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一、求字母的值或取值范围
1. (2026湘西期末)已知关于$x$的方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$.
(1)若方程总有两个实数根，求$m$的取值范围；
(2)若$x_1$与$x_2$是该方程的两个实数根，且满足$x_1^2 +x_2^2=22$，求$m$的值.
1. (2026湘西期末)已知关于$x$的方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$.
(1)若方程总有两个实数根，求$m$的取值范围；
(2)若$x_1$与$x_2$是该方程的两个实数根，且满足$x_1^2 +x_2^2=22$，求$m$的值.
答案
1. 解:(1)
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(-6)²-4×1×(2m+1)≥0，
即 36-8m-4≥0，
解得 m≤4.
(2)
∵x₁与x₂是该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1.
∵x₁²+x₂²=22，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-2(2m+1)=22，
解得 m=3.
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(-6)²-4×1×(2m+1)≥0，
即 36-8m-4≥0，
解得 m≤4.
(2)
∵x₁与x₂是该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1.
∵x₁²+x₂²=22，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-2(2m+1)=22，
解得 m=3.
解析
【分析】
(1) 要解决一元二次方程有两个实数根求参数范围的问题，核心依据是根的判别式的性质：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根。首先找准方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2) 已知两根平方和求参数，需要用到根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和、两根之积，再通过完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根之和与两根之积的表达式，代入已知条件列方程求解$m$，最后结合(1)中$m$的取值范围验证结果是否符合要求即可。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$总有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
即$36 - 8m - 4 ≥ 0$，
整理得$32≥8m$，
解得$m≤4$。
(2)
∵$x_1$与$x_2$是该方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m+1$，
∵$x_1^2 +x_2^2=22$，结合完全平方公式变形得$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得$6^2 - 2(2m+1)=22$，
即$36 - 4m - 2=22$，
整理得$4m=12$，
解得$m=3$，$m=3$满足$m≤4$，符合题意。
【答案】
(1) $m≤4$；(2) $m=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题型，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题的关键是熟练掌握两根相关代数式的常见变形方法，计算难度低，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要解决一元二次方程有两个实数根求参数范围的问题，核心依据是根的判别式的性质：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根。首先找准方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2) 已知两根平方和求参数，需要用到根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和、两根之积，再通过完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根之和与两根之积的表达式，代入已知条件列方程求解$m$，最后结合(1)中$m$的取值范围验证结果是否符合要求即可。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$总有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
即$36 - 8m - 4 ≥ 0$，
整理得$32≥8m$，
解得$m≤4$。
(2)
∵$x_1$与$x_2$是该方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m+1$，
∵$x_1^2 +x_2^2=22$，结合完全平方公式变形得$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得$6^2 - 2(2m+1)=22$，
即$36 - 4m - 2=22$，
整理得$4m=12$，
解得$m=3$，$m=3$满足$m≤4$，符合题意。
【答案】
(1) $m≤4$；(2) $m=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题型，核心考查根的判别式和根与系数关系的应用，解题的关键是熟练掌握两根相关代数式的常见变形方法，计算难度低，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
二、确定字母系数的存在性问题
2. (2025 衡阳模拟)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)设 $ x_1, x_2 $ 是该方程的两个实数根,是否存在 $ k $ 值使 $ 2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10 $? 若存在,求出 $ k $ 的值;若不存在,请说明理由.
2. (2025 衡阳模拟)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)设 $ x_1, x_2 $ 是该方程的两个实数根,是否存在 $ k $ 值使 $ 2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10 $? 若存在,求出 $ k $ 的值;若不存在,请说明理由.
答案
2. 解:(1)
∵关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=9+4k＞0，解得 $k＞-\frac{9}{4}$，
即k的取值范围为$k＞-\frac{9}{4}$.
(2)
∵x₁,x₂是方程x²-3x-k=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k.
∵2x₁+x₁x₂+2x₂=2(x₁+x₂)+x₁x₂=10，
∴6-k=10，
解得k=-4.
∵$k＞-\frac{9}{4}$，
∴不存在k值使得2x₁+x₁x₂+2x₂=10.
∵关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=9+4k＞0，解得 $k＞-\frac{9}{4}$，
即k的取值范围为$k＞-\frac{9}{4}$.
(2)
∵x₁,x₂是方程x²-3x-k=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k.
∵2x₁+x₁x₂+2x₂=2(x₁+x₂)+x₁x₂=10，
∴6-k=10，
解得k=-4.
∵$k＞-\frac{9}{4}$，
∴不存在k值使得2x₁+x₁x₂+2x₂=10.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的情况与判别式$\Delta$的对应关系，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，代入方程系数计算$\Delta$并列不等式，即可求出$k$的取值范围。
第(2)问解题思路：首先利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，再将待求代数式变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$k$的方程，解出$k$后对照第(1)问的$k$的取值范围，判断是否符合要求即可确定$k$是否存在。
【解析】
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-k) = 9 + 4k ＞ 0$，
解得$k ＞ -\frac{9}{4}$，
即$k$的取值范围为$k ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 不存在，理由如下：
∵$x_1, x_2$是方程$x^2 - 3x - k = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k$，
对$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2$变形得$2(x_1 + x_2) + x_1x_2$，
代入$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$得：
$2×3 - k = 10$，
解得$k = -4$，
由(1)可知$k ＞ -\frac{9}{4}$，而$-4 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合$k$的取值范围，
∴不存在这样的$k$值。
【答案】
(1) $k ＞ -\frac{9}{4}$；(2) 不存在符合条件的$k$值
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是根的判别式和根与系数关系的综合应用题，易错点是求解出$k$的值后容易忽略验证是否满足判别式的取值要求，解题时要注意检验步骤。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的情况与判别式$\Delta$的对应关系，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实根，代入方程系数计算$\Delta$并列不等式，即可求出$k$的取值范围。
第(2)问解题思路：首先利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，再将待求代数式变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$k$的方程，解出$k$后对照第(1)问的$k$的取值范围，判断是否符合要求即可确定$k$是否存在。
【解析】
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-k) = 9 + 4k ＞ 0$，
解得$k ＞ -\frac{9}{4}$，
即$k$的取值范围为$k ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 不存在，理由如下：
∵$x_1, x_2$是方程$x^2 - 3x - k = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k$，
对$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2$变形得$2(x_1 + x_2) + x_1x_2$，
代入$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$得：
$2×3 - k = 10$，
解得$k = -4$，
由(1)可知$k ＞ -\frac{9}{4}$，而$-4 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合$k$的取值范围，
∴不存在这样的$k$值。
【答案】
(1) $k ＞ -\frac{9}{4}$；(2) 不存在符合条件的$k$值
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是根的判别式和根与系数关系的综合应用题，易错点是求解出$k$的值后容易忽略验证是否满足判别式的取值要求，解题时要注意检验步骤。
【难度系数】
0.7
三、与几何知识的综合运用
3. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰$△ ABC$的一边长为7,若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
3. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰$△ ABC$的一边长为7,若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
答案
3. 解:(1)由题意，得Δ=[-2(m+1)]²-4(m²+5)=8m-16≥0，
解得 m≥2.
∵x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²+5，
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=m²+5-2(m+1)+1=28，
解得m₁=6，m₂=-4(不合题意，舍去).
∴m的值为6.
(2)①当7为底边时，此时方程x²-2(m+1)x+m²+5=0有两个相等的实数根，
∴Δ=8m-16=0，
解得m=2，
∴原方程可化为x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3.
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形.
②当7为腰时，设x₁=7，
代入方程，得49-14(m+1)+m²+5=0，
解得m₁=10，m₂=4.
当m=10时，原方程可化为x²-22x+105=0，
解得x=7或x=15.
∵7+7＜15，
∴不能构成三角形.
当m=4时，原方程可化为x²-10x+21=0，
解得x=3或x=7.
∵3+7＞7，
∴能构成三角形.
此时三角形的周长为7+7+3=17.
综上所述，这个三角形的周长为17.
解得 m≥2.
∵x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²+5，
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=m²+5-2(m+1)+1=28，
解得m₁=6，m₂=-4(不合题意，舍去).
∴m的值为6.
(2)①当7为底边时，此时方程x²-2(m+1)x+m²+5=0有两个相等的实数根，
∴Δ=8m-16=0，
解得m=2，
∴原方程可化为x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3.
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形.
②当7为腰时，设x₁=7，
代入方程，得49-14(m+1)+m²+5=0，
解得m₁=10，m₂=4.
当m=10时，原方程可化为x²-22x+105=0，
解得x=7或x=15.
∵7+7＜15，
∴不能构成三角形.
当m=4时，原方程可化为x²-10x+21=0，
解得x=3或x=7.
∵3+7＞7，
∴能构成三角形.
此时三角形的周长为7+7+3=17.
综上所述，这个三角形的周长为17.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确：一元二次方程有两个实数根，首先需满足判别式Δ≥0，先求出m的取值范围；再利用根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，将$(x_1-1)(x_2-1)$展开后代入即可得到关于m的方程，求解后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 解决第二问需要分类讨论等腰三角形的情况：①若7为底边长，则另外两边为腰长相等，即方程有两个相等的实数根，令Δ=0求出m，再解方程得到边长，验证是否满足三角形三边关系；②若7为腰长，则7是方程的一个根，将$x=7$代入方程求出m的值，再解方程得到另一条边长，再次验证三边关系，符合条件的情况下计算周长即可。
【解析】
(1) 根据题意，一元二次方程有两个实数根，故判别式：
$\Delta=[-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 8m - 16 ≥ 0$
解得 $m ≥ 2$
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入得：$m^2+5 - 2(m+1) + 1 = 28$
整理得：$m^2 - 2m - 24 = 0$
解得：$m_1=6$，$m_2=-4$
∵$m≥2$，
∴$m_2=-4$不符合题意，舍去
故m的值为6。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰$△ ABC$的底边长时，另外两边为腰，长度相等，即方程有两个相等的实数根：
∴$\Delta=8m-16=0$，解得$m=2$
此时原方程化为：$x^2 - 6x + 9 = 0$，解得$x_1=x_2=3$
∵$3+3=6 ＜ 7$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 当7为等腰$△ ABC$的腰长时，7是方程的一个根，将$x=7$代入方程：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 + 5 = 0$
整理得：$m^2 -14m +40 =0$
解得：$m_1=10$，$m_2=4$
当$m=10$时，原方程化为$x^2 -22x +105=0$，解得$x=7$或$x=15$
∵$7+7=14 ＜15$，不满足三边关系，舍去；
当$m=4$时，原方程化为$x^2 -10x +21=0$，解得$x=3$或$x=7$
∵$3+7＞7$，满足三边关系，此时三角形三边长为7,7,3
周长为$7+7+3=17$
综上，这个三角形的周长为17。
【答案】
(1) $m=6$；(2) 17
【知识点】
1. 根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识的综合应用题，解题时需注意首先要保证方程有实数根，分类讨论等腰三角形的边长情况后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问首先要明确：一元二次方程有两个实数根，首先需满足判别式Δ≥0，先求出m的取值范围；再利用根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，将$(x_1-1)(x_2-1)$展开后代入即可得到关于m的方程，求解后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 解决第二问需要分类讨论等腰三角形的情况：①若7为底边长，则另外两边为腰长相等，即方程有两个相等的实数根，令Δ=0求出m，再解方程得到边长，验证是否满足三角形三边关系；②若7为腰长，则7是方程的一个根，将$x=7$代入方程求出m的值，再解方程得到另一条边长，再次验证三边关系，符合条件的情况下计算周长即可。
【解析】
(1) 根据题意，一元二次方程有两个实数根，故判别式：
$\Delta=[-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 8m - 16 ≥ 0$
解得 $m ≥ 2$
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入得：$m^2+5 - 2(m+1) + 1 = 28$
整理得：$m^2 - 2m - 24 = 0$
解得：$m_1=6$，$m_2=-4$
∵$m≥2$，
∴$m_2=-4$不符合题意，舍去
故m的值为6。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰$△ ABC$的底边长时，另外两边为腰，长度相等，即方程有两个相等的实数根：
∴$\Delta=8m-16=0$，解得$m=2$
此时原方程化为：$x^2 - 6x + 9 = 0$，解得$x_1=x_2=3$
∵$3+3=6 ＜ 7$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去；
② 当7为等腰$△ ABC$的腰长时，7是方程的一个根，将$x=7$代入方程：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 + 5 = 0$
整理得：$m^2 -14m +40 =0$
解得：$m_1=10$，$m_2=4$
当$m=10$时，原方程化为$x^2 -22x +105=0$，解得$x=7$或$x=15$
∵$7+7=14 ＜15$，不满足三边关系，舍去；
当$m=4$时，原方程化为$x^2 -10x +21=0$，解得$x=3$或$x=7$
∵$3+7＞7$，满足三边关系，此时三角形三边长为7,7,3
周长为$7+7+3=17$
综上，这个三角形的周长为17。
【答案】
(1) $m=6$；(2) 17
【知识点】
1. 根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识的综合应用题，解题时需注意首先要保证方程有实数根，分类讨论等腰三角形的边长情况后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
