1.如果一个正多边形的中心角是$20°$,那么这个正多边形的边数为.

1. 18

【分析】
解题时首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角大小相等，边数与中心角的个数相等。因此要求正多边形的边数，只需用360°除以单个中心角的度数即可，代入已知的中心角度数就能算出结果。
【解析】
解：
∵正多边形的中心角总和为360°，且每个中心角的度数相等，正n边形对应有n个相等的中心角
∴边数公式为：$n=\frac{360°}{\mathrm{单个中心角的度数}}$
已知中心角为$20°$，代入公式得：
$n=\frac{360°}{20°}=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 正多边形中心角性质
2. 正多边形边数计算
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考察正多边形中心角和边数的对应关系，解题关键是牢记正多边形所有中心角的和为360°，掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在正十边形中,∠BAC的度数是（）

A.$10°$
B.$18°$
C.$22.5°$
D.$36°$

2. B

【分析】
要计算正十边形中∠BAC的度数，可结合正多边形的外接圆性质与圆周角定理解题：第一步，正多边形的所有顶点都在其外接圆上，且各边对应的外接圆弧度数相等，先计算单条边对应弧的度数；第二步，∠BAC是边BC对应的弧所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出角度。
【解析】
∵正十边形的所有顶点共外接圆，且各边所对的外接圆弧度数相等，
∴单条边对应弧的度数为$\frac{360°}{10}=36°$，即$\overset{\frown}{BC}$的度数为$36°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×36°=18°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，将正多边形的性质与圆周角定理结合考查，解题的关键是建立正多边形的边与外接圆弧度数的对应关系，熟练运用圆周角定理进行角度计算。
【难度系数】
0.7

3. (2025宿迁)如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接AC,则$∠ ACD$的度数为.

3. 72°

【分析】
要求∠ACD的度数，可先求正五边形的内角度数，再求∠ACB的度数，用∠BCD减去∠ACB即可得到结果。首先利用多边形内角和公式计算正五边形的内角和，进而得到每个内角的度数；再根据正五边形各边相等得到△ABC为等腰三角形，求出∠ACB的度数，最后作差得到∠ACD的度数。
【解析】
解：正五边形的内角和为$(5-2) × 180° = 540°$，
因此正五边形每个内角的度数为$540° ÷ 5 = 108°$，即$∠ B = ∠ BCD = 108°$。
∵ 正五边形各边相等，
∴ $AB=BC$，△ABC为等腰三角形，
∴ $∠ ACB = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = 36°$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 108° - 36° = 72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
多边形内角和，正多边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题关键是熟练掌握正多边形内角计算方法和等腰三角形的性质，计算量小，思路较直接。
【难度系数】
0.7

4.若正六边形的边长为2,则下列说法正确的是 ()

A.中心角是 $120°$
B.半径为2
C.边心距为1
D.面积为$\sqrt{3}$

4. B

【分析】
本题考查正六边形的相关性质，解题思路是结合正多边形与外接圆的关系，逐个计算验证每个选项：首先回忆正多边形中心角的计算公式，再利用正六边形可分割为6个全等正三角形的特点，依次判断半径、边心距、面积的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：正n边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，正六边形边数$n=6$，因此中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，不是$120°$，A错误。
2. 分析选项B：正六边形的外接圆半径（简称半径）等于正六边形的边长，已知边长为2，因此半径为2，B正确。
3. 分析选项C：边心距是正多边形中心到边的距离，由正六边形可分割为6个边长为2的等边三角形，边心距为等边三角形的高，计算得$h=2×\sin60°=\sqrt{3}$，不是1，C错误。
4. 分析选项D：正六边形面积为6个边长为2的等边三角形面积之和，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，因此总面积为$6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，不是$\sqrt{3}$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；正多边形中心角计算；正多边形面积计算
【点评】
本题属于正多边形相关的基础考题，核心考点是正六边形的半径与边长相等的特殊性质，同时要求掌握正多边形中心角、边心距、面积的基础计算方法，熟记正六边形的结构特点可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.（数学文化）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形.若$\odot O$的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）

A.$π$
B.$2π$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$2\sqrt{2}$

5. D

【分析】
求解圆内接正多边形的面积时，可将正多边形拆分为若干个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于外接圆半径，顶角等于周角除以正多边形的边数。本题正八边形可拆分为8个腰长为1的等腰三角形，先计算单个三角形的面积，再乘8即可得到正八边形的总面积。
【解析】
圆内接正八边形可被半径分为8个全等的等腰三角形：
1. 求单个等腰三角形的顶角：周角为$360°$，因此每个等腰三角形的顶角为$360°÷8=45°$，等腰三角形的腰长等于圆的半径1；
2. 计算单个等腰三角形的面积：根据两边及夹角的三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$a、b$为两边长度，$θ$为两边夹角），代入$a=b=1$，$θ=45°$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
3. 计算正八边形总面积：总面积为$8×\frac{\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；三角形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合“割圆术”的数学文化背景出题，解题核心是将正多边形面积转化为多个等腰三角形的面积和，既考查了基础几何知识点的应用，也引导学生了解中国古代数学的优秀成果。
【难度系数】
0.7

6. 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$. E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，连接BE,CE,若$∠ CBE = 15°, BE = 3$,则BC的长为.

6. $3\sqrt{2}$

【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，正方形内接于圆，正方形的边对应的圆心角为90°，因此先连接OB、OC，得到等腰直角△BOC，只要求出圆的半径，就可以用勾股定理算出BC的长度。接下来已知∠CBE=15°，结合等腰△OBC的底角为45°，可求出∠OBE=60°，再连接OE，因为OB、OE都是半径，所以△OBE是等边三角形，直接得到半径OB=BE=3，最后代入计算BC即可。
【解析】
解：连接OB、OC、OE。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 劣弧$\overset{\frown}{BC}$的度数为$360°÷4=90°$，即圆心角$∠ BOC=90°$。
又
∵ $OB=OC$（$\odot O$的半径相等），
∴ $∠ OBC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
已知$∠ CBE=15°$，
∴ $∠ OBE=∠ OBC+∠ CBE=45°+15°=60°$。
又
∵ $OB=OE$（$\odot O$的半径相等），
∴ $△ OBE$是等边三角形，
∴ $OB=BE=3$。
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线，通过构造等边三角形得到圆的半径，再利用勾股定理计算边长，能够有效考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

7. 如图，点A是$\odot O$上一点.
(1)求作：$\odot O$的内接正三角形ABC；(尺规作图，不写作法)
(2)若$\odot O$的半径为6，求$△ ABC$的边长.

7. 解:(1)如图所示,△ABC即为所求.
(2)如图,连接OC,过点O作OH⊥BC于点H.
∴ $CH = \frac{1}{2}BC$.
在Rt△COH中,OC = 6,
∠OCH = 30°.
∴ OH = 3.
∴ 由勾股定理,得 $CH = 3\sqrt{3}$.
∴ $BC = 6\sqrt{3}$.
∴ △ABC的边长为$6\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 作⊙O的内接正三角形时，利用圆内接正三角形的中心角为120°的特征，以点A为起点，用等于圆半径的长度为弦长在圆周上依次截取两段对应的弧，得到顶点B、C，连接三点即可完成作图。
(2) 求正三角形边长时，可通过垂径定理，过圆心作边的垂线将边平分，把问题转化为解直角三角形问题。结合正三角形的性质得到直角三角形内锐角的度数，再用勾股定理求出半边长，进而得到正三角形的完整边长。
【解析】
(1) 作图结果如下：

(2) 连接OC，过点O作OH⊥BC于点H，
根据垂径定理可得：$CH = \frac{1}{2}BC$。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴圆心角$∠ COB = \frac{360°}{3}=120°$，
又
∵OC=OB=6，
∴$∠ OCH = \frac{180°-120°}{2}=30°$，
在Rt△COH中，30°角对应的直角边等于斜边的一半，
∴$OH = \frac{1}{2}OC=3$，
由勾股定理得：$CH = \sqrt{OC^2 - OH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$BC = 2CH = 6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 如图所示，△ABC即为所求。
(2) △ABC的边长为$6\sqrt{3}$。
【知识点】
正多边形尺规作图、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合了尺规作图和圆内接正三角形的性质计算，既考察了动手操作能力，也考察了垂径定理、勾股定理的实际应用，是正多边形与圆相结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

8.（规律探究）如图1,2,3,…,n,点M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM = CN,连接OM,ON.
[图n]
(1)图1中∠MON的度数是;
(2)图2中∠MON的度数是,图3中∠MON的度数是;
(3)∠MON的度数与正n边形边数n的关系为.(直接写出答案)

8. (1) $120°$
8. (2) $90°$ $72°$
8. (3) $\frac{360°}{n}$

【分析】
解决本题的核心思路是通过作辅助线构造全等三角形，将待求角转化为正多边形的中心角：①首先连接OB、OC，利用正多边形内接于圆的性质，可得正多边形的半径相等，对应边角相等；②结合已知BM=CN，证明△OBM≌△OCN，得到角的等量关系，进而推导出∠MON等于正多边形的中心角∠BOC；③再结合正n边形中心角为$\frac{360°}{n}$的性质，分别代入不同边数计算，最终归纳出通用规律。
【解析】
连接OB、OC。
已知正n边形内接于$\odot O$，则OB、OC均为$\odot O$的半径，故$OB=OC$，且正n边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{n}$，同时$∠ OBM=∠ OCN$（正多边形的半径平分内角，对应底角相等）。
在$△ OBM$和$△ OCN$中：
$\{\begin{array}{l}OB=OC\\ ∠ OBM=∠ OCN\\ BM=CN\end{array} $
$\therefore △ OBM≌△ OCN（SAS）$，可得$∠ BOM=∠ CON$。
$\therefore ∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC=\frac{360°}{n}$。
(1)当n=3（正三角形）时，$∠ MON=\frac{360°}{3}=120°$；
(2)当n=4（正方形）时，$∠ MON=\frac{360°}{4}=90°$；当n=5（正五边形）时，$∠ MON=\frac{360°}{5}=72°$；
(3)综上可得$∠ MON$与正n边形边数n的关系为$∠ MON=\frac{360°}{n}$。
【答案】
(1) $120°$
(2) $90°$；$72°$
(3) $∠ MON=\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将未知角转化为熟悉的正多边形中心角，体现了从特殊到一般的归纳思想，能有效锻炼逻辑推理和规律总结能力。
【难度系数】
0.7