1. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,若$∠ AOC=160°$,则$∠ ABC$的度数是 ()

A.$80°$
B.$100°$
C.$140°$
D.$160°$

1. B

【分析】
解题时首先回忆圆的两个核心性质：一是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，二是圆内接四边形的对角互补。第一步先找到与已知圆心角∠AOC同弧所对的圆周角∠ADC，利用圆周角定理算出∠ADC的度数；第二步利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ADC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×160°=80°$
又
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补
∴$∠ ADC + ∠ ABC=180°$
∴$∠ ABC=180° - 80°=100°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，解题的关键是熟练掌握圆心角与圆周角的换算关系，以及圆内接四边形对角互补的性质，计算量小，属于常规考点。
【难度系数】
0.8

2. (2025甘肃)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD,若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为 ()

A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$

2. C

【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据已知的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，利用等弧对等弦的性质可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形，结合已知∠ABC=70°，可先算出等腰△ABC的底角∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∠BDC和∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，因此二者相等，即可得出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AB=BC$（等弧对等弦），
∴$△ ABC$是等腰三角形，
∵$∠ ABC=70°$，
∴$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
又
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ BDC=∠ BAC=55°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等弦，等腰三角形性质，圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的基础综合题，解题核心是找到同弧所对的相等圆周角，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,$BC=2CD$,则$∠ BAD$的度数是.

3. 120°

【分析】
解题时先观察已知条件：BC是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接辅助线BD构造直角三角形；再结合BC=2CD的条件，利用直角三角形中30°角的判定求出∠C的度数；最后根据圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=2CD$，即$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ CBD=30°$，
∴ $∠ BCD=90°-30°=60°$，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BAD+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ BAD=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形边角性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握直径与圆周角的关系、圆内接四边形的性质，结合直角三角形的边角关系即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ 1 = ∠ 2$,延长BC到点E,使得$CE = AB$,连接ED.求证:$BD = ED$.

4. 证明:
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴ $∠ A + ∠ DCB = 180°$.
∵ $∠ DCB + ∠ DCE = 180°$,
∴ $∠ A = ∠ DCE$.
∵ $∠ 1 = ∠ 2$,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴ $AD = CD$.
又
∵ $AB = CE$,
∴ $△ ABD≌△ CED(\mathrm{SAS})$.
∴ $BD = ED$.

【分析】
要证明$BD=ED$，可通过证明两条边所在的$△ ABD$和$△ CED$全等来推导：首先利用圆内接四边形的性质结合平角定义，推导出一组对应角$∠ A=∠ DCE$；再根据$∠1=∠2$，结合圆周角、弧、弦的对应关系，得到一组对应边$AD=CD$；最后结合已知$AB=CE$，即可用SAS判定两个三角形全等，从而得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ DCB = 180°$。
∵ $∠ DCB + ∠ DCE = 180°$，
∴ $∠ A = ∠ DCE$。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AD = CD$。
又
∵ $AB = CE$，
∴ $△ ABD ≌ △ CED(\mathrm{SAS})$，
∴ $BD = ED$。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ DCB = 180°$。
∵ $∠ DCB + ∠ DCE = 180°$，
∴ $∠ A = ∠ DCE$。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AD = CD$。
又
∵ $AB = CE$，
∴ $△ ABD ≌ △ CED(\mathrm{SAS})$，
∴ $BD = ED$。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角与弧、弦的关系
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础证明题，解题关键是熟练运用圆的相关性质推导全等三角形所需的边角条件，考查了对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, $AE ⊥ CB$交CB的延长线于点E, 若BA平分$∠ DBE$, $AD = 5$, $CE = \sqrt{13}$, 则$AE =$ .

5. $2\sqrt{3}$

【分析】
解题思路可分三步推进：第一步，根据角平分线的定义，得到∠ABE=∠ABD；第二步，结合圆内接四边形的性质推导角的等量关系，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ADC=∠ACD，由此得到AC=AD=5，完成线段的等量转化；第三步，观察到AE垂直于CB，△AEC是直角三角形，直接代入勾股定理即可算出AE的长度。
【解析】
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠ABD。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵∠ABC + ∠ABE = 180°，
∴∠ABE=∠ADC。
∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD=5。
∵AE⊥CB，
∴∠E=90°，△AEC为直角三角形。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$，
代入AC=5，$CE=\sqrt{13}$，
得$AE^2=5^2 - (\sqrt{13})^2=25-13=12$，
∵AE＞0，
∴$AE=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过角的等量代换得到AC=AD，将分散的已知条件集中到同一个直角三角形中求解，解题时要熟练掌握圆的相关性质，学会构造可计算的直角三角形。
【难度系数】
0.6

6.（拓展题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC = ∠ADB.
（1）求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF//AD交AB的延长线于点F，若AC = AD，BF = 2，求此圆半径的长.

6. (1)证明:
∵ $∠ BAC = ∠ ADB, ∠ BAC = ∠ CDB$,
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$.
∴ DB 平分$∠ ADC$.
∵ BD 平分$∠ ABC$,
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$.
∴ $∠ ABD + ∠ CBD + ∠ ADB + ∠ CDB = 180°$.
∴ $2( ∠ ABD + ∠ ADB) = 180°$.
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$.
∴ $∠ BAD = 180° - 90° = 90°$.
(2)解:
∵ $∠ BAE + ∠ DAE = 90°, ∠ BAE = ∠ ADE$,
∴ $∠ ADE + ∠ DAE = 90°$.
∴ $∠ AED = 90°$.
∵ $∠ BAD = 90°$,
∴ BD 是圆的直径.
∴ BD 垂直平分 AC.
∴ $AD = CD$.
∵ $AC = AD$,
∴ $△ ACD$ 是等边三角形.
∴ $∠ ADC = 60°$.
∵ $BD ⊥ AC$,
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ ADC = 30°$.
∵ $CF// AD$,
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$.
∴ $∠ F = 90°$.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ $∠ ADC + ∠ ABC = 180°$.
∵ $∠ FBC + ∠ ABC = 180°$,
∴ $∠ FBC = ∠ ADC = 60°$.
∴ $∠ BCF = 30°$.
∴ $BC = 2BF = 4$.
∵ $∠ BCD = 90°, ∠ BDC = 30°$,
∴ $BD = 2BC = 8$.
∵ BD 是圆的直径,
∴ 此圆半径的长是 $8 ÷ 2 = 4$.

【分析】
（1）证明DB平分∠ADC的核心是证∠ADB=∠CDB：已知∠BAC=∠ADB，再结合同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CDB，即可推出两个角相等；求∠BAD时，先利用BD平分∠ABC和已证的BD平分∠ADC，结合圆内接四边形对角和为180°，可将∠ABC+∠ADC转化为2(∠ABD+∠ADB)，求出∠ABD+∠ADB=90°，最后利用三角形内角和即可求出∠BAD的度数。
（2）首先由∠BAD=90°可推出BD是圆的直径，再结合BD平分∠ADC、AC=AD可证△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而得∠BDC=30°；再利用CF//AD推出∠F=90°，结合圆内接四边形外角等于内对角得∠FBC=60°，在Rt△BFC中用30°角的直角三角形性质求出BC的长，最后在Rt△BCD中用相同性质求出直径BD的长度，即可得到圆的半径。
【解析】
(1)证明:
∵ $∠ BAC = ∠ ADB, ∠ BAC = ∠ CDB$,
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$.
∴ DB 平分$∠ ADC$.
∵ BD 平分$∠ ABC$,
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$.
∴ $∠ ABD + ∠ CBD + ∠ ADB + ∠ CDB = 180°$.
∴ $2( ∠ ABD + ∠ ADB) = 180°$.
∴ $∠ ABD + ∠ ADB = 90°$.
∴ $∠ BAD = 180° - 90° = 90°$.
(2)解:
∵ $∠ BAE + ∠ DAE = 90°, ∠ BAE = ∠ ADE$,
∴ $∠ ADE + ∠ DAE = 90°$.
∴ $∠ AED = 90°$.
∵ $∠ BAD = 90°$,
∴ BD 是圆的直径.
∴ BD 垂直平分 AC.
∴ $AD = CD$.
∵ $AC = AD$,
∴ $△ ACD$ 是等边三角形.
∴ $∠ ADC = 60°$.
∵ $BD ⊥ AC$,
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ ADC = 30°$.
∵ $CF// AD$,
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$.
∴ $∠ F = 90°$.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ $∠ ADC + ∠ ABC = 180°$.
∵ $∠ FBC + ∠ ABC = 180°$,
∴ $∠ FBC = ∠ ADC = 60°$.
∴ $∠ BCF = 30°$.
∴ $BC = 2BF = 4$.
∵ $∠ BCD = 90°, ∠ BDC = 30°$,
∴ $BD = 2BC = 8$.
∵ BD 是圆的直径,
∴ 此圆半径的长是 $8 ÷ 2 = 4$.
【答案】
（1）DB平分∠ADC得证，$∠ BAD=90°$；（2）此圆半径的长为4。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合应用题，融合了角平分线性质、特殊三角形判定、平行线性质等多个知识点，解题的关键是先推导出BD为圆的直径，再结合特殊三角形的边长关系逐步计算，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6