐标为$(3,0)$或$(-9,0)$，如图所示。
【答案】
(1) $\boxed{(-4,-1)}$
(2) 点T的坐标为$\boxed{(3,0)}$或$\boxed{(-9,0)}$，如图所示
【知识点】
一次函数交点问题，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题关键是掌握联立解析式求交点的方法，灵活使用割补法计算不规则三角形的面积，求解绝对值方程时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 两直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此只需联立两个一次函数的解析式，解二元一次方程组即可得到M点的坐标。
(2) 首先先求出A、B、D三个点的坐标，先计算出△ADM的面积；再设x轴上点T的坐标为(m,0)，利用割补法将△ATM的面积拆分为两个同底三角形的面积和，用含m的式子表示出△ATM的面积，令其等于△ADM的面积，解绝对值方程即可得到m的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 联立直线$y_1 = x + 3$和$y_2 = -\frac{1}{2}x - 3$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y = x + 3 \\y = -\frac{1}{2}x - 3\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程得：$x + 3 = -\frac{1}{2}x - 3$，
移项合并同类项得：$\frac{3}{2}x = -6$，解得$x = -4$，
把$x=-4$代入$y = x + 3$，得$y = -4 + 3 = -1$，
因此点M的坐标为$(-4,-1)$。
(2) 先求A、B、D三点的坐标：
对于$y_1 = x + 3$，当$x=0$时，$y=3$，故$A(0,3)$；当$y=0$时，$x=-3$，故$B(-3,0)$。
对于$y_2 = -\frac{1}{2}x - 3$，当$x=0$时，$y=-3$，故$D(0,-3)$。
可得$AD = |3 - (-3)| = 6$，点M到y轴的距离为$|x_M| = |-4| = 4$，
因此$S_{△ ADM} = \frac{1}{2} × AD × |x_M| = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
设点T的坐标为$(m,0)$，则$BT = |m - (-3)| = |m + 3|$。
观察图形可得$S_{△ ATM} = S_{△ ATB} + S_{△ BTM}$，△ATB以BT为底，高为A到x轴的距离3；△BTM以BT为底，高为M到x轴的距离1，因此：
$S_{△ ATM} = \frac{1}{2} × BT × 3 + \frac{1}{2} × BT × 1 = \frac{1}{2} × |m+3| × 4 = 2|m + 3|$
令$S_{△ ATM} = S_{△ ADM} = 12$，即$2|m + 3| = 12$，
化简得$|m + 3| = 6$，解得$m + 3 = 6$或$m + 3 = -6$，即$m = 3$或$m = -9$。
因此点T的坐标为$(3,0)$或$(-9,0)$，如图所示
。【答案】
(1) $\boxed{(-4,-1)}$
(2) 点T的坐标为$\boxed{(3,0)}$或$\boxed{(-9,0)}$，如图所示
【知识点】
一次函数交点问题，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题关键是掌握联立解析式求交点的方法，灵活使用割补法计算不规则三角形的面积，求解绝对值方程时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
