引入 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆内接多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆.
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°.
证明:如图,连接OB,OD. ∵ ∠A所对的弧为, ∠C所对的弧为,
又与所对的圆心角的和是周角(360°),
∴$ ∠A + ∠C = \frac{1}{2} × $ ° = °. 同理∠ABC + ∠ADC = °.
(思考一下还有没有其他证明方法)
其他证明方法:如图,作直径AE交⊙O于点E,连接DE,BE.
∵ AE是⊙O的直径,∴ ∠ADE = ∠ABE = 90°.
∵ ∠ADE + ∠DEB + ∠ABE + ∠BAD = 360°,∴ ∠DEB + ∠BAD = 180°.
由圆周角定理的推论,得∠BCD = ∠DEB. ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°.
由四边形内角和为360°,得∠ABC + ∠ADC = 180°.

引入 $\overset{\frown}{BCD}$ $\overset{\frown}{BAD}$ $\overset{\frown}{BCD}$ $\overset{\frown}{BAD}$ 360 180 180

【分析】
要证明圆内接四边形对角互补，需结合圆周角定理推导：首先明确每个内角作为圆周角所对应的弧，再观察两个对角所对弧的和恰好为整圆，对应圆心角和为周角360°，最后利用圆周角等于其所对圆心角的一半，即可推出两个对角的和为180°，同理可证另一组对角和也为180°。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半：
1. 圆内接四边形ABCD中，∠A是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$；∠C是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$。
2. $\overset{\frown}{BCD}$和$\overset{\frown}{BAD}$恰好构成整个圆周，二者所对的圆心角之和为周角360°。
3. 因此$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD}\mathrm{对应的圆心角} + \overset{\frown}{BAD}\mathrm{对应的圆心角}) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$。
4. 同理可证$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$。
依次填入的内容为：$\overset{\frown}{BCD}$；$\overset{\frown}{BAD}$；$\overset{\frown}{BCD}$；$\overset{\frown}{BAD}$；360；180；180。
【答案】
$\overset{\frown}{BCD}$；$\overset{\frown}{BAD}$；$\overset{\frown}{BCD}$；$\overset{\frown}{BAD}$；360；180；180
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形性质；周角定义
【点评】
本题是圆内接四边形对角互补性质的基础证明题，通过两种不同的证明思路，帮助理解圆周角定理的应用，以及圆与内接多边形的角度关联，是圆中角度计算的核心基础内容。
【难度系数】
0.8

归纳 圆内接四边形的对角 。

归纳 互补

【分析】
解题时可结合圆周角定理推导圆内接四边形的对角关系。首先明确圆内接四边形的四个顶点均在同一个圆上，观察可知每组对角所对的圆弧拼合恰好是整个圆周，再结合圆周角和对应弧的度数关系，就能推导出对角的和的大小，进而确定二者的关系。
【解析】
设圆内接四边形为ABCD，其四个顶点都在同一个圆上：
1. ∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对的弧为弧BAD，弧BCD与弧BAD的和为整圆圆弧，总度数为360°。
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，可得$∠ A=\frac{1}{2}×$弧BCD的度数，$∠ C=\frac{1}{2}×$弧BAD的度数。
3. 因此$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}×$（弧BCD的度数+弧BAD的度数）=$\frac{1}{2}×360°=180°$，同理可证$∠ B+∠ D=180°$，即圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对圆内接四边形核心性质的识记与推导理解，熟练掌握该性质是解决圆与四边形结合的几何问题的基础。
【难度系数】
0.9

1.【例1】如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ D=100°$，则$∠ B=$。

1. 80°

【分析】
解题时首先观察图形特征，已知四边形是圆的内接四边形，首先回忆圆内接四边形的性质：对角互补。接着找到所求角∠B的对角为已知的∠D，二者之和为180°，代入已知角度计算即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ B + ∠ D = 180°$，
已知$∠ D=100°$，
∴$∠ B=180° - 100°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、补角计算
【点评】
本题是基础题型，直接考察圆内接四边形对角互补性质的应用，熟记相关性质即可快速求解，是圆性质部分的常见易得分题。
【难度系数】
0.9

3.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_{131}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$.求证:$∠ DCE = ∠ A$.

3. 证明:$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠A + ∠DCB = 180°$.
$\because ∠DCE + ∠DCB = 180°$,$\therefore ∠DCE = ∠A$.

【分析】
要证明∠DCE=∠A，可利用“同角的补角相等”的性质推导：首先根据四边形ABCD内接于⊙O，联想到圆内接四边形的对角互补，可得∠A与∠DCB互补；再观察图形可知∠DCE与∠DCB是邻补角，二者也互补，由此可推出∠DCE与∠A相等。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ DCB = 180°$（圆内接四边形的对角互补）。
∵ $∠ DCE + ∠ DCB = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ DCE = ∠ A$（同角的补角相等）。
【答案】
证明:$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠A + ∠DCB = 180°$.
$\because ∠DCE + ∠DCB = 180°$,$\therefore ∠DCE = ∠A$.
【知识点】
圆内接四边形性质，邻补角定义，补角的性质
【点评】
本题是圆内接四边形相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合补角的相关性质即可快速推导结论，是圆的性质模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，已知$∠ ADC = 140°$，则$∠ ABC =$ ，$∠ AOC =$ 。

2. 40° 80°

【分析】
本题分两步求解：第一步求∠ABC，首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，已知∠ADC的度数，用180°减去∠ADC的度数即可得到∠ABC的度数；第二步求∠AOC，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，用第一步求出的∠ABC的度数乘2就能得到∠AOC的度数。
【解析】
1. 计算∠ABC的度数：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形的对角互补，
∴ $∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，
将$∠ ADC=140°$代入得：
$∠ ABC = 180° - 140° = 40°$。
2. 计算∠AOC的度数：
∵ $∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOC = 2∠ ABC = 2×40° = 80°$。
【答案】
$40°$；$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础考查题，只要熟练掌握圆内接四边形的对角互补、同弧所对圆心角与圆周角的数量关系，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8

4. 如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, $∠ DAE$是四边形ABCD的一个外角, 且$DB = DC$. 求证: AD平分$∠ CAE$.

4. 证明:$\because DB = DC$,$\therefore ∠DBC = ∠DCB$.
$\because ∠EAD + ∠BAD = 180°, ∠BAD + ∠DCB = 180°$,
$\therefore ∠EAD = ∠DCB$.
$\because ∠DAC = ∠DBC = ∠DCB$,$\therefore ∠EAD = ∠DAC$.
$\therefore AD$平分$∠CAE$.

【分析】
要证明AD平分∠CAE，核心是证明∠EAD=∠DAC。解题思路如下：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由DB=DC得到∠DBC=∠DCB；再利用圆内接四边形对角互补、邻补角互补的性质，可推导出∠EAD=∠DCB；最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠DAC=∠DBC，通过多次等量代换即可得到∠EAD=∠DAC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $DB = DC$，
∴ $∠DBC = ∠DCB$（等边对等角）。
∵ $∠EAD$与$∠BAD$互为邻补角，
∴ $∠EAD + ∠BAD = 180°$，
又
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠BAD + ∠DCB = 180°$，
根据同角的补角相等，可得$∠EAD = ∠DCB$。
∵ $∠DAC$和$∠DBC$都是弧$DC$所对的圆周角，
∴ $∠DAC = ∠DBC$（同弧所对的圆周角相等），
结合$∠DBC=∠DCB$，可得$∠DAC=∠DCB$，
∴ $∠EAD = ∠DAC$（等量代换），
∴ $AD$平分$∠CAE$。
【答案】
证明:$\because DB = DC$,$\therefore ∠DBC = ∠DCB$.
$\because ∠EAD + ∠BAD = 180°, ∠BAD + ∠DCB = 180°$,
$\therefore ∠EAD = ∠DCB$.
$\because ∠DAC = ∠DBC = ∠DCB$,$\therefore ∠EAD = ∠DAC$.
$\therefore AD$平分$∠CAE$.
【知识点】
等腰三角形性质；圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，综合考查了等腰三角形、圆周角、圆内接四边形的相关性质，解题关键是找准角之间的等量关系，通过代换得到待证的等角结论，难度较低。
【难度系数】
0.7