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1. 下列推理过程能够用于验证“等式的两边乘同一个负数，所得结果仍相等”的是 ()
A.已知$-2×4=-8$，因为$-2×4×3=-24$，$-8×3=-24$，所以$-2×4×3=-8×3$
B.已知$-2×(-4)=8$，因为$-2×(-4)×3=24$，$8×3=24$，所以$-2×(-4)×3=8×3$
C.已知$2×4=8$，因为$2×4×3=24$，$8×3=24$，所以$2×4×3=8×3$
D.已知$2×4=8$，因为$2×4×(-3)=-24$，$8×(-3)=-24$，所以$2×4×(-3)=8×(-3)$
A.已知$-2×4=-8$，因为$-2×4×3=-24$，$-8×3=-24$，所以$-2×4×3=-8×3$
B.已知$-2×(-4)=8$，因为$-2×(-4)×3=24$，$8×3=24$，所以$-2×(-4)×3=8×3$
C.已知$2×4=8$，因为$2×4×3=24$，$8×3=24$，所以$2×4×3=8×3$
D.已知$2×4=8$，因为$2×4×(-3)=-24$，$8×(-3)=-24$，所以$2×4×(-3)=8×(-3)$
答案
D
解析
【分析】
要验证“等式的两边乘同一个负数，所得结果仍相等”，需同时满足三个核心条件：①存在初始的相等等式；②等式两边同时乘的是同一个负数；③运算后两边的结果仍然相等。解题时逐一核对每个选项是否符合这三个条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确验证目标的核心限定：等式两边乘的数必须是负数。
选项A：两边同时乘的数是3，属于正数，不符合“乘同一个负数”的要求，排除；
选项B：两边同时乘的数是3，属于正数，不符合要求，排除；
选项C：两边同时乘的数是3，属于正数，验证的是等式两边乘正数的情况，不符合题意，排除；
选项D：初始等式为$2×4=8$，两边同时乘的是负数$-3$，计算得左边$2×4×(-3)=-24$，右边$8×(-3)=-24$，左右两边结果相等，完全符合验证要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考查对等式性质的理解和审题能力，解题时抓住题干中“乘同一个负数”的关键限定，排除验证乘正数的干扰选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要验证“等式的两边乘同一个负数，所得结果仍相等”，需同时满足三个核心条件：①存在初始的相等等式；②等式两边同时乘的是同一个负数；③运算后两边的结果仍然相等。解题时逐一核对每个选项是否符合这三个条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确验证目标的核心限定：等式两边乘的数必须是负数。
选项A：两边同时乘的数是3，属于正数，不符合“乘同一个负数”的要求，排除；
选项B：两边同时乘的数是3，属于正数，不符合要求，排除；
选项C：两边同时乘的数是3，属于正数，验证的是等式两边乘正数的情况，不符合题意，排除；
选项D：初始等式为$2×4=8$，两边同时乘的是负数$-3$，计算得左边$2×4×(-3)=-24$，右边$8×(-3)=-24$，左右两边结果相等，完全符合验证要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考查对等式性质的理解和审题能力，解题时抓住题干中“乘同一个负数”的关键限定，排除验证乘正数的干扰选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 等式就像平衡的天平,能与下图的事实具有相同性质的是 ()
A.如果 $a=b$,那么 $ac=bc$
B.如果 $a=b$,那么 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c≠0)$
C.如果 $a=b$,那么 $a+c=b+c$
D.如果 $a=b$,那么 $a^2=b^2$
A.如果 $a=b$,那么 $ac=bc$
B.如果 $a=b$,那么 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c≠0)$
C.如果 $a=b$,那么 $a+c=b+c$
D.如果 $a=b$,那么 $a^2=b^2$
答案
C
解析
【分析】
首先观察天平的变化过程：初始天平两边各放1个相同的大砝码，天平平衡，对应等式两边的量相等，即$a=b$；之后天平两边同时添加1个相同的小砝码，天平依然保持平衡，说明等式两边同时加上同一个量时，等式仍然成立。接下来将这个规律对应四个选项中的等式性质，筛选出符合的选项即可。
【解析】
第一步：解读天平图示的含义：
初始状态下，天平左右两边的大砝码质量相等，对应等式$a = b$；
后续在天平左右两边同时加入1个相同的小砝码，天平仍平衡，说明等式两边同时加上同一个量，等式仍然成立。
第二步：逐一分析选项：
A选项描述的是等式两边同时乘同一个数，与图示的“加同一个量”不符，排除；
B选项描述的是等式两边同时除以同一个不为0的数，与图示变化不符，排除；
C选项描述的是等式两边同时加同一个数$c$，等式仍然成立，与图示体现的性质一致，符合要求；
D选项描述的是等式两边同时平方，与图示变化不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题通过天平平衡的直观场景考查等式的基本性质，解题的核心是准确提炼天平的变化规律，对应等式的变形规则，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
首先观察天平的变化过程：初始天平两边各放1个相同的大砝码，天平平衡，对应等式两边的量相等，即$a=b$；之后天平两边同时添加1个相同的小砝码，天平依然保持平衡，说明等式两边同时加上同一个量时，等式仍然成立。接下来将这个规律对应四个选项中的等式性质，筛选出符合的选项即可。
【解析】
第一步：解读天平图示的含义：
初始状态下，天平左右两边的大砝码质量相等，对应等式$a = b$；
后续在天平左右两边同时加入1个相同的小砝码，天平仍平衡，说明等式两边同时加上同一个量，等式仍然成立。
第二步：逐一分析选项：
A选项描述的是等式两边同时乘同一个数，与图示的“加同一个量”不符，排除；
B选项描述的是等式两边同时除以同一个不为0的数，与图示变化不符，排除；
C选项描述的是等式两边同时加同一个数$c$，等式仍然成立，与图示体现的性质一致，符合要求；
D选项描述的是等式两边同时平方，与图示变化不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题通过天平平衡的直观场景考查等式的基本性质，解题的核心是准确提炼天平的变化规律，对应等式的变形规则，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
3. 下列是根据等式的基本性质进行的变形,正确的是 ()
A.若$ax=ay$,则$x=y$
B.若$a-x=b+x$,则$a=b$
C.若$x=y$,则$x-5=y+5$
D.若$a(x^2+1)=b(x^2+1)$,则$a=b$
A.若$ax=ay$,则$x=y$
B.若$a-x=b+x$,则$a=b$
C.若$x=y$,则$x-5=y+5$
D.若$a(x^2+1)=b(x^2+1)$,则$a=b$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时需紧扣等式的两条基本性质逐一判断选项，尤其要注意“等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立”这一限制条件，避免忽略除数不能为0的易错点。思考步骤：首先回忆等式基本性质的内容，再逐个分析每个选项的变形是否符合性质要求，对于含字母系数的变形要先确认除数是否不为0。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：若$ax=ay$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。当$a=0$时，无论$x、y$取何值，$ax=ay$都成立，此时不能推出$x=y$，故A错误。
2. 选项B：若$a-x=b+x$，根据等式性质1，两边同时加$x$得$a = b + 2x$，只有当$x=0$时才有$a=b$，并不是对任意$x$都成立，故B错误。
3. 选项C：若$x=y$，根据等式性质1，等式两边应同时加或减同一个数，变形后才相等。一边减5、另一边加5，不符合等式性质，故C错误。
4. 选项D：由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1$，即$x^2+1$恒不为0。根据等式性质2，等式$a(x^2+1)=b(x^2+1)$两边同时除以$x^2+1$，可得$a=b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质的常规基础题，核心易错点为忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，解题时遇到含字母的除数，要先判断其是否可能为0，同时注意等式变形时两边必须进行完全相同的运算。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题时需紧扣等式的两条基本性质逐一判断选项，尤其要注意“等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立”这一限制条件，避免忽略除数不能为0的易错点。思考步骤：首先回忆等式基本性质的内容，再逐个分析每个选项的变形是否符合性质要求，对于含字母系数的变形要先确认除数是否不为0。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：若$ax=ay$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。当$a=0$时，无论$x、y$取何值，$ax=ay$都成立，此时不能推出$x=y$，故A错误。
2. 选项B：若$a-x=b+x$，根据等式性质1，两边同时加$x$得$a = b + 2x$，只有当$x=0$时才有$a=b$，并不是对任意$x$都成立，故B错误。
3. 选项C：若$x=y$，根据等式性质1，等式两边应同时加或减同一个数，变形后才相等。一边减5、另一边加5，不符合等式性质，故C错误。
4. 选项D：由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1$，即$x^2+1$恒不为0。根据等式性质2，等式$a(x^2+1)=b(x^2+1)$两边同时除以$x^2+1$，可得$a=b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质的常规基础题，核心易错点为忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，解题时遇到含字母的除数，要先判断其是否可能为0，同时注意等式变形时两边必须进行完全相同的运算。
【难度系数】
0.8
