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4. 在物理学中,导体中的电流$I$跟导体两端的电压$U$、导体的电阻$R$之间有以下关系:$I=\frac{U}{R}$,去分母得$IR=U$,那么其变形的依据是 ()
A.等式两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
B.等式两边都乘同一个数,所得结果仍是等式
C.分数的基本性质
D.乘法对加法的分配律
A.等式两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
B.等式两边都乘同一个数,所得结果仍是等式
C.分数的基本性质
D.乘法对加法的分配律
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察等式的变形过程：原等式为$I=\frac{U}{R}$，变形后得到$IR=U$，可知是给原等式左右两边同时乘以$R$消去分母。接下来回忆等式的相关性质，匹配对应的变形依据，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
原等式为$I=\frac{U}{R}$，对等式左右两边同时乘以$R$（导体电阻$R$不为0，符合等式性质的要求），即可得到$IR=U$。
该变形操作符合等式的性质：等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式，对应选项B。
对其他选项排除如下：
A选项是等式加减的性质，本次变形未涉及加减操作，不符合；
C选项分数的基本性质是对分数本身的分子、分母同乘除同一个不为0的数，分数值不变，本次是对等式两边乘同一个数，不属于分数基本性质的应用，不符合；
D选项乘法对加法的分配律是$a(b+c)=ab+ac$，本次变形未涉及，不符合。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；等式变形依据
【点评】
本题考查等式性质在实际变形中的应用，解题的关键是先明确变形的具体操作，再对应匹配相关性质，要注意区分等式性质和分数基本性质的适用场景，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式的变形过程：原等式为$I=\frac{U}{R}$，变形后得到$IR=U$，可知是给原等式左右两边同时乘以$R$消去分母。接下来回忆等式的相关性质，匹配对应的变形依据，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
原等式为$I=\frac{U}{R}$，对等式左右两边同时乘以$R$（导体电阻$R$不为0，符合等式性质的要求），即可得到$IR=U$。
该变形操作符合等式的性质：等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式，对应选项B。
对其他选项排除如下：
A选项是等式加减的性质，本次变形未涉及加减操作，不符合；
C选项分数的基本性质是对分数本身的分子、分母同乘除同一个不为0的数，分数值不变，本次是对等式两边乘同一个数，不属于分数基本性质的应用，不符合；
D选项乘法对加法的分配律是$a(b+c)=ab+ac$，本次变形未涉及，不符合。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；等式变形依据
【点评】
本题考查等式性质在实际变形中的应用，解题的关键是先明确变形的具体操作，再对应匹配相关性质，要注意区分等式性质和分数基本性质的适用场景，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
5. 如果$3x^{5a-4}+5=0$是关于x的一元一次方程，那么a的值为，此方程的解是。
答案
解：
∵ $3x^{5a-4}+5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 未知数$x$的次数为1，即
$5a - 4 = 1$
移项，得：$5a = 1 + 4$
合并同类项，得：$5a = 5$
系数化为1，得：$a = 1$
将$a=1$代入原方程，得：
$3x + 5 = 0$
移项，得：$3x = -5$
系数化为1，得：$x = -\frac{5}{3}$
综上，$a$的值为$\boldsymbol{1}$，此方程的解是$\boldsymbol{x=-\frac{5}{3}}$。
∵ $3x^{5a-4}+5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 未知数$x$的次数为1，即
$5a - 4 = 1$
移项，得：$5a = 1 + 4$
合并同类项，得：$5a = 5$
系数化为1，得：$a = 1$
将$a=1$代入原方程，得：
$3x + 5 = 0$
移项，得：$3x = -5$
系数化为1，得：$x = -\frac{5}{3}$
综上，$a$的值为$\boldsymbol{1}$，此方程的解是$\boldsymbol{x=-\frac{5}{3}}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程。解题时第一步先根据定义，让x的指数等于1，列出关于a的方程求出a的值；再把a的值代回原方程，按照移项、系数化为1的步骤解一元一次方程，就能得到方程的解。
【解析】
∵ $3x^{5a-4}+5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 未知数$x$的次数为1，即：
$5a - 4 = 1$
移项，得：$5a = 1 + 4$
合并同类项，得：$5a = 5$
系数化为1，得：$a = 1$
将$a=1$代入原方程，得：
$3x + 5 = 0$
移项，得：$3x = -5$
系数化为1，得：$x = -\frac{5}{3}$
【答案】
$1$；$x=-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元一次方程定义的理解，只要掌握一元一次方程中未知数次数为1的特点，结合解一元一次方程的基本步骤就可以顺利解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程。解题时第一步先根据定义，让x的指数等于1，列出关于a的方程求出a的值；再把a的值代回原方程，按照移项、系数化为1的步骤解一元一次方程，就能得到方程的解。
【解析】
∵ $3x^{5a-4}+5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 未知数$x$的次数为1，即：
$5a - 4 = 1$
移项，得：$5a = 1 + 4$
合并同类项，得：$5a = 5$
系数化为1，得：$a = 1$
将$a=1$代入原方程，得：
$3x + 5 = 0$
移项，得：$3x = -5$
系数化为1，得：$x = -\frac{5}{3}$
【答案】
$1$；$x=-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元一次方程定义的理解，只要掌握一元一次方程中未知数次数为1的特点，结合解一元一次方程的基本步骤就可以顺利解题。
【难度系数】
0.85
6. 利用等式的基本性质解下列方程：
(1)$2x - 5 = 3x + 2$；
(2)$\frac{1}{3}x + 5 = \frac{1}{4}x + 6$。
(1)$2x - 5 = 3x + 2$；
(2)$\frac{1}{3}x + 5 = \frac{1}{4}x + 6$。
答案
解：
(1) 等式两边同时减去$2x$，根据等式的基本性质1，得
$2x -5 -2x = 3x +2 -2x$
化简，得
$-5 = x + 2$
等式两边同时减去$2$，根据等式的基本性质1，得
$-5 -2 = x + 2 - 2$
化简，得
$x = -7$
(2) 等式两边同时减去$\frac{1}{4}x$，再减去$5$，根据等式的基本性质1，得
$\frac{1}{3}x +5 - \frac{1}{4}x -5 = \frac{1}{4}x +6 - \frac{1}{4}x -5$
化简，得
$\frac{1}{12}x = 1$
等式两边同时乘12，根据等式的基本性质2，得
$x = 12$
(1) 等式两边同时减去$2x$，根据等式的基本性质1，得
$2x -5 -2x = 3x +2 -2x$
化简，得
$-5 = x + 2$
等式两边同时减去$2$，根据等式的基本性质1，得
$-5 -2 = x + 2 - 2$
化简，得
$x = -7$
(2) 等式两边同时减去$\frac{1}{4}x$，再减去$5$，根据等式的基本性质1，得
$\frac{1}{3}x +5 - \frac{1}{4}x -5 = \frac{1}{4}x +6 - \frac{1}{4}x -5$
化简，得
$\frac{1}{12}x = 1$
等式两边同时乘12，根据等式的基本性质2，得
$x = 12$
解析
【分析】
解这类一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，逐步将方程化简为$x=a$的形式。解题思路为：首先根据等式的基本性质1，将含未知数$x$的项移到等式的一侧，常数项移到等式的另一侧，合并同类项后，再根据等式的基本性质2，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解，每一步变形都要符合等式性质的要求，保证变形前后等式仍然成立。
【解析】
(1) 等式两边同时减去$2x$，根据等式的基本性质1，得
$2x -5 -2x = 3x +2 -2x$
化简，得
$-5 = x + 2$
等式两边同时减去$2$，根据等式的基本性质1，得
$-5 -2 = x + 2 - 2$
化简，得
$x = -7$
(2) 等式两边同时减去$\frac{1}{4}x$，再减去$5$，根据等式的基本性质1，得
$\frac{1}{3}x +5 - \frac{1}{4}x -5 = \frac{1}{4}x +6 - \frac{1}{4}x -5$
化简，得
$\frac{1}{12}x = 1$
等式两边同时乘12，根据等式的基本性质2，得
$x = 12$
【答案】
(1)$x=-7$；(2)$x=12$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用等式性质解一元一次方程的基础题型，解题过程中要注意每一步变形的依据，移项时记得改变符号，计算分数系数时不要出错，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解这类一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，逐步将方程化简为$x=a$的形式。解题思路为：首先根据等式的基本性质1，将含未知数$x$的项移到等式的一侧，常数项移到等式的另一侧，合并同类项后，再根据等式的基本性质2，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解，每一步变形都要符合等式性质的要求，保证变形前后等式仍然成立。
【解析】
(1) 等式两边同时减去$2x$，根据等式的基本性质1，得
$2x -5 -2x = 3x +2 -2x$
化简，得
$-5 = x + 2$
等式两边同时减去$2$，根据等式的基本性质1，得
$-5 -2 = x + 2 - 2$
化简，得
$x = -7$
(2) 等式两边同时减去$\frac{1}{4}x$，再减去$5$，根据等式的基本性质1，得
$\frac{1}{3}x +5 - \frac{1}{4}x -5 = \frac{1}{4}x +6 - \frac{1}{4}x -5$
化简，得
$\frac{1}{12}x = 1$
等式两边同时乘12，根据等式的基本性质2，得
$x = 12$
【答案】
(1)$x=-7$；(2)$x=12$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用等式性质解一元一次方程的基础题型，解题过程中要注意每一步变形的依据，移项时记得改变符号，计算分数系数时不要出错，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 写出一个方程,使其满足下列条件:
(1)它是关于x的一元一次方程;
(2)该方程的解为x=3;
(3)在求解过程中,至少运用一次等式基本性质进行变形。
则该方程可以是(写出一个满足条件的方程即可)。
(1)它是关于x的一元一次方程;
(2)该方程的解为x=3;
(3)在求解过程中,至少运用一次等式基本性质进行变形。
则该方程可以是(写出一个满足条件的方程即可)。
答案
解：$2x + 3 = 9$（答案不唯一）
解析
【分析】
要构造满足条件的方程，需先明确三个要求：①是关于x的一元一次方程，即只含一个未知数x，未知数次数为1，且为整式方程；②x=3是方程的解，即代入x=3时方程左右两边相等；③求解时至少用到一次等式基本性质，因此不能直接写x=3的形式。我们可以用逆向推导的方法构造：从x=3出发，运用等式基本性质对等式进行变形，就能得到符合要求的方程。
【解析】
我们可以按以下步骤构造：
1. 先写出方程的解：$x = 3$
2. 根据等式的基本性质2，给等式两边同时乘2，得：$2x = 6$
3. 根据等式的基本性质1，给等式两边同时加3，得：$2x + 3 = 9$
验证：该方程只含未知数x，x的次数为1，是一元一次方程；把$x=3$代入左边，$2×3+3=9$，和右边相等，解为$x=3$；求解时先两边减3得$2x=6$（用到等式性质1），再两边除以2得$x=3$，满足至少运用一次等式基本性质的要求。
（注：构造方法不唯一，只要符合三个条件即可）
【答案】
$2x + 3 = 9$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程的定义、等式的基本性质、方程的解的概念
【点评】
本题是开放性题目，主要考查对一元一次方程相关基础概念和等式性质的理解与运用，采用从解出发逆向变形的方法可以快速构造出符合要求的方程，合理即可。
【难度系数】
0.9
要构造满足条件的方程，需先明确三个要求：①是关于x的一元一次方程，即只含一个未知数x，未知数次数为1，且为整式方程；②x=3是方程的解，即代入x=3时方程左右两边相等；③求解时至少用到一次等式基本性质，因此不能直接写x=3的形式。我们可以用逆向推导的方法构造：从x=3出发，运用等式基本性质对等式进行变形，就能得到符合要求的方程。
【解析】
我们可以按以下步骤构造：
1. 先写出方程的解：$x = 3$
2. 根据等式的基本性质2，给等式两边同时乘2，得：$2x = 6$
3. 根据等式的基本性质1，给等式两边同时加3，得：$2x + 3 = 9$
验证：该方程只含未知数x，x的次数为1，是一元一次方程；把$x=3$代入左边，$2×3+3=9$，和右边相等，解为$x=3$；求解时先两边减3得$2x=6$（用到等式性质1），再两边除以2得$x=3$，满足至少运用一次等式基本性质的要求。
（注：构造方法不唯一，只要符合三个条件即可）
【答案】
$2x + 3 = 9$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程的定义、等式的基本性质、方程的解的概念
【点评】
本题是开放性题目，主要考查对一元一次方程相关基础概念和等式性质的理解与运用，采用从解出发逆向变形的方法可以快速构造出符合要求的方程，合理即可。
【难度系数】
0.9
8. 小虎在解关于x的方程$2a - 5x = 21$时，若将“$-5x$”看成“$+5x$”，可得出方程的解为$x=3$，则原方程的解为。
答案
解：
小虎看错符号后得到的方程为$2a + 5x = 21$，
将$x=3$代入该方程，得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a + 15 = 21$
移项，得$2a = 21 - 15$
合并同类项，得$2a = 6$
系数化为1，得$a = 3$
把$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$，得：
$2×3 - 5x = 21$
$6 - 5x = 21$
移项，得$-5x = 21 - 6$
合并同类项，得$-5x = 15$
系数化为1，得$x = -3$
原方程的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
小虎看错符号后得到的方程为$2a + 5x = 21$，
将$x=3$代入该方程，得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a + 15 = 21$
移项，得$2a = 21 - 15$
合并同类项，得$2a = 6$
系数化为1，得$a = 3$
把$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$，得：
$2×3 - 5x = 21$
$6 - 5x = 21$
移项，得$-5x = 21 - 6$
合并同类项，得$-5x = 15$
系数化为1，得$x = -3$
原方程的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
解析
【分析】
这是一道错解类的一元一次方程问题，解题思路分为两步：第一步，小虎看错符号后解出的$x=3$是满足他看错后得到的方程的，因此可以先把$x=3$代入看错后的方程，求出参数$a$的值（$a$是原题中的固定常数，不会因为看错符号发生变化）；第二步，将求出的$a$代入原正确方程，按照解一元一次方程的标准步骤计算，就能得到原方程的解。
【解析】
小虎看错符号后得到的方程为$2a + 5x = 21$，
将$x=3$代入该方程，得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a + 15 = 21$
移项，得$2a = 21 - 15$
合并同类项，得$2a = 6$
系数化为1，得$a = 3$
把$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$，得：
$2×3 - 5x = 21$
$6 - 5x = 21$
移项，得$-5x = 21 - 6$
合并同类项，得$-5x = 15$
系数化为1，得$x = -3$
【答案】
$\boldsymbol{x=-3}$
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解应用类题型，解题核心是抓住“错解对应看错后的方程、参数不受看错符号影响”的特点，既考查对一元一次方程解的概念的理解，也考查解一元一次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
这是一道错解类的一元一次方程问题，解题思路分为两步：第一步，小虎看错符号后解出的$x=3$是满足他看错后得到的方程的，因此可以先把$x=3$代入看错后的方程，求出参数$a$的值（$a$是原题中的固定常数，不会因为看错符号发生变化）；第二步，将求出的$a$代入原正确方程，按照解一元一次方程的标准步骤计算，就能得到原方程的解。
【解析】
小虎看错符号后得到的方程为$2a + 5x = 21$，
将$x=3$代入该方程，得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a + 15 = 21$
移项，得$2a = 21 - 15$
合并同类项，得$2a = 6$
系数化为1，得$a = 3$
把$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$，得：
$2×3 - 5x = 21$
$6 - 5x = 21$
移项，得$-5x = 21 - 6$
合并同类项，得$-5x = 15$
系数化为1，得$x = -3$
【答案】
$\boldsymbol{x=-3}$
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解应用类题型，解题核心是抓住“错解对应看错后的方程、参数不受看错符号影响”的特点，既考查对一元一次方程解的概念的理解，也考查解一元一次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
