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【变式2】已知关于$x$的一元二次方程$(m+1)·x^2 + 2mx + m - 3 = 0$总有实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)在(1)的条件下,当$m$在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
课后提升
分层评价,培育核心素养
(1)求$m$的取值范围；
(2)在(1)的条件下,当$m$在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
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分层评价,培育核心素养
答案
解:(1)$\because$ 关于x的一元二次方程$(m+1)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$总有实数根,
$\therefore \Delta \ge 0$,即 $4m^2 - 4(m+1)(m-3)\ge0$,
解得 $m\ge -\frac{3}{2}$.
又$\because m+1\ne0$,即 $m\ne-1$,
$\therefore m$ 的取值范围为 $m\ge -\frac{3}{2}$ 且 $m\ne-1$.
(2)$\because m$ 的取值范围为 $m\ge -\frac{3}{2}$ 且 $m\ne-1$,
$\therefore m$ 取最小整数时为0,
$\therefore$ 原方程变形为 $x^2 - 3 = 0$,
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
$\therefore \Delta \ge 0$,即 $4m^2 - 4(m+1)(m-3)\ge0$,
解得 $m\ge -\frac{3}{2}$.
又$\because m+1\ne0$,即 $m\ne-1$,
$\therefore m$ 的取值范围为 $m\ge -\frac{3}{2}$ 且 $m\ne-1$.
(2)$\because m$ 的取值范围为 $m\ge -\frac{3}{2}$ 且 $m\ne-1$,
$\therefore m$ 取最小整数时为0,
$\therefore$ 原方程变形为 $x^2 - 3 = 0$,
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 求解m的取值范围需先明确两个隐含条件：一是题目明确为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，此时判别式Δ≥0。先计算判别式列出不等式求解，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
(2) 先根据第一问得到的m的范围，排除不符合条件的整数，找到最小的符合要求的整数m，再将其代入原方程，用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$(m+1)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m+1\ne0$，即$m\ne-1$
又
∵ 方程总有实数根
∴ 判别式$\Delta \ge 0$
$\Delta=(2m)^2-4(m+1)(m-3)=4m^2-4(m^2-2m-3)=8m+12\ge0$
解不等式$8m+12\ge0$，得$m\ge-\frac{3}{2}$
综上，m的取值范围为$m\ge -\frac{3}{2}$且$m\ne-1$。
(2) 由(1)可知$m\ge -\frac{3}{2}$且$m\ne-1$
∴ 符合条件的最小整数$m=0$
将$m=0$代入原方程，得$x^2-3=0$
移项得$x^2=3$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$
即$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $m\ge -\dfrac{3}{2}$且$m\ne -1$
(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题时容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，导致取值范围求解错误，掌握根的判别式和根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m的取值范围需先明确两个隐含条件：一是题目明确为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，此时判别式Δ≥0。先计算判别式列出不等式求解，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
(2) 先根据第一问得到的m的范围，排除不符合条件的整数，找到最小的符合要求的整数m，再将其代入原方程，用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$(m+1)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m+1\ne0$，即$m\ne-1$
又
∵ 方程总有实数根
∴ 判别式$\Delta \ge 0$
$\Delta=(2m)^2-4(m+1)(m-3)=4m^2-4(m^2-2m-3)=8m+12\ge0$
解不等式$8m+12\ge0$，得$m\ge-\frac{3}{2}$
综上，m的取值范围为$m\ge -\frac{3}{2}$且$m\ne-1$。
(2) 由(1)可知$m\ge -\frac{3}{2}$且$m\ne-1$
∴ 符合条件的最小整数$m=0$
将$m=0$代入原方程，得$x^2-3=0$
移项得$x^2=3$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$
即$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $m\ge -\dfrac{3}{2}$且$m\ne -1$
(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题时容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，导致取值范围求解错误，掌握根的判别式和根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$根的判别式的值是（
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式，首先需回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式，按照有理数运算规则计算即可得到结果，注意计算过程中要留意系数的符号，避免出错。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
将系数代入公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的运用能力，解题的关键点是准确识别方程各项的系数，计算时注意负系数的平方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式，首先需回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式，按照有理数运算规则计算即可得到结果，注意计算过程中要留意系数的符号，避免出错。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
将系数代入公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的运用能力，解题的关键点是准确识别方程各项的系数，计算时注意负系数的平方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. (2025邵阳期中)下列一元二次方程没有实数根的是 (
A.$x^2 + 6x + 9 = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + x + 4 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$
C
)A.$x^2 + 6x + 9 = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + x + 4 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是计算方程的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的性质判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需要依次计算四个选项方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+6x+9=0$中，$a=1,b=6,c=9$，$\Delta=6^2-4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1,b=0,c=-9$，$\Delta=0^2-4×1×(-9)=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项C：方程$x^2+x+4=0$中，$a=1,b=1,c=4$，$\Delta=1^2-4×1×4=1-16=-15＜0$，方程没有实数根，符合题意；
选项D：方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握判别式的计算方法和不同取值对应的根的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是计算方程的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的性质判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需要依次计算四个选项方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+6x+9=0$中，$a=1,b=6,c=9$，$\Delta=6^2-4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1,b=0,c=-9$，$\Delta=0^2-4×1×(-9)=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项C：方程$x^2+x+4=0$中，$a=1,b=1,c=4$，$\Delta=1^2-4×1×4=1-16=-15＜0$，方程没有实数根，符合题意；
选项D：方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握判别式的计算方法和不同取值对应的根的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 关于x的一元二次方程$(a-5)x^2 -4x -1=0$有实数根，则a满足 （
A.$a≥1$
B.$a≥1$且$a≠5$
C.$a＞1$且$a≠5$
D.$a≠5$
B
）A.$a≥1$
B.$a≥1$且$a≠5$
C.$a＞1$且$a≠5$
D.$a≠5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件两步分析：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件；其次，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件解出a的取值范围即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a-5≠0$，解得$a≠5$。
第二步：一元二次方程有实数根，需满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中二次项系数为$a-5$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$，代入得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×(a-5)×(-1)≥0$
计算得：$16 + 4(a-5)≥0$
展开化简：$16 +4a -20≥0$，即$4a -4≥0$，解得$a≥1$。
第三步：联立两个条件，得$a$的取值范围是$a≥1$且$a≠5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式得到$a≥1$就误选A，审题时要注意抓住题干中“一元二次方程”的限定条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件两步分析：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件；其次，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件解出a的取值范围即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a-5≠0$，解得$a≠5$。
第二步：一元二次方程有实数根，需满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中二次项系数为$a-5$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$，代入得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×(a-5)×(-1)≥0$
计算得：$16 + 4(a-5)≥0$
展开化简：$16 +4a -20≥0$，即$4a -4≥0$，解得$a≥1$。
第三步：联立两个条件，得$a$的取值范围是$a≥1$且$a≠5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式得到$a≥1$就误选A，审题时要注意抓住题干中“一元二次方程”的限定条件。
【难度系数】
0.7
4.已知关于x的一元二次方程$kx^2 + 4x - 1 = 0$没有实数根，则k的取值范围是
$k＜-4$
。答案
$k＜-4$
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目两个关键条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；二是方程没有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta＜0$。我们先代入对应系数写出判别式表达式，再解不等式，结合一元二次方程的限制条件即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 4x - 1 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × k × (-1) = 16 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$16 + 4k ＜ 0$
解不等式：
$4k ＜ -16$
$k ＜ -4$
由于$k ＜ -4$已经满足$k ≠ 0$的条件，因此k的取值范围是$k ＜ -4$。
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住题目两个关键条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；二是方程没有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta＜0$。我们先代入对应系数写出判别式表达式，再解不等式，结合一元二次方程的限制条件即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 4x - 1 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × k × (-1) = 16 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$16 + 4k ＜ 0$
解不等式：
$4k ＜ -16$
$k ＜ -4$
由于$k ＜ -4$已经满足$k ≠ 0$的条件，因此k的取值范围是$k ＜ -4$。
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. (开放性题)关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +2a=0$有实数根，则$a$的值可以是
1(答案不唯一)
(写出一个即可)答案
1(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$时，方程有实数根。我们先确定本题方程中对应的$A、B、C$的值，代入判别式得到关于$a$的不等式，解出$a$的取值范围，再在范围内任取一个值即可。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2-4x+2a=0$有实数根，
其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-4$，常数项$C=2a$，
根据根的判别式要求，$\Delta = B^2-4AC≥0$，
代入得：$(-4)^2 - 4×1×2a ≥0$，
计算得：$16 - 8a ≥0$，
移项解得：$a≤2$，
所以只要取小于等于2的任意实数都符合要求，例如取$a=1$。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性题目，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时注意区分方程中的参数和判别式公式里的系数，避免混淆，只要掌握判别式的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$时，方程有实数根。我们先确定本题方程中对应的$A、B、C$的值，代入判别式得到关于$a$的不等式，解出$a$的取值范围，再在范围内任取一个值即可。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2-4x+2a=0$有实数根，
其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-4$，常数项$C=2a$，
根据根的判别式要求，$\Delta = B^2-4AC≥0$，
代入得：$(-4)^2 - 4×1×2a ≥0$，
计算得：$16 - 8a ≥0$，
移项解得：$a≤2$，
所以只要取小于等于2的任意实数都符合要求，例如取$a=1$。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性题目，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时注意区分方程中的参数和判别式公式里的系数，避免混淆，只要掌握判别式的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. (2025安阳模拟)对于实数$a,b$定义新运算:$a※b=ma^2b-2a-1$,例如:$1※2=m×1^2×2-2×1-1=2m-3$.若关于$x$的一元二次方程$x※1=0$有两个相等的实数根,则$m$的值是
$-1$
.答案
$-1$
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的新运算规则，将$x※1$转化为常规的代数式，得到对应的一元二次方程；再结合一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知其判别式$\Delta=0$，同时需满足二次项系数不为0的隐含要求，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$x※1 = m· x^2·1 - 2x - 1 = mx^2 - 2x - 1$
∵ $x※1=0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个相等的实数根
∴ 二次项系数$m≠0$，且判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$(-2)^2 - 4× m× (-1) = 0$
$4 + 4m = 0$
解得$m=-1$，满足$m≠0$的要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程判别式，一元二次方程定义
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识相结合，解题核心是先根据新定义规则把特殊运算转化为常规代数形式，再利用根的判别式建立方程求解，解题时需注意一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目给出的新运算规则，将$x※1$转化为常规的代数式，得到对应的一元二次方程；再结合一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知其判别式$\Delta=0$，同时需满足二次项系数不为0的隐含要求，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$x※1 = m· x^2·1 - 2x - 1 = mx^2 - 2x - 1$
∵ $x※1=0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个相等的实数根
∴ 二次项系数$m≠0$，且判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$(-2)^2 - 4× m× (-1) = 0$
$4 + 4m = 0$
解得$m=-1$，满足$m≠0$的要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程判别式，一元二次方程定义
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识相结合，解题核心是先根据新定义规则把特殊运算转化为常规代数形式，再利用根的判别式建立方程求解，解题时需注意一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
解:(1)$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:
$\because x=-1$ 是方程的根,
$\therefore a + c - 2b + (a - c) = 0$,
$\therefore a - b = 0, \therefore a = b$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
(2)$△ ABC$是直角三角形.理由如下:
$\because$ 方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$,
$\therefore 4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0, \therefore a^2 = b^2 + c^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(3)$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore a = b = c$,
$\therefore$ 方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$ 可整理为 $2ax^2 + 2ax = 0$,
$\because a$ 为$△ ABC$的边长,$\therefore a\ne0$,
$\therefore x^2 + x = 0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$.
$\because x=-1$ 是方程的根,
$\therefore a + c - 2b + (a - c) = 0$,
$\therefore a - b = 0, \therefore a = b$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
(2)$△ ABC$是直角三角形.理由如下:
$\because$ 方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$,
$\therefore 4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0, \therefore a^2 = b^2 + c^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(3)$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore a = b = c$,
$\therefore$ 方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$ 可整理为 $2ax^2 + 2ax = 0$,
$\because a$ 为$△ ABC$的边长,$\therefore a\ne0$,
$\therefore x^2 + x = 0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$.
解析
【分析】
(1) 已知x=-1是方程的根，可利用方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到a、b的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，可利用一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，代入对应系数化简得到三边a、b、c的数量关系，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程消去b、c，结合三角形边长不为0的条件化简方程，再求解即可得到方程的根。
【解析】
(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=-1是方程的根，
∴代入得$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$，即$a + c - 2b + a - c = 0$，
整理得$2a-2b=0$，即$a = b$，
∴△ABC是等腰三角形。
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$，
展开得$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得$a^2 = b^2 + c^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(3)
∵△ABC是等边三角形，
∴$a = b = c$，
代入原方程可整理为$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵a为△ABC的边长，
∴$a≠0$，
方程两边同除以2a得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，
解得$x_1=0,x_2=-1$。
【答案】
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形；
(3)方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合考查，难度不高，侧重对基础概念的理解和应用，熟练掌握方程相关性质以及特殊三角形的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.75
(1) 已知x=-1是方程的根，可利用方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简得到a、b的数量关系，即可判断三角形形状；
(2) 已知方程有两个相等的实数根，可利用一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，代入对应系数化简得到三边a、b、c的数量关系，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 已知△ABC是等边三角形，可得三边a=b=c，将其代入原方程消去b、c，结合三角形边长不为0的条件化简方程，再求解即可得到方程的根。
【解析】
(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=-1是方程的根，
∴代入得$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$，即$a + c - 2b + a - c = 0$，
整理得$2a-2b=0$，即$a = b$，
∴△ABC是等腰三角形。
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$，
展开得$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
化简得$a^2 = b^2 + c^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(3)
∵△ABC是等边三角形，
∴$a = b = c$，
代入原方程可整理为$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵a为△ABC的边长，
∴$a≠0$，
方程两边同除以2a得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，
解得$x_1=0,x_2=-1$。
【答案】
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形；
(3)方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合考查，难度不高，侧重对基础概念的理解和应用，熟练掌握方程相关性质以及特殊三角形的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.75
