1. 正多边形的有关概念:(如图)
(1)中心:是指正多边形的外接圆的;
(2)半径:是指正多边形的外接圆的;
(3)中心角:是指正多边形每一边所对的角;
(4)边心距:是指正多边形的中心到它的一边的.

1. (1) 圆心 (2) 半径 (3) 圆心 (4) 距离

【分析】
本题考查正多边形和圆相关的基础概念，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中正多边形中心、半径、中心角、边心距的对应定义，逐一匹配填写即可。
【解析】
根据正多边形的相关定义逐一判断：
(1) 正多边形的中心是指正多边形外接圆的圆心，因此第一空填圆心；
(2) 正多边形的半径就是其外接圆的半径，因此第二空填半径；
(3) 正多边形的中心角是正多边形每一边所对的圆心角，因此第三空填圆心；
(4) 正多边形的边心距是正多边形的中心到它的一边的距离，因此第四空填距离。
【答案】
(1)圆心；(2)半径；(3)圆心；(4)距离
【知识点】
正多边形有关概念，正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握正多边形和圆相关的基础定义就能轻松解答，这类概念是后续求解正多边形周长、面积等计算问题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9

2.【例1】填表：
| 正多边形 | 内角度数 | 半径 | 中心角 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| （圆内接正三角形） | | 2 | | | | | |
| （圆内接正方形） | | | | 4 | | | |
| （圆内接正六边形） | | | | | 1 | | |

2. 60° 120° 2√3 1 6√3 3√3 90° 2√2 90° 2 16 16 120° 2√3/3 60° 2√3/3 4√3 2√3

【分析】
解决本题需要结合正多边形的基本性质，将正多边形的计算转化为直角三角形的边角计算：
1. 先明确正n边形的基本公式：内角和为$(n-2)×180°$，单个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，中心角为$\frac{360°}{n}$；
2. 连接正多边形的中心与顶点、中心与边的中点，可得到由“半径、边心距、半边长”组成的直角三角形，半中心角为中心角的一半，结合特殊角的三角函数或勾股定理，即可根据已知量求出所有未知量；
3. 最后用周长公式（边长×n）、面积公式（$\frac{1}{2}×$周长×边心距）计算周长和面积。
【解析】
圆内接正三角形（$n=3$）
1. 内角度数：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
2. 中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
3. 已知半径$R=2$，半中心角为$60°$：
边心距$r=R\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，半边长$=R\sin60°=\sqrt{3}$，边长$=2\sqrt{3}$
4. 周长$=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，面积$=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
圆内接正方形（$n=4$）
1. 内角度数：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
2. 中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
3. 已知边长为4，半边长为2，半中心角为$45°$：
边心距$r=2$，半径$R=\frac{2}{\sin45°}=2\sqrt{2}$
4. 周长$=4×4=16$，面积$=\frac{1}{2}×16×2=16$
圆内接正六边形（$n=6$）
1. 内角度数：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
2. 中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
3. 已知边心距$r=1$，半中心角为$30°$：
半径$R=\frac{1}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，半边长$=R\sin30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，边长$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
4. 周长$=6×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$，面积$=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×1=2\sqrt{3}$
【答案】
$60°$；$120°$；$2\sqrt{3}$；$1$；$6\sqrt{3}$；$3\sqrt{3}$；$90°$；$2\sqrt{2}$；$90°$；$2$；$16$；$16$；$120°$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；$60°$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；$4\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质；特殊角的三角函数；正多边形与圆的计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础题型，解题的关键是掌握将正多边形问题转化为直角三角形求解的思路，熟记正多边形内角、中心角公式和特殊角三角函数值就能顺利完成计算。
【难度系数】
0.7

3.【例2】如图，$\odot O$的半径为r. 请在图中画出$\odot O$的内接正方形ABCD，并求出它的边长.（不写作法，保留作图痕迹）

3. 解:如图,正方形ABCD即为所求.
∵ 正方形的中心角∠AOB = 90°,
OA = OB,
∴ △OAB是等腰直角三角形.
∵ ⊙O的半径为r,
∴ OB = OA = r.
∴ 在Rt△OAB中,由勾股定理,得
AB = √2 r.
∴ 它的边长为√2 r.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确圆内接正方形的特征：四个顶点都在圆上，且正方形的中心与圆心重合，相邻顶点与圆心的夹角（中心角）为$360°÷4=90°$。作图时只需画出两条互相垂直的直径，顺次连接直径的四个端点即可得到内接正方形。求边长时，观察相邻两个顶点和圆心构成的三角形是等腰直角三角形，腰长等于圆的半径$r$，再用勾股定理就能算出斜边也就是正方形的边长。
【解析】
解：作出的正方形$ABCD$如图所示。
∵ 正方形是正四边形，其中心角$∠ AOB = \frac{360°}{4}=90°$，
又
∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB=r$，
$\therefore △ OAB$是等腰直角三角形。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$。
【答案】
如图，正方形$ABCD$即为所求，它的边长为$\sqrt{2}r$。
【知识点】
正多边形和圆，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题是正多边形与圆的基础题型，既考查了圆内接正方形的作图方法，也考查了结合等腰直角三角形特征和勾股定理计算正多边形边长的能力，解题的关键是明确正多边形的中心角与边数的关系。
【难度系数】
0.8

4. (人教九上$\mathrm{P}_{163}$素材改编)如图，$\odot O$的半径为4.
(1)尺规作图:作它的内接正六边形$ABCDEF$；
(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求正六边形$ABCDEF$的周长.

4. 解: (1) 如图所示, 正六边形ABCDEF即为所求.
(2)如图,连接OA,OB.
∵ 正六边形的中心角 ∠AOB = 60°,OA = OB,
∴ △OAB是等边三角形.
∵ ⊙O的半径为4,
∴ AB = OA = 4.
∴ 正六边形ABCDEF的周长为6×4 = 24.

【分析】
（1）尺规作圆内接正六边形：正六边形的边长和它外接圆的半径长度相等，因此可以以圆的半径为长度，在圆周上依次截取6个等分点，再顺次连接这6个点，就能得到所求的内接正六边形。
（2）求正六边形周长：正六边形的6条边长度相等，因此只需求出1条边的长度再乘6即可。连接OA、OB得到中心角，正六边形的中心角为360°÷6=60°，又因为OA、OB都是圆的半径，长度相等，所以△OAB是等边三角形，边长等于半径，进而就能求出正六边形的周长。
【解析】
（1）作图：在⊙O上任意取一点A，以A为圆心、⊙O的半径4为半径画弧，交⊙O于点B；再以B为圆心、半径4为长度画弧，交⊙O于点C；按此方法依次得到点D、E、F，最后顺次连接A、B、C、D、E、F，即可得到正六边形ABCDEF，保留作图痕迹即可。
（2）连接OA、OB：
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=4$，
∴ $△ OAB$是等边三角形，
∴ $AB=OA=4$，
∵ 正六边形ABCDEF的6条边长度相等，
∴ 周长为$6× AB=6×4=24$。
【答案】
(1) 如图所示，正六边形ABCDEF即为所求。
(2) 正六边形ABCDEF的周长为24。
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形判定，尺规作图
【点评】
本题属于基础题，主要考查正六边形的性质及应用，解题的关键是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一核心结论，即可快速完成作图和周长计算。
【难度系数】
0.8