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一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
当$\Delta≥0$时,设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=$$,x_1x_2=$.这表明,当$\Delta≥0$时,一元二次方程的根与系数之间具有如下关系:两根的和等于与的比的相反数,两根的积等于与的比.
当$\Delta≥0$时,设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=$$,x_1x_2=$.这表明,当$\Delta≥0$时,一元二次方程的根与系数之间具有如下关系:两根的和等于与的比的相反数,两根的积等于与的比.
答案
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
解析
【分析】
要推导一元二次方程根与系数的关系，首先回忆Δ≥0时一元二次方程的求根公式，分别写出两个根的表达式，再分别计算两根之和、两根之积，化简后就能得到对应的关系，最后对应系数的名称填写后面的描述即可。
【解析】
当$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为：
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
根据所得结果，对应系数名称可知：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对一元二次方程根与系数关系基础内容的直接考查，核心是掌握韦达定理的推导过程和内容表述，牢记两根和、积对应的系数关系，尤其注意两根和的符号不要出错，是后续利用根与系数关系解决各类代数问题的基础。
【难度系数】
0.9
要推导一元二次方程根与系数的关系，首先回忆Δ≥0时一元二次方程的求根公式，分别写出两个根的表达式，再分别计算两根之和、两根之积，化简后就能得到对应的关系，最后对应系数的名称填写后面的描述即可。
【解析】
当$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为：
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
根据所得结果，对应系数名称可知：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对一元二次方程根与系数关系基础内容的直接考查，核心是掌握韦达定理的推导过程和内容表述，牢记两根和、积对应的系数关系，尤其注意两根和的符号不要出错，是后续利用根与系数关系解决各类代数问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】(2026怀化期末)设$m,n$是一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两个根，则$mn=$
6
.答案
6
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之积等于常数项与二次项系数的比值$\frac{c}{a}$，只需确定方程对应系数即可直接算出结果，计算更简便；思路2：先解一元二次方程得到两个根的具体值，再计算两根的乘积即可，两种方法均符合该阶段知识要求。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，题中方程为$x^2 -5x +6=0$，对应系数为$a=1$，$c=6$。
因为$m,n$是该方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，代入数值可得$mn=\frac{6}{1}=6$。
方法二（解方程法）：
先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
即方程的两个根为2和3，因此$mn=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础考点题型，两种解题方法难度都较低，运用韦达定理可直接计算，无需解方程，能有效提升解题效率，需熟练掌握根与系数的相关公式。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之积等于常数项与二次项系数的比值$\frac{c}{a}$，只需确定方程对应系数即可直接算出结果，计算更简便；思路2：先解一元二次方程得到两个根的具体值，再计算两根的乘积即可，两种方法均符合该阶段知识要求。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，题中方程为$x^2 -5x +6=0$，对应系数为$a=1$，$c=6$。
因为$m,n$是该方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，代入数值可得$mn=\frac{6}{1}=6$。
方法二（解方程法）：
先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
即方程的两个根为2和3，因此$mn=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础考点题型，两种解题方法难度都较低，运用韦达定理可直接计算，无需解方程，能有效提升解题效率，需熟练掌握根与系数的相关公式。
【难度系数】
0.9
【变式】(2026永州期中)方程$x^2 -6x +8=0$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2=$
6
.答案
6
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的和，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解出方程的根，直接代入对应公式即可快速计算；思路二：先解一元二次方程求出两个根，再将两根相加得到结果，两种方法都符合当前学段的知识要求，其中韦达定理法更简便。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
方程$x^2 -6x +8=0$中，$a=1$，$b=-6$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$。
方法2（求根计算法）：
解方程$x^2 -6x +8=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$
则$x_1+x_2=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，两种解法都可得出结果，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根的和，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解出方程的根，直接代入对应公式即可快速计算；思路二：先解一元二次方程求出两个根，再将两根相加得到结果，两种方法都符合当前学段的知识要求，其中韦达定理法更简便。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
方程$x^2 -6x +8=0$中，$a=1$，$b=-6$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$。
方法2（求根计算法）：
解方程$x^2 -6x +8=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$
则$x_1+x_2=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，两种解法都可得出结果，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
【例2】若$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，则代数式$a+b-ab$的值为
规律总结 利用根与系数的关系求有关代数式的值时，要善于将所求的代数式转化为用原方程的两根之和(或积)表示的式子。
2
。规律总结 利用根与系数的关系求有关代数式的值时，要善于将所求的代数式转化为用原方程的两根之和(或积)表示的式子。
答案
2
解析
【分析】
拿到题目首先观察到已知条件是a、b为一元二次方程的两个实数根，待求代数式是包含两根之和、两根之积的形式，因此优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需算出a、b的具体值，简化计算步骤。首先先确定原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据韦达定理分别求出a+b和ab的值，最后代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a，b是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$
∴$a+b = -\frac{-3}{1}=3$，$ab=\frac{1}{1}=1$
将上述结果代入$a+b-ab$得：
$a+b-ab=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题核心是灵活运用根与系数的关系，将待求式转化为两根之和、两根之积的形式代入计算，避免求解方程根的具体值，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先观察到已知条件是a、b为一元二次方程的两个实数根，待求代数式是包含两根之和、两根之积的形式，因此优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需算出a、b的具体值，简化计算步骤。首先先确定原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据韦达定理分别求出a+b和ab的值，最后代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a，b是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$
∴$a+b = -\frac{-3}{1}=3$，$ab=\frac{1}{1}=1$
将上述结果代入$a+b-ab$得：
$a+b-ab=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题核心是灵活运用根与系数的关系，将待求式转化为两根之和、两根之积的形式代入计算，避免求解方程根的具体值，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
【变式】若$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根，求下列代数式的值：
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$(x_1 -x_2)^2$；
(3)$(x_1 -2)(x_2 -2)$；
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$。
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$(x_1 -x_2)^2$；
(3)$(x_1 -2)(x_2 -2)$；
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$。
答案
解:$\because x_1,x_2$ 是一元二次方程 $2x^2 -3x -1=0$ 的两个根，
$\therefore x_1 + x_2 = \frac{3}{2},x_1 x_2 = -\frac{1}{2}.$
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3.$
(2)$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$
$= (\frac{3}{2})^2 - 4× (-\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}.$
(3)$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$
$= -\frac{1}{2} - 2× \frac{3}{2} + 4 = \frac{1}{2}.$
(4)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1 x_2 + 2 + \frac{1}{x_1 x_2}$
$= -\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}.$
$\therefore x_1 + x_2 = \frac{3}{2},x_1 x_2 = -\frac{1}{2}.$
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3.$
(2)$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$
$= (\frac{3}{2})^2 - 4× (-\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}.$
(3)$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$
$= -\frac{1}{2} - 2× \frac{3}{2} + 4 = \frac{1}{2}.$
(4)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1 x_2 + 2 + \frac{1}{x_1 x_2}$
$= -\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需计算两根的具体数值，思路如下：①首先根据韦达定理求出方程两根的和$x_1+x_2$与两根的积$x_1x_2$；②将待求的四个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式展开等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③将第一步得到的$x_1+x_2$、$x_1x_2$的值代入变形后的式子计算即可，该方法比直接求根代入更简便，可降低计算错误率。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根，其中$a=2,b=-3,c=-1$，因此：
$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$。
(1) 对代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$。
(2) 由完全平方公式变形得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$。
(3) 展开多项式整理得：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=-\frac{1}{2}-3+4=\frac{1}{2}$。
(4) 展开多项式整理得：
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{17}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）；2. 代数式化简；3. 整式乘法
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是掌握将待求代数式转化为两根之和、两根之积表达形式的变形技巧，可有效简化计算，避免求解方程根的繁琐过程，是一元二次方程部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需计算两根的具体数值，思路如下：①首先根据韦达定理求出方程两根的和$x_1+x_2$与两根的积$x_1x_2$；②将待求的四个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式展开等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③将第一步得到的$x_1+x_2$、$x_1x_2$的值代入变形后的式子计算即可，该方法比直接求根代入更简便，可降低计算错误率。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根，其中$a=2,b=-3,c=-1$，因此：
$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$。
(1) 对代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$。
(2) 由完全平方公式变形得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$。
(3) 展开多项式整理得：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=-\frac{1}{2}-3+4=\frac{1}{2}$。
(4) 展开多项式整理得：
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{17}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）；2. 代数式化简；3. 整式乘法
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是掌握将待求代数式转化为两根之和、两根之积表达形式的变形技巧，可有效简化计算，避免求解方程根的繁琐过程，是一元二次方程部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
【例3】(2025常德模拟)已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx -8=0$的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（
A.4，-2
B.-4，-2
C.4，2
D.-4，2
D
）A.4，-2
B.-4，-2
C.4，2
D.-4，2
答案
D
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知的根代入原方程先求出参数m的值，再将m代回原方程，解方程即可得到另一根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和、积关系快速计算另一根和m的值，两种方法均符合对应学段知识要求，其中韦达定理解题更简便。
【解析】
解法一（代入法）：
∵x=2是方程$x^2 + mx -8=0$的根，将x=2代入方程得：
$2^2 + 2m -8=0$
整理得：$4+2m-8=0$，即$2m=4$，解得$m=2$。
将m=2代入原方程得：$x^2 +2x -8=0$，
因式分解得：$(x-2)(x+4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$，
∴另一根为-4，m的值为2。
解法二（根与系数的关系）：
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中a=1，b=m，c=-8，由两根之积关系得：
$2×x_2 = \frac{-8}{1}=-8$，解得$x_2=-4$。
再由两根之和关系得：
$2 + (-4) = -\frac{m}{1}$，即$-2=-m$，解得$m=2$。
综上，另一根为-4，m=2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解法都可快速得到结果，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，解题时要注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知的根代入原方程先求出参数m的值，再将m代回原方程，解方程即可得到另一根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和、积关系快速计算另一根和m的值，两种方法均符合对应学段知识要求，其中韦达定理解题更简便。
【解析】
解法一（代入法）：
∵x=2是方程$x^2 + mx -8=0$的根，将x=2代入方程得：
$2^2 + 2m -8=0$
整理得：$4+2m-8=0$，即$2m=4$，解得$m=2$。
将m=2代入原方程得：$x^2 +2x -8=0$，
因式分解得：$(x-2)(x+4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$，
∴另一根为-4，m的值为2。
解法二（根与系数的关系）：
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中a=1，b=m，c=-8，由两根之积关系得：
$2×x_2 = \frac{-8}{1}=-8$，解得$x_2=-4$。
再由两根之和关系得：
$2 + (-4) = -\frac{m}{1}$，即$-2=-m$，解得$m=2$。
综上，另一根为-4，m=2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解法都可快速得到结果，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，解题时要注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026南充月考)一元二次方程$ax^2 - x=0$有一个根为$1+\sqrt{5}$，则另一个根是
0
。答案
0
解析
【分析】
要解决一元二次方程求另一个根的问题，可先观察方程特征：该方程没有常数项，有两种常用解题思路：1. 利用因式分解法直接求根：将方程左边提取公因式，可直接得到两个根的形式；2. 利用韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$c=0$，因此两根乘积为0，已知一个根不为0，即可直接得出另一个根为0，无需代入已知根计算参数a，简化计算过程。
【解析】
方法一：因式分解法
对原方程$ax^2 - x=0$提取公因式$x$，可得：
$x(ax - 1)=0$
解得$x=0$或$x=\frac{1}{a}$
已知方程有一个根为$1+\sqrt{5}$，因此另一个根为0。
方法二：韦达定理法
设方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2$，对于一元二次方程$ax^2 - x=0$，对应一般式中常数项$c=0$。
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{a}=0$
因为$x_1=1+\sqrt{5}≠0$，因此$x_2=0$。
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题方法灵活，既可以通过因式分解直接得到根的形式，也可以利用韦达定理快速推导，解题时优先观察方程结构特征，可避免不必要的计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要解决一元二次方程求另一个根的问题，可先观察方程特征：该方程没有常数项，有两种常用解题思路：1. 利用因式分解法直接求根：将方程左边提取公因式，可直接得到两个根的形式；2. 利用韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$c=0$，因此两根乘积为0，已知一个根不为0，即可直接得出另一个根为0，无需代入已知根计算参数a，简化计算过程。
【解析】
方法一：因式分解法
对原方程$ax^2 - x=0$提取公因式$x$，可得：
$x(ax - 1)=0$
解得$x=0$或$x=\frac{1}{a}$
已知方程有一个根为$1+\sqrt{5}$，因此另一个根为0。
方法二：韦达定理法
设方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2$，对于一元二次方程$ax^2 - x=0$，对应一般式中常数项$c=0$。
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{a}=0$
因为$x_1=1+\sqrt{5}≠0$，因此$x_2=0$。
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题方法灵活，既可以通过因式分解直接得到根的形式，也可以利用韦达定理快速推导，解题时优先观察方程结构特征，可避免不必要的计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
1.若关于$x$的一元二次方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=2$，则这个方程可能是 （
A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x+2=0$
D.$x^2-2x+3=0$
C
）A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x+2=0$
D.$x^2-2x+3=0$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先计算已知两根的和与积，再结合选项中二次项系数为1的特点，直接确定一次项系数和常数项，匹配对应选项；思路2：利用一元二次方程根的定义，将两个根逐一代入选项验证，两个根都能使方程左右两边相等的即为正确答案。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
已知两根$x_1=1$，$x_2=2$，则：
两根之和：$1+2=3=-b$，解得$b=-3$；
两根之积：$1×2=2=c$；
因此该一元二次方程为$x^2-3x+2=0$，对应选项C。
方法二：代入验证法
将$x=1$和$x=2$分别代入各选项：
A选项：$x=1$时，左边$=1^2+3×1-2=2≠0$，不符合根的定义，排除；
B选项：$x=1$时，左边$=1^2+3×1+2=6≠0$，不符合根的定义，排除；
C选项：$x=1$时，左边$=1^2-3×1+2=0$；$x=2$时，左边$=2^2-3×2+2=0$，两个根均满足方程，符合要求；
D选项：$x=1$时，左边$=1^2-2×1+3=2≠0$，不符合根的定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法中，韦达定理的方法更快捷，代入验证法更直观，熟练掌握两种方法可灵活应对同类题型。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先计算已知两根的和与积，再结合选项中二次项系数为1的特点，直接确定一次项系数和常数项，匹配对应选项；思路2：利用一元二次方程根的定义，将两个根逐一代入选项验证，两个根都能使方程左右两边相等的即为正确答案。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
已知两根$x_1=1$，$x_2=2$，则：
两根之和：$1+2=3=-b$，解得$b=-3$；
两根之积：$1×2=2=c$；
因此该一元二次方程为$x^2-3x+2=0$，对应选项C。
方法二：代入验证法
将$x=1$和$x=2$分别代入各选项：
A选项：$x=1$时，左边$=1^2+3×1-2=2≠0$，不符合根的定义，排除；
B选项：$x=1$时，左边$=1^2+3×1+2=6≠0$，不符合根的定义，排除；
C选项：$x=1$时，左边$=1^2-3×1+2=0$；$x=2$时，左边$=2^2-3×2+2=0$，两个根均满足方程，符合要求；
D选项：$x=1$时，左边$=1^2-2×1+3=2≠0$，不符合根的定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法中，韦达定理的方法更快捷，代入验证法更直观，熟练掌握两种方法可灵活应对同类题型。
【难度系数】
0.8
2. (2026荆州期末)一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1+x_2=4$
D.$x_1+x_2=6$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1+x_2=4$
D.$x_1+x_2=6$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系应用，解题思路如下：首先明确对于有两个实数根的一元二次方程，其两根之和满足固定公式，我们只需先将给定方程与一元二次方程一般式对应，找到二次项系数a、一次项系数b，再代入两根之和的公式计算即可，计算时要特别注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2 -6x +4=0$，对应一般式可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$，对应选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的准确记忆与应用，做题时需注意找准一次项系数的正负，避免因符号疏漏导致错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系应用，解题思路如下：首先明确对于有两个实数根的一元二次方程，其两根之和满足固定公式，我们只需先将给定方程与一元二次方程一般式对应，找到二次项系数a、一次项系数b，再代入两根之和的公式计算即可，计算时要特别注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2 -6x +4=0$，对应一般式可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$，对应选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的准确记忆与应用，做题时需注意找准一次项系数的正负，避免因符号疏漏导致错误。
【难度系数】
0.9
