一、行程类应用问题
1. 如图是某路口的斑马线路段A—B—C，其中AB=BC=7.5 m，在绿灯亮时，小明共用12.5 s通过AC段，其中通过BC段的速度是通过AB段的速度的1.5倍，求小明通过AB段时的速度.

1. 解:设小明通过AB段时的速度是x m/s,则通过BC段时的速度是1.5x m/s.
根据题意,得$\frac{7.5}{x}+\frac{7.5}{1.5x}=12.5$,解得$x=1$.
经检验,$x=1$是原方程的解,且符合题意.
答:小明通过AB段时的速度是1 m/s.

【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题可按以下思路展开：首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。题目已知AB、BC两段的路程均为7.5m，总通行时间为12.5s，且BC段速度是AB段速度的1.5倍，要求AB段的速度。我们可以设AB段速度为未知数x，用含x的式子表示出BC段的速度，再分别计算两段路程的通行时间，根据“AB段时间+BC段时间=总时间”的等量关系列方程，最后解分式方程并检验即可得到结果。
【解析】
解：设小明通过AB段时的速度是x m/s，则通过BC段时的速度是1.5x m/s。
根据两段路程的通行时间之和等于总时间，列方程得：
$\frac{7.5}{x}+\frac{7.5}{1.5x}=12.5$
化简方程得：$\frac{7.5}{x}+\frac{5}{x}=12.5$，即$\frac{12.5}{x}=12.5$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，分母$x≠0$，$1.5x≠0$，所以$x=1$是原方程的解，且符合实际通行的速度要求。
答：小明通过AB段时的速度是1 m/s。
【答案】
1 m/s
【知识点】
分式方程的应用、行程问题数量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是基础的分式方程应用题型，解题的核心是找准时间和为总时间的等量关系，需要注意分式方程求解后必须检验，既要验证解是否为原方程的根，也要判断解是否符合实际情景。
【难度系数】
0.7

二、工程类应用问题
2. 某地开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域.实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务.实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？

2. 解:设原计划平均每年绿化升级改造的面积是x万平方米,则实际平均每年绿化升级改造的面积是2x万平方米.
根据题意,得$\frac{360}{x}-\frac{360}{2x}=4$,
解得$x=45$.
经检验,$x=45$是原分式方程的解,且符合题意,
则$2x=2×45=90$.
答:实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米.

【分析】
这是工作总量固定的工程类应用题，核心等量关系为“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知总改造面积（工作总量）为360万平方米，实际工作效率是原计划的2倍，且实际完成时间比原计划少4年。解题时先设原计划每年改造面积为未知数，即可表示出实际每年改造面积，再根据“原计划用时-实际用时=4年”列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性，最后换算出实际每年改造的面积即可。
【解析】
解:设原计划平均每年绿化升级改造的面积是x万平方米,则实际平均每年绿化升级改造的面积是2x万平方米.
根据题意,得$\frac{360}{x}-\frac{360}{2x}=4$,
解得$x=45$.
经检验,$x=45$是原分式方程的解,且符合题意,
则$2x=2×45=90$.
答:实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米.
【答案】
实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米
【知识点】
分式方程的应用、工程问题等量关系、分式方程验根
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题型，解题核心是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的等量关系列方程，需注意解分式方程后既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际题意。
【难度系数】
0.7

三、营销类应用问题
3. 为推动家乡的学校篮球运动的发展，某公司计划出资12 000元购买一批篮球赠送给家乡的学校.实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10 000元就购买了和原计划一样多的篮球.求每个篮球的原价是多少元.

3. 解:设每个篮球的原价是x元,则每个篮球的实际价格是$(x-20)$元.
根据题意,得$\frac{12000}{x}=\frac{10000}{x-20}$,
解得$x=120$.
经检验,$x=120$是原方程的解,且符合题意.
答:每个篮球的原价是120元.

【分析】
解题的核心是抓住题目中不变的量：原计划购买篮球的数量和实际购买篮球的数量相等。首先设每个篮球的原价为未知数x，由此可推出实际购买时每个篮球的价格为(x-20)元；再根据“购买数量=总出资额÷篮球单价”，分别表示出原计划购买数量和实际购买数量；最后根据数量相等的等量关系列出分式方程，求解后要进行双重检验，既要验证解是否为原分式方程的根，也要验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是$(x-20)$元。
根据题意列方程得：
$\frac{12000}{x}=\frac{10000}{x-20}$
交叉相乘得：$12000(x-20)=10000x$
去括号得：$12000x - 240000 = 10000x$
移项合并同类项得：$2000x = 240000$
解得$x=120$。
经检验，当$x=120$时，$x(x-20)≠0$，所以$x=120$是原方程的解，且符合实际购买的价格要求。
答：每个篮球的原价是120元。
【答案】
每个篮球的原价是120元
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是典型的营销类分式方程应用题，解题关键是找准题中不变的量作为等量关系列方程，要牢记分式方程求解后必须检验，既要符合方程要求也要符合实际意义。
【难度系数】
0.7

4. (2025 湘西州模拟)“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚. 某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A,B两种型号的“文房四宝”共40套，共花费4 300元，其中B型号的“文房四宝”花费3 000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比每套B型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套B型号的“文房四宝”的价格.
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；

(2)请你解答完本题.

4. (1) 1 300 1.3x $\frac{1300}{1.3x}$
(2) 根据题意,得$\frac{1300}{1.3x}+\frac{3000}{x}=40$,
解得$x=100$.
经检验,$x=100$是原方程的解,且符合题意.
答:每套B型号的“文房四宝”的价格为100元.

【分析】
(1) 梳理题目信息填表格：首先总花费为4300元，B型号花费3000元，因此A型号总价为总花费减去B型号花费；已知B型号单价为x元/套，A型号单价比B高30%，因此A单价为B的1.3倍；再根据“数量=总价÷单价”即可求出A的购买数量。
(2) 解题核心是找等量关系：A型号购买数量+B型号购买数量=总套数40套，将表格中两个数量表达式代入即可列出分式方程，按分式方程步骤求解后，注意要检验根是否为原方程的解、是否符合实际意义。
【解析】
(1) 计算A型号相关量：
A总价：$4300-3000=1300$（元）
A单价：$(1+30\%)x=1.3x$（元/套）
A购买数量：根据“数量=总价÷单价”，得$\frac{1300}{1.3x}$（套）
(2) 根据两种型号总数量为40套列方程：
$\frac{1300}{1.3x}+\frac{3000}{x}=40$
化简得：$\frac{1000}{x}+\frac{3000}{x}=40$，即$\frac{4000}{x}=40$
两边同乘x得：$40x=4000$，解得$x=100$
检验：当$x=100$时，原方程分母不为0，是原方程的解，且单价为100元符合实际意义。
答：每套B型号的“文房四宝”的价格为100元。
【答案】
(1) $1300$；$1.3x$；$\frac{1300}{1.3x}$
(2) 每套B型号的“文房四宝”的价格为100元。
【知识点】
分式方程应用；总价单价数量关系；分式方程求解
【点评】
本题是常见的购物类应用题，解题关键是理清各数量间的关系，找准等量关系列方程，要注意解分式方程后必须进行双重检验，既要验证根是否为原方程的解，也要验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7