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5.【例3】(1)已知扇形所在圆的半径为6,所对的弧长为4π,则扇形的面积为
(2)半径为3的扇形面积为3π,则该扇形所对的弧长为
$12π$
；(2)半径为3的扇形面积为3π,则该扇形所对的弧长为
$2π$
.答案
5. (1) 12π
(2) 2π
(2) 2π
解析
【分析】
这两道题均考查扇形面积与弧长、半径的关系，解题时优先选用匹配已知条件的公式可简化计算：
(1) 已知扇形的半径和弧长，直接选用由弧长和半径表示的扇形面积公式代入计算，无需额外求解圆心角；
(2) 已知扇形面积和半径，将扇形面积公式变形后代入数值即可求出弧长。
【解析】
(1) 已知扇形所在圆的半径$ R=6 $，对应弧长$ l=4π $，根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{1}{2}lR $，代入数值计算：
$ S=\frac{1}{2} × 4π × 6 = 12π $
(2) 已知扇形半径$ R=3 $，面积$ S=3π $，将扇形面积公式变形得弧长计算公式$ l=\frac{2S}{R} $，代入数值计算：
$ l=\frac{2 × 3π}{3} = 2π $
【答案】
(1) $ 12π $；(2) $ 2π $
【知识点】
扇形面积计算、公式变形应用
【点评】
本题属于弧长与扇形面积的基础应用题，核心考查扇形面积公式的掌握和灵活运用能力，选择适配已知条件的公式可大幅简化计算步骤，是该模块的基础常考题型，需熟练掌握公式及变形。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查扇形面积与弧长、半径的关系，解题时优先选用匹配已知条件的公式可简化计算：
(1) 已知扇形的半径和弧长，直接选用由弧长和半径表示的扇形面积公式代入计算，无需额外求解圆心角；
(2) 已知扇形面积和半径，将扇形面积公式变形后代入数值即可求出弧长。
【解析】
(1) 已知扇形所在圆的半径$ R=6 $，对应弧长$ l=4π $，根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{1}{2}lR $，代入数值计算：
$ S=\frac{1}{2} × 4π × 6 = 12π $
(2) 已知扇形半径$ R=3 $，面积$ S=3π $，将扇形面积公式变形得弧长计算公式$ l=\frac{2S}{R} $，代入数值计算：
$ l=\frac{2 × 3π}{3} = 2π $
【答案】
(1) $ 12π $；(2) $ 2π $
【知识点】
扇形面积计算、公式变形应用
【点评】
本题属于弧长与扇形面积的基础应用题，核心考查扇形面积公式的掌握和灵活运用能力，选择适配已知条件的公式可大幅简化计算步骤，是该模块的基础常考题型，需熟练掌握公式及变形。
【难度系数】
0.8
6. (1)若弧长为$4π$ cm的扇形的面积为$8π$ cm²，则该扇形的半径为
(2)已知圆心角为$120°$的扇形的面积为$12π$，则扇形的弧长为
$4$
cm；(2)已知圆心角为$120°$的扇形的面积为$12π$，则扇形的弧长为
$4π$
。答案
6. (1) 4
(2) 4π
(2) 4π
解析
【分析】
本题考查弧长与扇形面积公式的应用，解题思路如下：
(1) 已知扇形的弧长和面积，直接选用扇形面积和弧长、半径的关联公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入已知量即可直接求解半径，无需额外计算圆心角，简化计算过程。
(2) 已知扇形的圆心角和面积，先通过含圆心角的扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$求出半径$r$，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$计算弧长即可。
【解析】
(1) 设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，弧长$l=4π\ \mathrm{cm}$，面积$S=8π\ \mathrm{cm}^2$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入数值得：
$8π=\frac{1}{2}×4π× r$
化简得：$8π=2π r$
两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
(2) 设该扇形的半径为$r$，圆心角$n=120°$，面积$S=12π$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值得：
$12π=\frac{120π r^2}{360}$
化简得：$12π=\frac{1}{3}π r^2$
两边同时除以$π$，得$12=\frac{1}{3}r^2$，解得$r^2=36$，因为半径为正数，所以$r=6$。
再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
【答案】
(1) 4；(2) $4π$
【知识点】
弧长计算公式，扇形面积计算公式
【点评】
本题是弧长和扇形面积的基础应用题，解题核心是熟记相关公式，能根据题目给出的已知条件灵活选择合适的公式简化运算，计算时注意半径取正数即可。
【难度系数】
0.85
本题考查弧长与扇形面积公式的应用，解题思路如下：
(1) 已知扇形的弧长和面积，直接选用扇形面积和弧长、半径的关联公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入已知量即可直接求解半径，无需额外计算圆心角，简化计算过程。
(2) 已知扇形的圆心角和面积，先通过含圆心角的扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$求出半径$r$，再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$计算弧长即可。
【解析】
(1) 设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，弧长$l=4π\ \mathrm{cm}$，面积$S=8π\ \mathrm{cm}^2$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入数值得：
$8π=\frac{1}{2}×4π× r$
化简得：$8π=2π r$
两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
(2) 设该扇形的半径为$r$，圆心角$n=120°$，面积$S=12π$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值得：
$12π=\frac{120π r^2}{360}$
化简得：$12π=\frac{1}{3}π r^2$
两边同时除以$π$，得$12=\frac{1}{3}r^2$，解得$r^2=36$，因为半径为正数，所以$r=6$。
再代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
【答案】
(1) 4；(2) $4π$
【知识点】
弧长计算公式，扇形面积计算公式
【点评】
本题是弧长和扇形面积的基础应用题，解题核心是熟记相关公式，能根据题目给出的已知条件灵活选择合适的公式简化运算，计算时注意半径取正数即可。
【难度系数】
0.85
1. (2025哈尔滨)一个扇形的弧长是$\frac{7}{6}π$ cm，半径是3 cm，则此扇形的圆心角是
70
度.答案
1. 70
解析
【分析】
本题要求扇形的圆心角，解题的关键是熟练掌握扇形弧长公式。我们已知扇形的弧长和半径，可直接利用弧长公式建立关于圆心角的等式，通过变形计算求出圆心角的度数，计算时可先约掉π简化运算。
【解析】
设该扇形的圆心角为$ n $度，根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ l $为弧长，$ R $为扇形半径），将$ l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm} $，$ R=3\ \mathrm{cm} $代入公式得：
$\frac{7}{6}π = \frac{nπ × 3}{180}$
两边同时约去$ π $，化简等式右侧得：
$\frac{7}{6} = \frac{n}{60}$
解得：$ n = \frac{7}{6} × 60 = 70 $
【答案】
70
【知识点】
1. 弧长公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对弧长公式的识记与应用，计算量小，只要熟练掌握弧长公式，代入数值准确计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题要求扇形的圆心角，解题的关键是熟练掌握扇形弧长公式。我们已知扇形的弧长和半径，可直接利用弧长公式建立关于圆心角的等式，通过变形计算求出圆心角的度数，计算时可先约掉π简化运算。
【解析】
设该扇形的圆心角为$ n $度，根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ l $为弧长，$ R $为扇形半径），将$ l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm} $，$ R=3\ \mathrm{cm} $代入公式得：
$\frac{7}{6}π = \frac{nπ × 3}{180}$
两边同时约去$ π $，化简等式右侧得：
$\frac{7}{6} = \frac{n}{60}$
解得：$ n = \frac{7}{6} × 60 = 70 $
【答案】
70
【知识点】
1. 弧长公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对弧长公式的识记与应用，计算量小，只要熟练掌握弧长公式，代入数值准确计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 一个扇形的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$,所对的弧长为$12\ \mathrm{cm}$,则该扇形的半径为（
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.无法确定
B
）A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆扇形面积的两种表达形式，题目已知扇形面积和对应弧长，无需计算圆心角，优先选用同时包含面积S、弧长l、半径r的扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，将公式变形后代入已知数值即可求出半径。
【解析】
设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知扇形面积$S=24\ \mathrm{cm}^2$，弧长$l=12\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入已知数值得：
$24=\frac{1}{2}×12× r$
化简得：$24=6r$
解得：$r=4$
因此该扇形半径为4cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 公式变形求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积公式的灵活运用，掌握用弧长和半径表示的扇形面积公式可大幅提高解题效率，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆扇形面积的两种表达形式，题目已知扇形面积和对应弧长，无需计算圆心角，优先选用同时包含面积S、弧长l、半径r的扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，将公式变形后代入已知数值即可求出半径。
【解析】
设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知扇形面积$S=24\ \mathrm{cm}^2$，弧长$l=12\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入已知数值得：
$24=\frac{1}{2}×12× r$
化简得：$24=6r$
解得：$r=4$
因此该扇形半径为4cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 公式变形求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积公式的灵活运用，掌握用弧长和半径表示的扇形面积公式可大幅提高解题效率，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
3. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ABC = 40°$,连接OA,OC.若$\odot O$的半径为3,则扇形AOC(阴影部分)的面积为 (
A.$\frac{2}{3}π$
B.$π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$2π$
第3题图 第4题图
D
)A.$\frac{2}{3}π$
B.$π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$2π$
第3题图 第4题图
答案
3. D
解析
【分析】
要求扇形AOC的面积，已知圆的半径，只需先求出扇形对应的圆心角∠AOC的度数即可。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，题中给出的∠ABC是弧AC对应的圆周角，∠AOC是弧AC对应的圆心角，因此可先通过圆周角求出圆心角，再代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求圆心角∠AOC的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。
已知∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC=40°，
因此$∠ AOC = 2∠ ABC = 2×40°=80°$。
2. 计算扇形AOC的面积：
已知⊙O半径$r=3$，扇形圆心角$n=80°$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，
可得$S_{扇形AOC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{720π}{360}=2π$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆周角定理和扇形面积公式的应用，解题的核心是正确推导圆心角的度数，熟练掌握相关定理和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要求扇形AOC的面积，已知圆的半径，只需先求出扇形对应的圆心角∠AOC的度数即可。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，题中给出的∠ABC是弧AC对应的圆周角，∠AOC是弧AC对应的圆心角，因此可先通过圆周角求出圆心角，再代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求圆心角∠AOC的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。
已知∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC=40°，
因此$∠ AOC = 2∠ ABC = 2×40°=80°$。
2. 计算扇形AOC的面积：
已知⊙O半径$r=3$，扇形圆心角$n=80°$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，
可得$S_{扇形AOC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{720π}{360}=2π$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆周角定理和扇形面积公式的应用，解题的核心是正确推导圆心角的度数，熟练掌握相关定理和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. (跨学科)如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了$150°$,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了
5π
cm.(结果保留$π$)答案
4. 5π
解析
【分析】
解题的核心是明确绳索与滑轮无滑动时，重物上升的距离等于定滑轮上对应旋转角度的弧长。首先回忆弧长计算公式，再将已知的滑轮半径、旋转角度代入公式计算即可得到结果。
【解析】
因为绳索与滑轮之间没有滑动，所以重物上升的距离等于定滑轮上圆心角为150°对应的弧长。
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径）。
已知滑轮半径$ r=6\mathrm{cm} $，旋转角度$ n=150° $，代入公式得：
$ l=\frac{150×π×6}{180}=5π(\mathrm{cm}) $
【答案】
$ 5π $
【知识点】
弧长计算；定滑轮的特点
【点评】
本题是跨学科融合题，结合物理简单机械的相关知识考查数学中弧长公式的应用，解题的关键是建立重物上升距离和滑轮转过弧长的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确绳索与滑轮无滑动时，重物上升的距离等于定滑轮上对应旋转角度的弧长。首先回忆弧长计算公式，再将已知的滑轮半径、旋转角度代入公式计算即可得到结果。
【解析】
因为绳索与滑轮之间没有滑动，所以重物上升的距离等于定滑轮上圆心角为150°对应的弧长。
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径）。
已知滑轮半径$ r=6\mathrm{cm} $，旋转角度$ n=150° $，代入公式得：
$ l=\frac{150×π×6}{180}=5π(\mathrm{cm}) $
【答案】
$ 5π $
【知识点】
弧长计算；定滑轮的特点
【点评】
本题是跨学科融合题，结合物理简单机械的相关知识考查数学中弧长公式的应用，解题的关键是建立重物上升距离和滑轮转过弧长的对应关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在矩形ABCD中,$BC = \sqrt{2}AB$, O为BC中点,$OE = AB = 4$,则扇形EOF的面积为
4π
.答案
5. 4π
解析
【分析】
要求扇形EOF的面积，需先明确扇形面积的计算公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），因此需要先求出扇形的半径和圆心角$∠ EOF$的度数。首先根据矩形边长的关系和O是BC中点的条件求出BO的长度，再通过直角三角形的性质推导$∠ EOB$和$∠ FOC$的度数，即可得到圆心角$∠ EOF$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算矩形相关边长：
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{2}AB$，因此$BC=4\sqrt{2}$。
因为O为BC中点，所以$BO=OC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
2. 推导$∠ EOB$的度数：
在矩形ABCD中，$∠ B=90°$，在$Rt△ BEO$中，$OE=4$，$BO=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OE^2-BO^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$
因此$BE=BO$，$△ BEO$为等腰直角三角形，$∠ EOB=45°$。
同理可得，$△ CFO$为等腰直角三角形，$∠ FOC=45°$。
3. 计算圆心角$∠ EOF$：
$∠ EOF=180°-∠ EOB-∠ FOC=180°-45°-45°=90°$
4. 计算扇形面积：
扇形半径$r=OE=4$，圆心角$n=90°$，代入扇形面积公式：
$S_{扇形EOF}=\frac{90π×4^2}{360}=4π$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将矩形、直角三角形和扇形的知识点结合考查，解题核心是先求出扇形的圆心角度数，熟练掌握各基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求扇形EOF的面积，需先明确扇形面积的计算公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），因此需要先求出扇形的半径和圆心角$∠ EOF$的度数。首先根据矩形边长的关系和O是BC中点的条件求出BO的长度，再通过直角三角形的性质推导$∠ EOB$和$∠ FOC$的度数，即可得到圆心角$∠ EOF$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算矩形相关边长：
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{2}AB$，因此$BC=4\sqrt{2}$。
因为O为BC中点，所以$BO=OC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
2. 推导$∠ EOB$的度数：
在矩形ABCD中，$∠ B=90°$，在$Rt△ BEO$中，$OE=4$，$BO=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OE^2-BO^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$
因此$BE=BO$，$△ BEO$为等腰直角三角形，$∠ EOB=45°$。
同理可得，$△ CFO$为等腰直角三角形，$∠ FOC=45°$。
3. 计算圆心角$∠ EOF$：
$∠ EOF=180°-∠ EOB-∠ FOC=180°-45°-45°=90°$
4. 计算扇形面积：
扇形半径$r=OE=4$，圆心角$n=90°$，代入扇形面积公式：
$S_{扇形EOF}=\frac{90π×4^2}{360}=4π$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将矩形、直角三角形和扇形的知识点结合考查，解题核心是先求出扇形的圆心角度数，熟练掌握各基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. (应用意识)如图是一段弯形管道,其中,∠O=∠O'=90°,中心线的两条圆弧半径都为1 000 mm.求图中管道的展直长度.(π取3.14)
答案
6. 解:$l = \frac{nπr}{180} = \frac{90π × 1\ 000}{180} = 500π( \mathrm{mm} )$,
则图中管道的展直长度为$3\ 500 + 500π × 2 = 3\ 500 + 1\ 000π≈6\ 640( \mathrm{mm} )$.
答:管道的展直长度约为6 640 mm.
则图中管道的展直长度为$3\ 500 + 500π × 2 = 3\ 500 + 1\ 000π≈6\ 640( \mathrm{mm} )$.
答:管道的展直长度约为6 640 mm.
解析
【分析】
要求管道的展直长度，首先明确展直长度由两部分组成：一段直管道的长度，加上两个90°圆弧段的弧长之和。解题时先回忆弧长计算公式，先算出单个圆弧的长度，再计算两段圆弧的总长度，最后将直段长度和圆弧总长度相加，代入π的取值即可得到最终结果。
【解析】
首先根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆弧圆心角度数，r为圆弧半径），计算单段90°圆弧的长度：
已知$n=90°$，$r=1000\ \mathrm{mm}$，代入得
$l=\frac{90×π×1000}{180}=500π\ \mathrm{mm}$
两段相同圆弧的总长度为：$2×500π=1000π\ \mathrm{mm}$
直段管道长度为$3500\ \mathrm{mm}$，因此管道总展直长度为：
$3500+1000π$
代入$π=3.14$，得
$3500+1000×3.14=3500+3140=6640\ \mathrm{mm}$
【答案】
管道的展直长度约为$\boxed{6640\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
1.弧长公式计算
2.实际长度计算
【点评】
本题结合生活中的管道场景考查弧长公式的实际应用，解题的核心是准确拆分展直长度的组成部分，正确套用弧长公式计算弯曲段的长度，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要求管道的展直长度，首先明确展直长度由两部分组成：一段直管道的长度，加上两个90°圆弧段的弧长之和。解题时先回忆弧长计算公式，先算出单个圆弧的长度，再计算两段圆弧的总长度，最后将直段长度和圆弧总长度相加，代入π的取值即可得到最终结果。
【解析】
首先根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆弧圆心角度数，r为圆弧半径），计算单段90°圆弧的长度：
已知$n=90°$，$r=1000\ \mathrm{mm}$，代入得
$l=\frac{90×π×1000}{180}=500π\ \mathrm{mm}$
两段相同圆弧的总长度为：$2×500π=1000π\ \mathrm{mm}$
直段管道长度为$3500\ \mathrm{mm}$，因此管道总展直长度为：
$3500+1000π$
代入$π=3.14$，得
$3500+1000×3.14=3500+3140=6640\ \mathrm{mm}$
【答案】
管道的展直长度约为$\boxed{6640\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
1.弧长公式计算
2.实际长度计算
【点评】
本题结合生活中的管道场景考查弧长公式的实际应用，解题的核心是准确拆分展直长度的组成部分，正确套用弧长公式计算弯曲段的长度，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7. (2025 青岛)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2√3,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3} - π$
. (结果保留π)答案
7. $3\sqrt{3} - π$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是平行四边形ACDE减去由线段AC、CB和弧AB围成的曲边图形的面积，因此阴影面积可转化为：$S_{阴影}=S_{平行四边形ACDE}-(S_{扇形OAB}-S_{△ OAC})$。解题思路如下：
1. 过点A作OB的垂线，利用30°角的三角函数值求出A到OB的距离、O到垂足的距离；
2. 结合OC=AC的条件，用勾股定理求出AC的长度，即平行四边形的邻边CD的长度；
3. 分别计算平行四边形、扇形、三角形的面积，代入面积和差公式即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AH⊥ OB$于点H。
$\because ∠ AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
$\therefore AH=OA· \sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$OH=OA· \cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$。
设$OC=AC=x$，则$CH=OH-OC=3-x$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：$AC^2=AH^2+CH^2$，
即$x^2=(\sqrt{3})^2+(3-x)^2$，解得$x=2$，
$\therefore AC=OC=2$，又$\because CD=CA$，$\therefore CD=2$。
$\because$四边形ACDE是平行四边形，
$\therefore S_{平行四边形ACDE}=CD× AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$S_{扇形OAB}=\frac{30°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2=π$，
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OC× AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=2\sqrt{3}-(π-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
平行四边形面积计算，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的中档题，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及扇形面积公式，对图形的观察转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是平行四边形ACDE减去由线段AC、CB和弧AB围成的曲边图形的面积，因此阴影面积可转化为：$S_{阴影}=S_{平行四边形ACDE}-(S_{扇形OAB}-S_{△ OAC})$。解题思路如下：
1. 过点A作OB的垂线，利用30°角的三角函数值求出A到OB的距离、O到垂足的距离；
2. 结合OC=AC的条件，用勾股定理求出AC的长度，即平行四边形的邻边CD的长度；
3. 分别计算平行四边形、扇形、三角形的面积，代入面积和差公式即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AH⊥ OB$于点H。
$\because ∠ AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
$\therefore AH=OA· \sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$OH=OA· \cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$。
设$OC=AC=x$，则$CH=OH-OC=3-x$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：$AC^2=AH^2+CH^2$，
即$x^2=(\sqrt{3})^2+(3-x)^2$，解得$x=2$，
$\therefore AC=OC=2$，又$\because CD=CA$，$\therefore CD=2$。
$\because$四边形ACDE是平行四边形，
$\therefore S_{平行四边形ACDE}=CD× AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$S_{扇形OAB}=\frac{30°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2=π$，
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OC× AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=2\sqrt{3}-(π-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
平行四边形面积计算，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的中档题，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及扇形面积公式，对图形的观察转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8.（整体思想）如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 70°$，$BC = 12$，$D$是$BC$的中点，分别以$B$，$C$为圆心，$BD$长为半径作弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，则图中阴影部分的面积是
$11π$
。答案
8. 11π
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察可知阴影是两个分别以B、C为圆心的扇形。首先确定扇形半径：D是BC中点，BC=12，因此两个扇形的半径均为6。再看圆心角：两个扇形的圆心角分别为△ABC的∠B和∠C，已知∠A=70°，根据三角形内角和可求出∠B+∠C的度数，将两个扇形看作一个整体，直接用扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，即两个扇形的半径$r=6$。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，
得$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 70° = 110°$。
阴影部分面积为两个扇形的面积和，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=110$，$r=6$：
$S_{阴影}=\frac{110×π×6^2}{360}=\frac{110×36π}{360}=11π$
【答案】
11π
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题运用整体思想解题，无需分别求解两个扇形的圆心角，通过三角形内角和得到两个扇形圆心角的总和，直接代入公式即可简化运算，避免了多余的计算步骤。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察可知阴影是两个分别以B、C为圆心的扇形。首先确定扇形半径：D是BC中点，BC=12，因此两个扇形的半径均为6。再看圆心角：两个扇形的圆心角分别为△ABC的∠B和∠C，已知∠A=70°，根据三角形内角和可求出∠B+∠C的度数，将两个扇形看作一个整体，直接用扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，即两个扇形的半径$r=6$。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，
得$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 70° = 110°$。
阴影部分面积为两个扇形的面积和，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=110$，$r=6$：
$S_{阴影}=\frac{110×π×6^2}{360}=\frac{110×36π}{360}=11π$
【答案】
11π
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题运用整体思想解题，无需分别求解两个扇形的圆心角，通过三角形内角和得到两个扇形圆心角的总和，直接代入公式即可简化运算，避免了多余的计算步骤。
【难度系数】
0.7
