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四、信息类应用问题
5. 几个小朋友打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是其中两个人的对话：
根据对话中的信息，请你求看演出的小朋友共有多少人.
5. 几个小朋友打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是其中两个人的对话：
根据对话中的信息，请你求看演出的小朋友共有多少人.
答案
5. 解:设每张票原价为x元.
根据题意,得$\frac{360-72}{0.6x}=\frac{360}{x}+2$,
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是原方程的解,且符合题意.
则看演出的小朋友的人数为$\frac{360}{60}+2=8$.
答:看演出的小朋友共有8人.
根据题意,得$\frac{360-72}{0.6x}=\frac{360}{x}+2$,
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是原方程的解,且符合题意.
则看演出的小朋友的人数为$\frac{360}{60}+2=8$.
答:看演出的小朋友共有8人.
解析
【分析】
解题时先抓住题目中的不变量：小朋友的总人数、门票原价、总钱数360元。我们可以先设每张票原价为x元，分别用两种购票情况表示小朋友的人数：①原价购票时，360元可买$\frac{360}{x}$张票，此时差2张票才够每人一张，所以人数为$\frac{360}{x}+2$；②打六折购票时，实际花了360-72=288元，打折后票价为0.6x元，可买$\frac{360-72}{0.6x}$张票，正好够每人一张，所以人数也为$\frac{360-72}{0.6x}$。根据人数相等列出分式方程，解出票价后再代入计算人数即可，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
【解析】
解：设每张票原价为$x$元。
根据小朋友人数不变，列方程得：
$\frac{360-72}{0.6x}=\frac{360}{x}+2$
解方程：
左边化简为$\frac{288}{0.6x}=\frac{480}{x}$，方程变为$\frac{480}{x}=\frac{360}{x}+2$
两边同乘$x$去分母得：$480=360+2x$
解得$x=60$
经检验，$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则小朋友的人数为：$\frac{360}{60}+2=8$（人）
答：看演出的小朋友共有8人。
【答案】
8人
【知识点】
分式方程的应用；打折销售问题；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用类问题，解题核心是找到不变量作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根既要满足方程，也要符合实际情境。
【难度系数】
0.6
解题时先抓住题目中的不变量：小朋友的总人数、门票原价、总钱数360元。我们可以先设每张票原价为x元，分别用两种购票情况表示小朋友的人数：①原价购票时，360元可买$\frac{360}{x}$张票，此时差2张票才够每人一张，所以人数为$\frac{360}{x}+2$；②打六折购票时，实际花了360-72=288元，打折后票价为0.6x元，可买$\frac{360-72}{0.6x}$张票，正好够每人一张，所以人数也为$\frac{360-72}{0.6x}$。根据人数相等列出分式方程，解出票价后再代入计算人数即可，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
【解析】
解：设每张票原价为$x$元。
根据小朋友人数不变，列方程得：
$\frac{360-72}{0.6x}=\frac{360}{x}+2$
解方程：
左边化简为$\frac{288}{0.6x}=\frac{480}{x}$，方程变为$\frac{480}{x}=\frac{360}{x}+2$
两边同乘$x$去分母得：$480=360+2x$
解得$x=60$
经检验，$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则小朋友的人数为：$\frac{360}{60}+2=8$（人）
答：看演出的小朋友共有8人。
【答案】
8人
【知识点】
分式方程的应用；打折销售问题；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用类问题，解题核心是找到不变量作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根既要满足方程，也要符合实际情境。
【难度系数】
0.6
五、决策类应用问题
6. 某枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果. 现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成. 为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成.
(1)若由乙队单独摘果，需要几天才能完成？
(2)若有三种摘果方案，方案一：单独请甲队；方案二：同时请甲、乙两队；方案三：单独请乙队. 甲队每摘果一天，需支付给甲队1 000元工资；乙队每摘果一天，需支付给乙队1 600元工资. 你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
6. 某枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果. 现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成. 为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成.
(1)若由乙队单独摘果，需要几天才能完成？
(2)若有三种摘果方案，方案一：单独请甲队；方案二：同时请甲、乙两队；方案三：单独请乙队. 甲队每摘果一天，需支付给甲队1 000元工资；乙队每摘果一天，需支付给乙队1 600元工资. 你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
答案
6. (1) 设由乙队单独摘果,需要x天才能完成.
根据题意,得$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$,
解得$x=3$.
经检验,$x=3$是原方程的解,且符合题意.
答:若由乙队单独摘果,需要3天才能完成.
(2) 方案一:总工资为$1000×6=6000$(元);
方案二:总工资为$(1000+1600)×2=5200$(元);
方案三:总工资为$1600×3=4800$(元).
因为$4800＜5200＜6000$,
所以方案三总工资最低.
答:方案三需支付的总工资最低,最低总工资是4800元.
根据题意,得$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$,
解得$x=3$.
经检验,$x=3$是原方程的解,且符合题意.
答:若由乙队单独摘果,需要3天才能完成.
(2) 方案一:总工资为$1000×6=6000$(元);
方案二:总工资为$(1000+1600)×2=5200$(元);
方案三:总工资为$1600×3=4800$(元).
因为$4800＜5200＜6000$,
所以方案三总工资最低.
答:方案三需支付的总工资最低,最低总工资是4800元.
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用及方案选择问题，解题思路如下：
(1) 工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。已知甲单独完成需6天，可得甲的工作效率为$\frac{1}{6}$；设乙单独完成需x天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。根据“甲乙合作的效率和×合作时间=总工作量1”列分式方程，求解后需检验根是否符合题意。
(2) 按照“总工资=每日工资×工作天数”分别计算三种方案的总工资，再比较数值大小，最小数值对应的就是最优方案。
【解析】
(1) 设由乙队单独摘果，需要x天才能完成，将总摘果工作量看作单位“1”。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$
解得$x=3$
经检验，$x=3$是原方程的解，且符合题意。
(2) 分别计算三种方案的总工资：
方案一：单独请甲队，总工资为$1000×6=6000$（元）；
方案二：同时请甲、乙两队，总工资为$(1000+1600)×2=5200$（元）；
方案三：单独请乙队，总工资为$1600×3=4800$（元）。
因为$4800＜5200＜6000$，所以方案三总工资最低。
【答案】
(1) 若由乙队单独摘果，需要3天才能完成；
(2) 选择方案三完成所有摘果任务需支付的总工资最低，最低总工资是4800元。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、方案优化选择
【点评】
本题结合生活实际考查分式方程的应用和方案选择，核心是掌握工程问题的基本数量关系，注意分式方程求解后必须检验根的合理性，方案选择类问题需准确计算各方案的对应成本再比较即可，整体逻辑清晰，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用及方案选择问题，解题思路如下：
(1) 工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。已知甲单独完成需6天，可得甲的工作效率为$\frac{1}{6}$；设乙单独完成需x天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。根据“甲乙合作的效率和×合作时间=总工作量1”列分式方程，求解后需检验根是否符合题意。
(2) 按照“总工资=每日工资×工作天数”分别计算三种方案的总工资，再比较数值大小，最小数值对应的就是最优方案。
【解析】
(1) 设由乙队单独摘果，需要x天才能完成，将总摘果工作量看作单位“1”。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$
解得$x=3$
经检验，$x=3$是原方程的解，且符合题意。
(2) 分别计算三种方案的总工资：
方案一：单独请甲队，总工资为$1000×6=6000$（元）；
方案二：同时请甲、乙两队，总工资为$(1000+1600)×2=5200$（元）；
方案三：单独请乙队，总工资为$1600×3=4800$（元）。
因为$4800＜5200＜6000$，所以方案三总工资最低。
【答案】
(1) 若由乙队单独摘果，需要3天才能完成；
(2) 选择方案三完成所有摘果任务需支付的总工资最低，最低总工资是4800元。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、方案优化选择
【点评】
本题结合生活实际考查分式方程的应用和方案选择，核心是掌握工程问题的基本数量关系，注意分式方程求解后必须检验根的合理性，方案选择类问题需准确计算各方案的对应成本再比较即可，整体逻辑清晰，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.7
