3. 关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是-2和1，则$n^m$的值为（）

A.-8
B.8
C.16
D.-16

3. C

【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解参数m、n的值，再代入计算$n^m$的结果。解题思路为：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，将已知的两个根代入这两个关系式，分别求出m和n，最后计算乘方即可得到答案。
【解析】
已知关于x的一元二次方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根为$x_1=-2$，$x_2=1$，根据根与系数的关系：
1. 两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，代入$a=2$，$b=m$，$x_1=-2$，$x_2=1$得：
$-2 + 1 = -\frac{m}{2}$
即$-1 = -\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
2. 两根之积：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，代入$a=2$，$c=n$，$x_1=-2$，$x_2=1$得：
$(-2) × 1 = \frac{n}{2}$
即$-2 = \frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
将$m=2$，$n=-4$代入$n^m$得：$n^m = (-4)^2 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，准确求出参数后代入计算即可，注意负数的偶次幂是正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

4. (2026 泉州期末)已知 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ x^2 - 2025x - 2026 = 0 $ 的两个实数根，则 $ x_1 + x_2 = $

4. 2025

【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理的内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中找出二次项系数$a$和一次项系数$b$，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
题中方程为$x^2 - 2025x - 2026 = 0$，对应系数为：$a=1$，$b=-2025$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2025}{1}=2025$
【答案】
2025
【知识点】
韦达定理；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的直接应用，解题关键是准确记忆两根和与方程系数的对应关系，正确提取方程中各项的系数代入计算，不易出错。
【难度系数】
0.9

5. 已知关于$x$的方程$x^2 + mx -4=0$的一个根为1，则该方程的另一个根为。

5. -4

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需计算参数m的值，直接通过两根之积的关系求解另一个根，计算更简便；思路二：先根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 + mx -4=0$，则$a=1$，$c=-4$，已知一个根$x_1=1$，代入得：
$1· x_2=\frac{-4}{1}=-4$
解得$x_2=-4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$1^2 + m×1 -4=0$
解得$m=3$，则原方程为$x^2+3x-4=0$
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-4$
即方程的另一个根为$-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，两种解题方法均适用，其中运用根与系数的关系可简化计算步骤，做题时可灵活选择解题方法。
【难度系数】
0.9

6.已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个根，则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值为。

6. $-\frac{1}{3}$

【分析】
要求代数式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，可先对该式通分化简，得到$\frac{m+n}{mn}$，因此只需求出一元二次方程两根之和$m+n$、两根之积$mn$即可。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解出方程根的具体值，可直接通过方程系数计算得到$m+n$和$mn$，最后整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个根，该方程中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$，
$mn = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1}=-3$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}+\frac{m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$，
将$m+n=1$，$mn=-3$代入得：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
根与系数的关系；分式的化简求值
【点评】
本题属于基础题型，考查根与系数关系的应用，通过整体代入的方法求解，无需计算出根的具体值，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.8

7. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) $x^2 + 2x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$；
(3) $2x^2 + 3 = 7x^2 + x$；
(4) $5x - 5 = 6x^2 - 4$。

7. 解:(1)$x_1 + x_2 = -2,x_1 x_2 = 1.$
(2)$x_1 + x_2 = -\sqrt{2},x_1 x_2 = -3.$
(3)方程化为 $5x^2 + x - 3 = 0,$
$x_1 + x_2 = -\frac{1}{5},x_1 x_2 = -\frac{3}{5}.$
(4)方程化为 $6x^2 - 5x + 1 = 0,$
$x_1 + x_2 = \frac{5}{6},x_1 x_2 = \frac{1}{6}.$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：① 先明确韦达定理的内容：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程存在两个实数根，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；② 对于已经是一般形式的方程，直接确定$a、b、c$的值代入公式计算即可；③ 不是一般形式的方程，先通过移项、合并同类项整理为一般形式，再确定$a、b、c$的值代入计算，注意计算时不要弄错各项的符号。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 2x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1，b=2，c=1$，
根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$；
(2) 方程$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$为一般形式，其中$a=1，b=\sqrt{2}，c=-3$，
根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$；
(3) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得：$5x^2 + x - 3 = 0$，其中$a=5，b=1，c=-3$，
根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$；
(4) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得：$6x^2 - 5x + 1 = 0$，其中$a=6，b=-5，c=1$，
根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$x_1 + x_2 = -2,x_1 x_2 = 1.$
(2)$x_1 + x_2 = -\sqrt{2},x_1 x_2 = -3.$
(3)$x_1 + x_2 = -\frac{1}{5},x_1 x_2 = -\frac{3}{5}.$
(4)$x_1 + x_2 = \frac{5}{6},x_1 x_2 = \frac{1}{6}.$
【知识点】
韦达定理；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是先将方程化为标准的一元二次方程一般形式，准确识别各项系数，尤其要注意系数的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

8. 在解关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$时，小红看错了常数项$q$，得到方程的两个根是$-3,1$. 小明看错了一次项系数$p$，得到方程的两个根是$5,-4$. 则原方程是（）

A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 + 2x - 20 = 0$
C.$x^2 - 2x - 20 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$

8. B

【分析】
本题需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：①小红仅看错常数项q，说明她求得的根对应的一次项系数p是正确的，可通过她的两根之和计算正确的p值；②小明仅看错一次项系数p，说明他求得的根对应的常数项q是正确的，可通过他的两根之积计算正确的q值；③将求得的p、q代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，若两根为$x_1、x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 求正确的$p$值：
小红看错$q$，因此$p$值正确，她得到的两根为$-3、1$，代入两根和公式：
$-3+1=-p$，即$-2=-p$，解得$p=2$。
2. 求正确的$q$值：
小明看错$p$，因此$q$值正确，他得到的两根为$5、-4$，代入两根积公式：
$5×(-4)=q$，解得$q=-20$。
3. 确定原方程：
将$p=2、q=-20$代入$x^2 + px + q = 0$，得原方程为$x^2 + 2x - 20 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，一元二次方程解的性质
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时，另一项对应的根的运算关系仍然成立”这一关键点，无需解方程即可快速求出原方程的系数，是一元二次方程部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

9.已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两个根分别为$m,n$.
(1)若$m=2,n=-4$,求$p,q$的值;
(2)若$p=3,q=-1$,求$2m + mn + 2n$的值.

9. 解:(1)$\because 2-4 = -\frac{2}{p},2×(-4) = \frac{q}{p},$
$\therefore p=1,q=-8.$
(2)$\because m + n = -\frac{2}{p} = -\frac{2}{3},mn = \frac{q}{p} = -\frac{1}{3},$
$\therefore 2m + mn + 2n = 2(m + n) + mn = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}.$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。对于（1），已知方程的两个根，我们可以先根据韦达定理写出两根之和、两根之积与方程系数p、q的关系式，再将已知的m、n的值代入，即可得到关于p、q的方程，求解就能得到p、q的值；对于（2），先根据韦达定理求出两根之和m+n与两根之积mn的值，再将所求代数式变形为含有m+n和mn的形式，整体代入求值即可，无需单独求解m、n的具体值，可简化计算。
【解析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$px^2 + 2x + q = 0$，两根$m,n$满足：
$m+n=-\frac{2}{p}$，$mn=\frac{q}{p}$
将$m=2,n=-4$代入得：
$2+(-4)=-\frac{2}{p}$，$2×(-4)=\frac{q}{p}$
解得$p=1$，$q=-8$。
（2）当$p=3,q=-1$时，同样根据根与系数的关系：
$m+n=-\frac{2}{p}=-\frac{2}{3}$，$mn=\frac{q}{p}=-\frac{1}{3}$
将所求代数式变形：
$2m + mn + 2n = 2(m+n) + mn$
将$m+n=-\frac{2}{3}$，$mn=-\frac{1}{3}$代入得：
原式$=2×(-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}$。
【答案】
(1)$p=1,q=-8$；(2)$-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，第二问通过整体代入的思路可避免求解方程的根，减少计算量，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.85

10. (2026芜湖期中)关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m -1 =0$，设$x_1, x_2$是此方程的两个根.
(1)若$(x_1 -2)(x_2 -2)=10$，求$m$的值；
(2)若方程有一个根不小于5，求$m$的取值范围.

10. 解:(1)$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2 + 2mx + 2m -1 = 0$ 的根，
$\therefore x_1 + x_2 = -2m,x_1 x_2 = 2m -1,$
$\therefore (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = 2m - 1 - 2(-2m) + 4 = 6m + 3 = 10,$
解得 $m = \frac{7}{6}.$
(2)$\because x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0,$
即 $(x + 1)(x + 2m - 1) = 0,$
$\therefore x_1 = -1,x_2 = -2m + 1,$
$\because$ 方程有一个根不小于 5,
$\therefore -2m + 1 ≥ 5,$
$\therefore m ≤ -2.$
$\therefore m$ 的取值范围是 $m ≤ -2.$

【分析】
本题可分两小问逐步求解：
(1) 已知方程两根满足的关系式，可先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和与两根之积的表达式，再将$(x_1 -2)(x_2 -2)$展开整理，代入两根和、两根积的表达式得到关于m的方程，求解即可得到m的值。
(2) 要求存在不小于5的根，可先求解方程的两个根，观察原方程特点可通过因式分解快速得到两根，其中一个根为-1，恒小于5，因此只需令另一个根满足大于等于5的条件，列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2 + 2mx + 2m -1 = 0$ 的根，
$\therefore$ 根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -2m,x_1 x_2 = 2m -1$，
将$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$展开得：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$，
代入根与系数的关系结果得：
$2m - 1 - 2×(-2m) + 4 = 6m + 3 = 10$，
解得 $m = \frac{7}{6}$。
(2) 对原方程因式分解：
$x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0$可变形为 $(x + 1)(x + 2m - 1) = 0$，
解得方程的两根为 $x_1 = -1,x_2 = -2m + 1$，
$\because$ 方程有一个根不小于5，且$x_1=-1＜5$，
$\therefore$ 只需满足$x_2 = -2m + 1 ≥ 5$，
解不等式得：$m ≤ -2$，
即m的取值范围是$m ≤ -2$。
【答案】
(1) $m=\frac{7}{6}$；(2) $m≤ -2$
【知识点】
韦达定理；因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问考察根与系数关系的直接应用，第二问通过分解因式快速得到方程的根，结合限制条件列不等式即可求解，解题时注意观察方程特征可简化计算步骤。
【难度系数】
0.7