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9.【例3】(人教九上$\mathrm{P}_{129}$例3改编)如图，$\odot O$的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，求BC，AD，BD的长。
答案
9. 解:如图,连接OD.
∵ AB是$\odot O$的直径,
∴ $∠ACB = ∠ADB = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8(\mathrm{cm})$.
∵ CD平分$∠ACB$,
∴ $∠ACD = ∠BCD$.
∴ $∠AOD = ∠BOD$.
∴ $AD = BD$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2 + BD^2 = AB^2$,即$2AD^2 = AB^2$.
∴ $AD = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2}×10 = 5\sqrt{2} (\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得到$\mathrm{Rt}△ACB$和$\mathrm{Rt}△ADB$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中已知AB和AC的长，直接用勾股定理即可求出BC的长；接下来结合CD是$∠ACB$的平分线，可得$∠ACD=∠BCD$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等、所对的圆心角相等，可推出$AD=BD$，即$\mathrm{Rt}△ADB$是等腰直角三角形，再次利用勾股定理即可求出AD、BD的长。
【解析】
解：如图，连接OD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB = ∠ADB = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8(\mathrm{cm})$.
∵ CD平分$∠ACB$，
∴ $∠ACD = ∠BCD$.
根据同圆中相等的圆周角所对的圆心角相等，可得$∠AOD = ∠BOD$，
∴ $AD = BD$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2 + BD^2 = AB^2$，即$2AD^2 = 10^2$，
∴ $AD = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}×10 = 5\sqrt{2} (\mathrm{cm})$.
【答案】
BC的长为8 cm，AD、BD的长均为$5\sqrt{2}$ cm。
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 勾股定理
3. 圆心角弧弦关系
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题核心是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线的性质推导出等腰直角三角形，考查了圆的基础性质与直角三角形计算的结合运用能力，解题时注意辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得到$\mathrm{Rt}△ACB$和$\mathrm{Rt}△ADB$，在$\mathrm{Rt}△ACB$中已知AB和AC的长，直接用勾股定理即可求出BC的长；接下来结合CD是$∠ACB$的平分线，可得$∠ACD=∠BCD$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等、所对的圆心角相等，可推出$AD=BD$，即$\mathrm{Rt}△ADB$是等腰直角三角形，再次利用勾股定理即可求出AD、BD的长。
【解析】
解：如图，连接OD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB = ∠ADB = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8(\mathrm{cm})$.
∵ CD平分$∠ACB$，
∴ $∠ACD = ∠BCD$.
根据同圆中相等的圆周角所对的圆心角相等，可得$∠AOD = ∠BOD$，
∴ $AD = BD$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2 + BD^2 = AB^2$，即$2AD^2 = 10^2$，
∴ $AD = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}×10 = 5\sqrt{2} (\mathrm{cm})$.
【答案】
BC的长为8 cm，AD、BD的长均为$5\sqrt{2}$ cm。
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 勾股定理
3. 圆心角弧弦关系
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题核心是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线的性质推导出等腰直角三角形，考查了圆的基础性质与直角三角形计算的结合运用能力，解题时注意辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
10. 如图,点A,P,B,C是$\odot O$上的四个点,且$∠ APC=∠ CPB=60°$.
(1)判断$△ ABC$的形状,并证明你的结论;
(2)若$\odot O$的半径为2,求AB的长.
(1)判断$△ ABC$的形状,并证明你的结论;
(2)若$\odot O$的半径为2,求AB的长.
答案
10. 解:(1) $△ABC$是等边三角形. 证明如下:
由圆周角定理,得$∠ABC = ∠APC = 60°$, $∠CAB = ∠CPB = 60°$.
∴ $∠ACB = 60°$.
∴ $△ABC$是等边三角形.
(2)如图,连接BO,过点O作$OD ⊥ BC$于点D,
则$∠BOD = \frac{1}{2}∠BOC = ∠BAC = 60°$,$BC = 2BD$.
∴ $∠OBD = 30°$.
∴ $OD = \frac{1}{2}OB = 1$,$BD = \sqrt{2^2 - 1^2} =\sqrt{3}$.
∴ $BC = 2BD = 2\sqrt{3}$.
∴ $AB = 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要判断$△ ABC$的形状，可从角的特征入手分析：已知两个$60°$的圆周角$∠ APC$、$∠ CPB$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可将这两个角转化为$△ ABC$的内角，通过计算三角形三个内角的度数判断形状。
(2) 已知$\odot O$半径求等边三角形$ABC$的边长，可结合垂径定理构造直角三角形求解：连接圆心与弦的端点，过圆心作弦的垂线，利用圆心角和圆周角的关系得到直角三角形的内角度数，再用勾股定理计算弦长，即可得到$AB$的长度。
【解析】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明如下：
由圆周角定理得，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ ABC = ∠ APC = 60°$，$∠ CAB = ∠ CPB = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - ∠ ABC - ∠ CAB = 180° - 60° - 60° = 60°$，即$△ ABC$三个内角均为$60°$，因此$△ ABC$是等边三角形。
(2) 如图，连接$BO$，过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$，
由垂径定理得$BC = 2BD$；由圆周角定理得圆心角$∠ BOC = 2∠ BAC = 120°$，因$OB=OC$，由等腰三角形三线合一可得$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60°$。
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD = 90° - 60° = 30°$，已知$OB=2$，因此$OD = \frac{1}{2}OB = 1$。
由勾股定理得$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，因此$BC = 2BD = 2\sqrt{3}$。
因$△ ABC$是等边三角形，故$AB = BC = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明过程如上；
(2) $AB$的长为$2\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理；等边三角形判定；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练运用圆周角定理完成角度转化，结合垂径定理构造直角三角形求解边长，能有效检验学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断$△ ABC$的形状，可从角的特征入手分析：已知两个$60°$的圆周角$∠ APC$、$∠ CPB$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可将这两个角转化为$△ ABC$的内角，通过计算三角形三个内角的度数判断形状。
(2) 已知$\odot O$半径求等边三角形$ABC$的边长，可结合垂径定理构造直角三角形求解：连接圆心与弦的端点，过圆心作弦的垂线，利用圆心角和圆周角的关系得到直角三角形的内角度数，再用勾股定理计算弦长，即可得到$AB$的长度。
【解析】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明如下：
由圆周角定理得，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ ABC = ∠ APC = 60°$，$∠ CAB = ∠ CPB = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - ∠ ABC - ∠ CAB = 180° - 60° - 60° = 60°$，即$△ ABC$三个内角均为$60°$，因此$△ ABC$是等边三角形。
(2) 如图，连接$BO$，过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$，
由垂径定理得$BC = 2BD$；由圆周角定理得圆心角$∠ BOC = 2∠ BAC = 120°$，因$OB=OC$，由等腰三角形三线合一可得$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60°$。
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD = 90° - 60° = 30°$，已知$OB=2$，因此$OD = \frac{1}{2}OB = 1$。
由勾股定理得$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，因此$BC = 2BD = 2\sqrt{3}$。
因$△ ABC$是等边三角形，故$AB = BC = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明过程如上；
(2) $AB$的长为$2\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理；等边三角形判定；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练运用圆周角定理完成角度转化，结合垂径定理构造直角三角形求解边长，能有效检验学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图,点A,B,C,D是$\odot O$上的点,则图中与$∠ A$相等的角是 (
A.$∠ B$
B.$∠ C$
C.$∠ DEB$
D.$∠ D$
D
)A.$∠ B$
B.$∠ C$
C.$∠ DEB$
D.$∠ D$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角的相关性质，要找与∠A相等的角，首先确定∠A所对的弧是弧BC，接下来只要找出图中同样以弧BC为所对弧的圆周角，就能得到和∠A相等的角，这是解题的核心思路。
【解析】
根据圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角相等。观察图形可知，∠A是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，∠D同样是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，因此$∠ A=∠ D$。其余选项中，∠B所对的弧为弧CD，∠C所对的弧为弧BD，∠DEB是弦AB、CD相交形成的角，均不与∠A相等，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查对圆周角定理的理解与应用，解题关键是准确找到各角对应的弧，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角的相关性质，要找与∠A相等的角，首先确定∠A所对的弧是弧BC，接下来只要找出图中同样以弧BC为所对弧的圆周角，就能得到和∠A相等的角，这是解题的核心思路。
【解析】
根据圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角相等。观察图形可知，∠A是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，∠D同样是$\odot O$中弧BC所对的圆周角，因此$∠ A=∠ D$。其余选项中，∠B所对的弧为弧CD，∠C所对的弧为弧BD，∠DEB是弦AB、CD相交形成的角，均不与∠A相等，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查对圆周角定理的理解与应用，解题关键是准确找到各角对应的弧，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. (2025长沙)如图,AC,BC为$\odot O$的弦,连接OA,OB,OC.若$∠ AOB=40°,∠ OCA=30°$,则$∠ BCO$的度数为 (
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
C
)A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先利用圆的半径相等的性质，得到△OAC和△OBC均为等腰三角形。第一步先在等腰△OAC中，根据已知底角∠OCA=30°，结合三角形内角和定理计算出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；第三步在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理即可算出底角∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
又
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠CBO，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题型，解题核心是抓住圆的半径相等构造等腰三角形，再结合角度的和差关系与三角形内角和定理逐步推导计算，思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的半径相等的性质，得到△OAC和△OBC均为等腰三角形。第一步先在等腰△OAC中，根据已知底角∠OCA=30°，结合三角形内角和定理计算出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；第三步在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理即可算出底角∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
又
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠CBO，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题型，解题核心是抓住圆的半径相等构造等腰三角形，再结合角度的和差关系与三角形内角和定理逐步推导计算，思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$，若$∠ AOD = 50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOD求出它所对的弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；再利用角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后结合“直径所对的圆周角是直角”的性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD对应的圆心角为$∠ AOD=50°$，对应的圆周角为$∠ ABD$，因此$∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
2. 因为BA平分$∠ CBD$，所以$∠ ABC = ∠ ABD = 25°$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB = 90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此$∠ A = 90° - ∠ ABC = 90° - 25° = 65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、角平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，主要考查圆的基本性质和三角形基础性质的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、直径与圆周角的关系，整体计算量小，思路清晰明确，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：首先根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOD求出它所对的弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；再利用角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后结合“直径所对的圆周角是直角”的性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD对应的圆心角为$∠ AOD=50°$，对应的圆周角为$∠ ABD$，因此$∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
2. 因为BA平分$∠ CBD$，所以$∠ ABC = ∠ ABD = 25°$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB = 90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此$∠ A = 90° - ∠ ABC = 90° - 25° = 65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、角平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，主要考查圆的基本性质和三角形基础性质的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、直径与圆周角的关系，整体计算量小，思路清晰明确，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的半径是
5
cm. 答案
4. 5
解析
【分析】
要确定圆玻璃镜的半径，首先需找到圆的直径。已知直角三角板的直角顶点O在圆周上，∠MON=90°，且M、N也在圆周上，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN是圆的直径。再在Rt△MON中，已知两条直角边的长度，用勾股定理求出MN的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
∴ 根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，即MN为该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8cm，ON=6cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
∴ 圆玻璃镜的半径为$10÷2=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是结合直角条件和圆周角定理推论确定直径，再用勾股定理计算长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定圆玻璃镜的半径，首先需找到圆的直径。已知直角三角板的直角顶点O在圆周上，∠MON=90°，且M、N也在圆周上，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN是圆的直径。再在Rt△MON中，已知两条直角边的长度，用勾股定理求出MN的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
∴ 根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，即MN为该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8cm，ON=6cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
∴ 圆玻璃镜的半径为$10÷2=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是结合直角条件和圆周角定理推论确定直径，再用勾股定理计算长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.（新考向）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
4
台。答案
5. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确监视器的监控角是圆周角，我们可以利用圆周角定理先求出该监控角对应的弧所对的圆心角：要监控整个圆形展区，所有监视器覆盖的圆心角之和需要至少等于周角360°，计算需要多少个这样的圆心角能覆盖360°，即可得到最少需要的监视器数量。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知监控角（圆周角）为55°，则1台监视器能监控的圆弧对应的圆心角为：$2×55°=110°$
接下来计算覆盖整个圆（对应圆心角360°）需要的台数：
3台监视器可覆盖的圆心角总和：$3×110°=330°＜360°$，无法完全覆盖整个展区；
4台监视器可覆盖的圆心角总和：$4×110°=440°≥360°$，可以完全覆盖整个展区。
因此最少需要安装4台这样的监视器。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理、周角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆周角定理的应用，解题的关键是将实际的监控范围转化为数学中对应的圆心角进行计算，注意计算结果需满足完全覆盖的要求，要向上取整，不能直接用四舍五入得到结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确监视器的监控角是圆周角，我们可以利用圆周角定理先求出该监控角对应的弧所对的圆心角：要监控整个圆形展区，所有监视器覆盖的圆心角之和需要至少等于周角360°，计算需要多少个这样的圆心角能覆盖360°，即可得到最少需要的监视器数量。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知监控角（圆周角）为55°，则1台监视器能监控的圆弧对应的圆心角为：$2×55°=110°$
接下来计算覆盖整个圆（对应圆心角360°）需要的台数：
3台监视器可覆盖的圆心角总和：$3×110°=330°＜360°$，无法完全覆盖整个展区；
4台监视器可覆盖的圆心角总和：$4×110°=440°≥360°$，可以完全覆盖整个展区。
因此最少需要安装4台这样的监视器。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理、周角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆周角定理的应用，解题的关键是将实际的监控范围转化为数学中对应的圆心角进行计算，注意计算结果需满足完全覆盖的要求，要向上取整，不能直接用四舍五入得到结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB为$\odot O$的直径，$AB ⊥ CD$，垂足为点$E$，$∠ A = 30°$，连接$OD$。
(1)求$∠ DOE$的度数；
(2)若$BE = 2$，求$\odot O$的半径。
(1)求$∠ DOE$的度数；
(2)若$BE = 2$，求$\odot O$的半径。
答案
6. 解:(1)如图,连接CO.
由圆周角定理,得$∠COB = 2∠A = 60°$,即$∠COE = 60°$.
∵ $AB ⊥ CD$,
∴ $\overgroup{BC} = \overgroup{BD}$.
∴ $∠DOE = ∠COE = 60°$.
(2)
∵ $∠DOE = 60°,AB ⊥ CD$,
∴ $∠ODE = 30°. ∴ OE = \frac{1}{2}OD$.
∵ $OB = OD,∴ BE = \frac{1}{2}OD$.
∵ $BE = 2,∴ OD = 4$,即$\odot O$的半径为4.
解析
【分析】
(1) 求解∠DOE的度数，首先结合已知条件∠A=30°，可通过圆周角定理先求得同弧对应的圆心角∠COB的度数，再利用垂径定理得到弧BC与弧BD相等，根据等弧所对圆心角相等即可推出∠DOE的度数。
(2) 求⊙O的半径，可先在Rt△OED中根据∠DOE=60°推出∠ODE=30°，利用直角三角形30°角对应的直角边是斜边一半的性质得到OE与OD的关系，再结合OB=OD，推导得出BE与OD的数量关系，代入BE的长度即可求出半径。
【解析】
(1) 如图，连接CO.
由圆周角定理，得$∠COB = 2∠A = 2×30°=60°$，即$∠COE = 60°$。
∵ $AB ⊥ CD$，AB为⊙O的直径，
根据垂径定理可得$\overgroup{BC} = \overgroup{BD}$，
∴ $∠DOE = ∠COE = 60°$。
(2)
∵ $∠DOE = 60°,AB ⊥ CD$，
∴ 在$Rt△ OED$中，$∠ODE = 90°-60°=30°$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OD$。
∵ $OB = OD$，且$OE=OB-BE$，
∴ $OD-BE=\frac{1}{2}OD$，即$BE = \frac{1}{2}OD$。
∵ $BE = 2$，
∴ $OD = 2BE=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DOE=60°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查圆的基本性质与直角三角形性质的结合应用，解题的关键是合理添加辅助线，熟练运用相关定理完成角的转化和线段关系的推导，这类题型是圆章节的常考基础题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠DOE的度数，首先结合已知条件∠A=30°，可通过圆周角定理先求得同弧对应的圆心角∠COB的度数，再利用垂径定理得到弧BC与弧BD相等，根据等弧所对圆心角相等即可推出∠DOE的度数。
(2) 求⊙O的半径，可先在Rt△OED中根据∠DOE=60°推出∠ODE=30°，利用直角三角形30°角对应的直角边是斜边一半的性质得到OE与OD的关系，再结合OB=OD，推导得出BE与OD的数量关系，代入BE的长度即可求出半径。
【解析】
(1) 如图，连接CO.
由圆周角定理，得$∠COB = 2∠A = 2×30°=60°$，即$∠COE = 60°$。
∵ $AB ⊥ CD$，AB为⊙O的直径，
根据垂径定理可得$\overgroup{BC} = \overgroup{BD}$，
∴ $∠DOE = ∠COE = 60°$。
(2)
∵ $∠DOE = 60°,AB ⊥ CD$，
∴ 在$Rt△ OED$中，$∠ODE = 90°-60°=30°$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OD$。
∵ $OB = OD$，且$OE=OB-BE$，
∴ $OD-BE=\frac{1}{2}OD$，即$BE = \frac{1}{2}OD$。
∵ $BE = 2$，
∴ $OD = 2BE=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DOE=60°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查圆的基本性质与直角三角形性质的结合应用，解题的关键是合理添加辅助线，熟练运用相关定理完成角的转化和线段关系的推导，这类题型是圆章节的常考基础题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
