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相似三角形的判定定理2
两边
两边
成比例
且夹角相等
的两个三角形相似。答案
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
解析
【分析】
本题考查相似三角形判定定理2的识记，解题时可类比全等三角形的SAS判定来理解记忆：全等三角形要求两边相等且夹角相等，而相似三角形仅要求形状相同、大小可以不同，因此边的条件从“相等”调整为“成比例”，角的条件仍要求是两边的夹角相等，由此即可填出对应内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理2的内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知第一个横线处应填“成比例”，第二个横线处应填“相等”。
【答案】
成比例；相等
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，记忆时要注意定理中的“夹角”限定，若给出的角不是两边的夹角，即使两边成比例也无法判定两个三角形相似，可结合全等三角形的SAS判定类比记忆，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形判定定理2的识记，解题时可类比全等三角形的SAS判定来理解记忆：全等三角形要求两边相等且夹角相等，而相似三角形仅要求形状相同、大小可以不同，因此边的条件从“相等”调整为“成比例”，角的条件仍要求是两边的夹角相等，由此即可填出对应内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理2的内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知第一个横线处应填“成比例”，第二个横线处应填“相等”。
【答案】
成比例；相等
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，记忆时要注意定理中的“夹角”限定，若给出的角不是两边的夹角，即使两边成比例也无法判定两个三角形相似，可结合全等三角形的SAS判定类比记忆，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
【例】(2025江门月考)如图,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD=6,AB=15,AE=4,AC=10,求证:△ADE∽△ABC. 
答案
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
解析
【分析】
要证明△ADE∽△ABC，结合题目给出的各边长度条件，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理来推导。首先先计算两组对应边AD与AB、AE与AC的比值，验证比值是否相等；再确认两组成比例边的夹角是公共角∠A，满足判定条件即可得证。
【解析】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【答案】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
相似三角形判定、比例计算、公共角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心考查“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，解题时需注意对应边的比例要匹配，且相等的角必须是两组成比例边的夹角，这类题型有助于夯实相似三角形判定的基础。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE∽△ABC，结合题目给出的各边长度条件，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理来推导。首先先计算两组对应边AD与AB、AE与AC的比值，验证比值是否相等；再确认两组成比例边的夹角是公共角∠A，满足判定条件即可得证。
【解析】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【答案】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
相似三角形判定、比例计算、公共角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心考查“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，解题时需注意对应边的比例要匹配，且相等的角必须是两组成比例边的夹角，这类题型有助于夯实相似三角形判定的基础。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025甘肃期末)如图,已知AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2,求证:△ABC∽△ADE.
答案
证明:
∵AB·AE=AD·AC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
∵AB·AE=AD·AC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
解析
【分析】
要证明△ABC∽△ADE，可优先用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。首先处理已知的边的乘积关系：根据比例的基本性质，将等积式AB·AE=AD·AC转化为比例式，得到两组对应边的比相等；接下来推导对应夹角相等：已知∠1=∠2，两个角同时加公共角∠BAE，即可得到△ABC和△ADE的对应夹角∠BAC=∠DAE，满足判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB·AE=AD·AC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE。
∴△ABC∽△ADE。
【答案】
∵AB·AE=AD·AC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，核心考查等积式转比例式的方法，以及利用已知等角推导对应夹角相等的技巧，是几何证明的常见基础考点。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC∽△ADE，可优先用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。首先处理已知的边的乘积关系：根据比例的基本性质，将等积式AB·AE=AD·AC转化为比例式，得到两组对应边的比相等；接下来推导对应夹角相等：已知∠1=∠2，两个角同时加公共角∠BAE，即可得到△ABC和△ADE的对应夹角∠BAC=∠DAE，满足判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB·AE=AD·AC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE。
∴△ABC∽△ADE。
【答案】
∵AB·AE=AD·AC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，核心考查等积式转比例式的方法，以及利用已知等角推导对应夹角相等的技巧，是几何证明的常见基础考点。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
(1)添加条件________（写出一个即可），使得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2)由(1)，你还能得到哪两个三角形相似？并说明理由。
(1)添加条件________（写出一个即可），使得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2)由(1)，你还能得到哪两个三角形相似？并说明理由。
答案
(1) ∠BAC=∠DAE(答案不唯一).
(2) 解:△AOE∽△DOC.
理由如下:
∵△ABC∽△ADE,
∴∠E=∠C.
又
∵∠AOE=∠DOC,
∴△AOE∽△DOC.
(2) 解:△AOE∽△DOC.
理由如下:
∵△ABC∽△ADE,
∴∠E=∠C.
又
∵∠AOE=∠DOC,
∴△AOE∽△DOC.
解析
【分析】
(1) 要判定△ABC∽△ADE，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即两组边对应成比例，根据相似三角形的判定定理，可添加两组边的夹角相等，或者第三组边也对应成比例，即可证明两三角形相似，本题以添加夹角相等为例解答。
(2) 借助(1)中得到的△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应角相等的性质，可得到一组角相等，再结合图形中隐含的对顶角相等的关系，即可根据两角对应相等的判定定理找到新的相似三角形。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，若添加$∠ BAC=∠ DAE$，可满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可得△ABC∽△ADE，因此可填$∠ BAC=∠ DAE$，答案不唯一。
(2) 还能得到△AOE∽△DOC，理由如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠E=∠C（相似三角形的对应角相等），
又
∵∠AOE=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOE∽△DOC（两角对应相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BAC=∠ DAE}$（答案不唯一）
(2) $\boldsymbol{△ AOE ∽ △ DOC}$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，同时要善于挖掘图形中对顶角、公共角这类隐含的相等条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要判定△ABC∽△ADE，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即两组边对应成比例，根据相似三角形的判定定理，可添加两组边的夹角相等，或者第三组边也对应成比例，即可证明两三角形相似，本题以添加夹角相等为例解答。
(2) 借助(1)中得到的△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应角相等的性质，可得到一组角相等，再结合图形中隐含的对顶角相等的关系，即可根据两角对应相等的判定定理找到新的相似三角形。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，若添加$∠ BAC=∠ DAE$，可满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可得△ABC∽△ADE，因此可填$∠ BAC=∠ DAE$，答案不唯一。
(2) 还能得到△AOE∽△DOC，理由如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠E=∠C（相似三角形的对应角相等），
又
∵∠AOE=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOE∽△DOC（两角对应相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BAC=∠ DAE}$（答案不唯一）
(2) $\boldsymbol{△ AOE ∽ △ DOC}$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，同时要善于挖掘图形中对顶角、公共角这类隐含的相等条件。
【难度系数】
0.7
1. 如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
首先先分析已知△ABC的特征：它是等腰三角形，AB=AC=10，顶角∠A=30°，我们可以先根据三角形内角和定理、等腰三角形两底角相等的性质，算出它的两个底角的度数，明确△ABC的三个内角的度数。再结合相似三角形的判定定理（两角分别对应相等的两个三角形相似，或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐个分析四个选项的三角形的角、边特征，找到符合相似判定条件的选项即可。
【解析】
第一步：计算△ABC的各内角度数
在△ABC中，
∵AB=AC=10，∠A=30°
∴△ABC是等腰三角形，两个底角相等，即：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
即△ABC的三个内角为$30°、75°、75°$。
第二步：逐一分析选项
选项A：三角形两边均为4，夹角为75°（即顶角为75°），则其底角为$\frac{180°-75°}{2}=52.5°$，三个内角为$75°、52.5°、52.5°$，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
选项B：三角形两边均为3，夹角为60°，可知该三角形是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
选项C：三角形两边均为6，是等腰三角形，已知其中一个底角为75°，则另一个底角也为75°，顶角为$180°-75°×2=30°$，三个内角为$30°、75°、75°$，和△ABC的三个内角分别对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知该三角形与△ABC相似。
选项D：三角形两边均为5，顶角为40°，则其底角为$\frac{180°-40°}{2}=70°$，三个内角为$40°、70°、70°$，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的相似三角形判定应用题，解题核心是先利用等腰三角形性质和内角和定理确定目标三角形的内角度数，再结合相似判定定理逐一比对选项即可，主要考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先先分析已知△ABC的特征：它是等腰三角形，AB=AC=10，顶角∠A=30°，我们可以先根据三角形内角和定理、等腰三角形两底角相等的性质，算出它的两个底角的度数，明确△ABC的三个内角的度数。再结合相似三角形的判定定理（两角分别对应相等的两个三角形相似，或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐个分析四个选项的三角形的角、边特征，找到符合相似判定条件的选项即可。
【解析】
第一步：计算△ABC的各内角度数
在△ABC中，
∵AB=AC=10，∠A=30°
∴△ABC是等腰三角形，两个底角相等，即：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
即△ABC的三个内角为$30°、75°、75°$。
第二步：逐一分析选项
选项A：三角形两边均为4，夹角为75°（即顶角为75°），则其底角为$\frac{180°-75°}{2}=52.5°$，三个内角为$75°、52.5°、52.5°$，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
选项B：三角形两边均为3，夹角为60°，可知该三角形是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
选项C：三角形两边均为6，是等腰三角形，已知其中一个底角为75°，则另一个底角也为75°，顶角为$180°-75°×2=30°$，三个内角为$30°、75°、75°$，和△ABC的三个内角分别对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知该三角形与△ABC相似。
选项D：三角形两边均为5，顶角为40°，则其底角为$\frac{180°-40°}{2}=70°$，三个内角为$40°、70°、70°$，和△ABC的内角不对应相等，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的相似三角形判定应用题，解题核心是先利用等腰三角形性质和内角和定理确定目标三角形的内角度数，再结合相似判定定理逐一比对选项即可，主要考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AD，BC相交于点O，由下列条件不能判定$△ AOB$与$△ DOC$相似的是 （
A.$AB// CD$
B.$∠ A=∠ D$
C.$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D.$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
D
）A.$AB// CD$
B.$∠ A=∠ D$
C.$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D.$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
答案
2. D
解析
【分析】
要判定△AOB与△DOC是否相似，首先明确两个三角形隐含的公共条件：AD和BC相交于点O，因此对顶角∠AOB=∠DOC。接下来结合各选项给出的条件，对照相似三角形的判定定理逐一验证即可，注意两边对应成比例时，必须是夹角相等才能判定相似。
【解析】
已知AD与BC交于点O，因此∠AOB=∠DOC（对顶角相等），逐一分析选项：
选项A：若$AB// CD$，可得$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$，两角分别相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项B：若$∠ A=∠ D$，结合$∠ AOB=∠ DOC$，两角分别相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项C：若$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，且夹角$∠ AOB=∠ DOC$，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项D：若$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$，相等的角$∠ AOB$和$∠ DOC$不是成比例的两组边的夹角，不符合相似三角形的判定条件，不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题时要先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，特别注意应用两边成比例判定相似时，一定要保证相等的角是两组对应边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判定△AOB与△DOC是否相似，首先明确两个三角形隐含的公共条件：AD和BC相交于点O，因此对顶角∠AOB=∠DOC。接下来结合各选项给出的条件，对照相似三角形的判定定理逐一验证即可，注意两边对应成比例时，必须是夹角相等才能判定相似。
【解析】
已知AD与BC交于点O，因此∠AOB=∠DOC（对顶角相等），逐一分析选项：
选项A：若$AB// CD$，可得$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$，两角分别相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项B：若$∠ A=∠ D$，结合$∠ AOB=∠ DOC$，两角分别相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项C：若$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，且夹角$∠ AOB=∠ DOC$，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项D：若$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$，相等的角$∠ AOB$和$∠ DOC$不是成比例的两组边的夹角，不符合相似三角形的判定条件，不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题时要先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，特别注意应用两边成比例判定相似时，一定要保证相等的角是两组对应边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.7
