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知识点1 弧长公式与扇形面积公式
示意图（圆半径均为R）
弧长占圆周长的比例：$\frac{1}{360}$，$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，
扇形面积占圆面积的比例：$\frac{1}{360}$，
，
弧长l：$2π R × \frac{1}{360} = \frac{π R}{180}$，
扇形面积$S_{扇形}$：$π R^2 × \frac{1}{360} = \frac{π R^2}{360}$，
示意图（圆半径均为R）
弧长占圆周长的比例：$\frac{1}{360}$，$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，
$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
，$\frac{n}{360}$
扇形面积占圆面积的比例：$\frac{1}{360}$，
$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$
，，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
，$\frac{n}{360}$
弧长l：$2π R × \frac{1}{360} = \frac{π R}{180}$，
$2πR × \frac{60}{360} = \frac{πR}{3}$
，$2πR × \frac{90}{360} = \frac{πR}{2}$
，$2πR × \frac{180}{360} = πR$
，$2πR × \frac{n}{360} = \frac{nπR}{180}$
扇形面积$S_{扇形}$：$π R^2 × \frac{1}{360} = \frac{π R^2}{360}$，
$πR^2 × \frac{60}{360} = \frac{πR^2}{6}$
，$πR^2 × \frac{90}{360} = \frac{πR^2}{4}$
，$πR^2 × \frac{180}{360} = \frac{πR^2}{2}$
，$πR^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπR^2}{360}$
答案
弧长占圆周长的比例剩余部分：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
扇形面积占圆面积的比例剩余部分：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
弧长l剩余部分：$2πR × \frac{60}{360} = \frac{πR}{3}$，$2πR × \frac{90}{360} = \frac{πR}{2}$，$2πR × \frac{180}{360} = πR$，$2πR × \frac{n}{360} = \frac{nπR}{180}$
扇形面积$S_{扇形}$剩余部分：$πR^2 × \frac{60}{360} = \frac{πR^2}{6}$，$πR^2 × \frac{90}{360} = \frac{πR^2}{4}$，$πR^2 × \frac{180}{360} = \frac{πR^2}{2}$，$πR^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπR^2}{360}$
扇形面积占圆面积的比例剩余部分：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
弧长l剩余部分：$2πR × \frac{60}{360} = \frac{πR}{3}$，$2πR × \frac{90}{360} = \frac{πR}{2}$，$2πR × \frac{180}{360} = πR$，$2πR × \frac{n}{360} = \frac{nπR}{180}$
扇形面积$S_{扇形}$剩余部分：$πR^2 × \frac{60}{360} = \frac{πR^2}{6}$，$πR^2 × \frac{90}{360} = \frac{πR^2}{4}$，$πR^2 × \frac{180}{360} = \frac{πR^2}{2}$，$πR^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπR^2}{360}$
解析
【分析】
解题时我们利用“圆心角的度数占周角360°的比例，等于该圆心角对应的弧长占圆周长的比例，也等于对应扇形面积占圆面积的比例”这一规律求解：首先根据每个扇形的圆心角度数，计算出对应的占比；再用圆周长乘弧长占比得到对应弧长，用圆面积乘扇形面积占比得到对应扇形面积，最后化简结果即可。
【解析】
1. 弧长占圆周长的比例：
90°圆心角对应占比：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
180°圆心角对应占比：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
n°圆心角对应占比：$\frac{n}{360}$
2. 扇形面积占圆面积的比例：
60°圆心角对应占比：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$
90°圆心角对应占比：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
180°圆心角对应占比：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
n°圆心角对应占比：$\frac{n}{360}$
3. 弧长$l$：
60°对应弧长：$2π R×\frac{60}{360}=\frac{π R}{3}$
90°对应弧长：$2π R×\frac{90}{360}=\frac{π R}{2}$
180°对应弧长：$2π R×\frac{180}{360}=π R$
n°对应弧长：$2π R×\frac{n}{360}=\frac{nπ R}{180}$
4. 扇形面积$S_{扇形}$：
60°对应扇形面积：$π R^2×\frac{60}{360}=\frac{π R^2}{6}$
90°对应扇形面积：$π R^2×\frac{90}{360}=\frac{π R^2}{4}$
180°对应扇形面积：$π R^2×\frac{180}{360}=\frac{π R^2}{2}$
n°对应扇形面积：$π R^2×\frac{n}{360}=\frac{nπ R^2}{360}$
【答案】
弧长占圆周长的比例剩余部分：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
扇形面积占圆面积的比例剩余部分：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
弧长$l$剩余部分：$2π R × \frac{60}{360} = \frac{π R}{3}$，$2π R × \frac{90}{360} = \frac{π R}{2}$，$2π R × \frac{180}{360} = π R$，$2π R × \frac{n}{360} = \frac{nπ R}{180}$
扇形面积$S_{扇形}$剩余部分：$π R^2 × \frac{60}{360} = \frac{π R^2}{6}$，$π R^2 × \frac{90}{360} = \frac{π R^2}{4}$，$π R^2 × \frac{180}{360} = \frac{π R^2}{2}$，$π R^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπ R^2}{360}$
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、比例的应用
【点评】
这道题是扇形相关计算的基础题，通过比例推导的方式呈现弧长和扇形面积公式的由来，掌握推导逻辑能帮助我们更灵活地解决各类扇形计算问题，避免死记硬背公式出现错误。
【难度系数】
0.85
解题时我们利用“圆心角的度数占周角360°的比例，等于该圆心角对应的弧长占圆周长的比例，也等于对应扇形面积占圆面积的比例”这一规律求解：首先根据每个扇形的圆心角度数，计算出对应的占比；再用圆周长乘弧长占比得到对应弧长，用圆面积乘扇形面积占比得到对应扇形面积，最后化简结果即可。
【解析】
1. 弧长占圆周长的比例：
90°圆心角对应占比：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
180°圆心角对应占比：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
n°圆心角对应占比：$\frac{n}{360}$
2. 扇形面积占圆面积的比例：
60°圆心角对应占比：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$
90°圆心角对应占比：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
180°圆心角对应占比：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$
n°圆心角对应占比：$\frac{n}{360}$
3. 弧长$l$：
60°对应弧长：$2π R×\frac{60}{360}=\frac{π R}{3}$
90°对应弧长：$2π R×\frac{90}{360}=\frac{π R}{2}$
180°对应弧长：$2π R×\frac{180}{360}=π R$
n°对应弧长：$2π R×\frac{n}{360}=\frac{nπ R}{180}$
4. 扇形面积$S_{扇形}$：
60°对应扇形面积：$π R^2×\frac{60}{360}=\frac{π R^2}{6}$
90°对应扇形面积：$π R^2×\frac{90}{360}=\frac{π R^2}{4}$
180°对应扇形面积：$π R^2×\frac{180}{360}=\frac{π R^2}{2}$
n°对应扇形面积：$π R^2×\frac{n}{360}=\frac{nπ R^2}{360}$
【答案】
弧长占圆周长的比例剩余部分：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
扇形面积占圆面积的比例剩余部分：$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$，$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$，$\frac{n}{360}$
弧长$l$剩余部分：$2π R × \frac{60}{360} = \frac{π R}{3}$，$2π R × \frac{90}{360} = \frac{π R}{2}$，$2π R × \frac{180}{360} = π R$，$2π R × \frac{n}{360} = \frac{nπ R}{180}$
扇形面积$S_{扇形}$剩余部分：$π R^2 × \frac{60}{360} = \frac{π R^2}{6}$，$π R^2 × \frac{90}{360} = \frac{π R^2}{4}$，$π R^2 × \frac{180}{360} = \frac{π R^2}{2}$，$π R^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπ R^2}{360}$
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、比例的应用
【点评】
这道题是扇形相关计算的基础题，通过比例推导的方式呈现弧长和扇形面积公式的由来，掌握推导逻辑能帮助我们更灵活地解决各类扇形计算问题，避免死记硬背公式出现错误。
【难度系数】
0.85
归纳 在半径为$R$的圆中，$n°$的圆心角所对的弧长公式：$l=$
$\frac{nπR}{180}$
；扇形面积公式：$S_{扇形}=$$\frac{nπR^2}{360}$
。注意：公式中的$n$，180，360都不带单位“°”。答案
l= $\frac{nπR}{180}$；$S_{扇形}=$ $\frac{nπR^2}{360}$
解析
【分析】
解题可从部分占整体的比例思路切入：整个圆的圆心角为360°，n°的圆心角占周角的比例为$\frac{n}{360}$，因此n°圆心角所对的弧长是圆周长的$\frac{n}{360}$，对应的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，结合圆的周长、面积公式代入化简即可得到对应公式。
【解析】
1. 推导弧长公式：
圆的周长公式为$C=2πR$，360°的圆心角对应弧长等于圆的周长，因此n°圆心角对应的弧长为：
$l=2πR×\frac{n}{360}=\frac{nπR}{180}$
2. 推导扇形面积公式：
圆的面积公式为$S=πR²$，360°的圆心角对应的扇形面积等于圆的面积，因此n°圆心角对应的扇形面积为：
$S_{扇形}=πR²×\frac{n}{360}=\frac{nπR²}{360}$
【答案】
$\frac{nπR}{180}$；$\frac{nπR^2}{360}$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式
【点评】
本题是对弧长和扇形面积基础公式的考查，属于基础类题目，理解公式的推导逻辑，比死记硬背更能灵活运用公式解决相关计算问题。
【难度系数】
0.9
解题可从部分占整体的比例思路切入：整个圆的圆心角为360°，n°的圆心角占周角的比例为$\frac{n}{360}$，因此n°圆心角所对的弧长是圆周长的$\frac{n}{360}$，对应的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，结合圆的周长、面积公式代入化简即可得到对应公式。
【解析】
1. 推导弧长公式：
圆的周长公式为$C=2πR$，360°的圆心角对应弧长等于圆的周长，因此n°圆心角对应的弧长为：
$l=2πR×\frac{n}{360}=\frac{nπR}{180}$
2. 推导扇形面积公式：
圆的面积公式为$S=πR²$，360°的圆心角对应的扇形面积等于圆的面积，因此n°圆心角对应的扇形面积为：
$S_{扇形}=πR²×\frac{n}{360}=\frac{nπR²}{360}$
【答案】
$\frac{nπR}{180}$；$\frac{nπR^2}{360}$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式
【点评】
本题是对弧长和扇形面积基础公式的考查，属于基础类题目，理解公式的推导逻辑，比死记硬背更能灵活运用公式解决相关计算问题。
【难度系数】
0.9
1.【例1】若扇形的圆心角为$40°$,半径为18,则它的弧长为
2. (1)若$90°$圆心角所对的弧长是$3π$ cm,则此弧所在圆的半径是
(2)一个扇形的半径为8,扇形的弧长为$4π$,则该扇形的圆心角度数为
$4π$
.2. (1)若$90°$圆心角所对的弧长是$3π$ cm,则此弧所在圆的半径是
$6\ \mathrm{cm}$
;(2)一个扇形的半径为8,扇形的弧长为$4π$,则该扇形的圆心角度数为
$90°$
.答案
1. 4π
2. (1) 6 cm
(2) 90°
2. (1) 6 cm
(2) 90°
解析
【分析】
这几道题均考查弧长公式的应用，弧长公式为$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形所在圆的半径），解题时根据已知量选择直接代入公式或变形公式计算即可：第1题已知圆心角和半径，直接代入求弧长；第2(1)题已知圆心角和弧长，将公式变形为$ r=\frac{180l}{nπ} $后代入求半径；第2(2)题已知半径和弧长，将公式变形为$ n=\frac{180l}{π r} $后代入求圆心角度数。
【解析】
1. 已知扇形圆心角$ n=40° $，半径$ r=18 $，代入弧长公式：
$ l = \frac{40× π × 18}{180} = 4π $
2. (1) 已知圆心角$ n=90° $，弧长$ l=3π \, \mathrm{cm} $，代入变形后的半径公式：
$ r = \frac{180× 3π}{90× π} = 6 \, \mathrm{cm} $
(2) 已知半径$ r=8 $，弧长$ l=4π $，代入变形后的圆心角公式：
$ n = \frac{180× 4π}{π × 8} = 90° $
【答案】
1. $ 4π $
2. (1) $ 6 \, \mathrm{cm} $
(2) $ 90° $
【知识点】
弧长计算公式、公式变形应用、代数化简运算
【点评】
本组题目属于弧长相关的基础题型，核心是牢记弧长公式，根据已知条件灵活调整公式形式，计算时注意约去$ π $简化运算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
这几道题均考查弧长公式的应用，弧长公式为$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形所在圆的半径），解题时根据已知量选择直接代入公式或变形公式计算即可：第1题已知圆心角和半径，直接代入求弧长；第2(1)题已知圆心角和弧长，将公式变形为$ r=\frac{180l}{nπ} $后代入求半径；第2(2)题已知半径和弧长，将公式变形为$ n=\frac{180l}{π r} $后代入求圆心角度数。
【解析】
1. 已知扇形圆心角$ n=40° $，半径$ r=18 $，代入弧长公式：
$ l = \frac{40× π × 18}{180} = 4π $
2. (1) 已知圆心角$ n=90° $，弧长$ l=3π \, \mathrm{cm} $，代入变形后的半径公式：
$ r = \frac{180× 3π}{90× π} = 6 \, \mathrm{cm} $
(2) 已知半径$ r=8 $，弧长$ l=4π $，代入变形后的圆心角公式：
$ n = \frac{180× 4π}{π × 8} = 90° $
【答案】
1. $ 4π $
2. (1) $ 6 \, \mathrm{cm} $
(2) $ 90° $
【知识点】
弧长计算公式、公式变形应用、代数化简运算
【点评】
本组题目属于弧长相关的基础题型，核心是牢记弧长公式，根据已知条件灵活调整公式形式，计算时注意约去$ π $简化运算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
3.【例2】扇形的圆心角是$30°$,它的半径是6,则该扇形的面积为
4.（1）已知扇形的面积为$4π$,半径为6,则此扇形的圆心角为
（2）已知扇形的圆心角为$120°$,面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$,则该扇形所在圆的半径为
$3π$
.4.（1）已知扇形的面积为$4π$,半径为6,则此扇形的圆心角为
$40°$
；（2）已知扇形的圆心角为$120°$,面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$,则该扇形所在圆的半径为
$9\ \mathrm{cm}$
.答案
3. 3π
4. (1) 40°
(2) 9 cm
4. (1) 40°
(2) 9 cm
解析
【分析】
这组题目均考查扇形面积公式的应用，解题核心是牢记扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径），解题时根据题目给出的已知量，代入公式或对公式做适当变形，即可求出未知量。
【解析】
3. 已知扇形圆心角$n=30°$，半径$r=6$，代入扇形面积公式：
$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×6^2}{360}=\frac{30×36π}{360}=3π$
4. (1) 已知扇形面积$S=4π$，半径$r=6$，将扇形面积公式变形求圆心角$n$：
由$S=\frac{nπ r^2}{360}$推导得$n=\frac{360S}{π r^2}$，代入数值计算：
$n=\frac{360×4π}{π×6^2}=\frac{1440π}{36π}=40$，即圆心角为$40°$
(2) 已知扇形圆心角$n=120°$，面积$S=27π\ \mathrm{cm}^2$，将扇形面积公式变形求半径$r$：
由$S=\frac{nπ r^2}{360}$推导得$r^2=\frac{360S}{nπ}$，代入数值计算：
$r^2=\frac{360×27π}{120π}=81$，因半径为正数，故$r=\sqrt{81}=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
3. $3π$
4. (1) $40°$
(2) $9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式，代数式变形，算术平方根计算
【点评】
本组题目属于扇形面积的基础应用题，主要考查对扇形面积公式的掌握和灵活应用能力，解题时只需准确对应已知量和未知量，正确代入或变形公式计算即可，计算时注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.85
这组题目均考查扇形面积公式的应用，解题核心是牢记扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径），解题时根据题目给出的已知量，代入公式或对公式做适当变形，即可求出未知量。
【解析】
3. 已知扇形圆心角$n=30°$，半径$r=6$，代入扇形面积公式：
$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×6^2}{360}=\frac{30×36π}{360}=3π$
4. (1) 已知扇形面积$S=4π$，半径$r=6$，将扇形面积公式变形求圆心角$n$：
由$S=\frac{nπ r^2}{360}$推导得$n=\frac{360S}{π r^2}$，代入数值计算：
$n=\frac{360×4π}{π×6^2}=\frac{1440π}{36π}=40$，即圆心角为$40°$
(2) 已知扇形圆心角$n=120°$，面积$S=27π\ \mathrm{cm}^2$，将扇形面积公式变形求半径$r$：
由$S=\frac{nπ r^2}{360}$推导得$r^2=\frac{360S}{nπ}$，代入数值计算：
$r^2=\frac{360×27π}{120π}=81$，因半径为正数，故$r=\sqrt{81}=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
3. $3π$
4. (1) $40°$
(2) $9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式，代数式变形，算术平方根计算
【点评】
本组题目属于扇形面积的基础应用题，主要考查对扇形面积公式的掌握和灵活应用能力，解题时只需准确对应已知量和未知量，正确代入或变形公式计算即可，计算时注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.85
