4. 在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ B=75°$，下图各三角形中与$△ ABC$相似的是.(填序号)

4. ①②

【分析】
要判断与△ABC相似的三角形，需利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理求解。首先根据三角形内角和为180°，先算出△ABC的三个内角的度数，再分别计算三个待判断三角形的所有内角度数，对比是否存在两个角对应相等，即可得出结论。
【解析】
首先计算△ABC的第三个角的度数：
在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-75°=65°，即△ABC的三个内角分别为40°、75°、65°。
分别计算三个三角形的内角度数：
1. 对图①的△DEF：∠F=180°-∠E-∠D=180°-40°-65°=75°，三个内角为40°、65°、75°，与△ABC的三个内角对应相等，故△DEF与△ABC相似；
2. 对图②的△GHK：∠H=180°-∠G-∠K=180°-75°-65°=40°，三个内角为75°、65°、40°，与△ABC的三个内角对应相等，故△GHK与△ABC相似；
3. 对图③的△PQM：∠M=180°-∠P-∠Q=180°-40°-70°=70°，三个内角为40°、70°、70°，与△ABC的内角不对应相等，故不相似。
综上，与△ABC相似的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先求出各三角形的内角度数，再依据两角对应相等的判定规则判断相似，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. (2025 永州期中)如图，C是AB上一点，AD⊥AB，CE⊥AB，CD//BE，求证：△ACD∽△CBE.

5. 证明:
∵AD⊥AB,CE⊥AB,
∴∠A=∠BCE=90°.
∵CD//BE,
∴∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△CBE.

【分析】
要证明△ACD∽△CBE，可优先采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先从已知的垂直条件入手，可得到一组直角相等；再结合平行线的性质，推导得到另一组对应角相等，满足相似三角形的判定条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AD⊥AB，CE⊥AB，
∴∠A=∠BCE=90°，
∵CD//BE，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠ACD=∠B，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△CBE。
【答案】
证明:
∵AD⊥AB,CE⊥AB,
∴∠A=∠BCE=90°.
∵CD//BE,
∴∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△CBE.
【知识点】
相似三角形判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题关键是结合已知条件准确找到两组对应相等的角，熟练掌握相关几何性质和判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.85

6.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC上一点,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.求证:△ABF∽△EAD.

6. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF=∠AED,且∠C+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BFE=∠C,
∴∠BFA=∠D,
∴△ABF∽△EAD.

【分析】
要证明△ABF∽△EAD，可优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：①首先利用平行四边形的性质，由对边平行得到一组内错角相等，即∠BAF=∠AED；②再结合平行四边形邻角互补、邻补角互补的特点，结合已知∠BFE=∠C，推导得到另一组对应角∠BFA=∠D；③两组对应角分别相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF=∠AED,且∠C+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BFE=∠C,
∴∠BFA=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF=∠AED,且∠C+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BFE=∠C,
∴∠BFA=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、补角的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题核心是熟练运用平行四边形的性质得到角的关系，结合等角的补角相等推导得到两组对应相等的角，进而完成相似三角形的判定。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB＜AC$,将$△ ABC$以点A为中心逆时针旋转得到$△ ADE$,点D在BC边上,DE交AC于点F.有下列结论:①$△ AFE ∽ △ DFC$;②DA平分$∠ BDE$;③$∠ CDF=∠ BAD$.其中所有正确结论的序号是 ()

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

7. D

【分析】
解题先利用旋转的性质得到旋转前后三角形全等，对应边、对应角相等的关系，再逐个验证3个结论：
1. 验证结论①：找两个三角形的对应角，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判断；
2. 验证结论②：先由AB=AD得等腰三角形两底角相等，结合旋转得到的∠ADE=∠B，推导∠ADB=∠ADE即可判断；
3. 验证结论③：利用三角形内角和，结合等腰△ABD的角的关系，以及平角的性质推导∠CDF和∠BAD的等量关系即可判断。
【解析】
解：
∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠E，AB=AD。
①判断△AFE∽△DFC：
在△AFE和△DFC中，
∠AFE=∠DFC（对顶角相等），∠E=∠C，
∴△AFE∽△DFC（两角对应相等，两三角形相似），故①正确；
②判断DA平分∠BDE：
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB（等腰三角形两底角相等），
又
∵∠B=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，即DA平分∠BDE，故②正确；
③判断∠CDF=∠BAD：
在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°（三角形内角和为180°），
∵∠B=∠ADB，
∴∠BAD=180°-2∠B。
∵点D在BC上，
∴∠ADB+∠ADE+∠CDF=180°（平角为180°），
又
∵∠ADB=∠ADE=∠B，
∴∠CDF=180°-∠B-∠B=180°-2∠B，
∴∠CDF=∠BAD，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题关键是熟练掌握旋转前后图形的对应边、对应角相等的性质，结合相似三角形判定、等腰三角形性质、三角形内角和定理逐步推导角的等量关系即可得出结论。
【难度系数】
0.7

8.如图，$CA\bot AD$，$ED\bot AD$，B是线段AD上的一点，且$CB\bot BE$.已知$AB=8$，$AC=6$，$DE=4$.
(1)求证：$△ ABC∽△ DEB$；
(2)求线段BD的长.

8.(1)证明:
∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE.又
∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEB.
(2)解:
∵△ABC∽△DEB,
∴AC/BD = AB/DE,即6/BD = 8/4,解得BD=3.

【分析】
(1)要证明△ABC∽△DEB，首先结合已知的多个垂直条件，可得∠A、∠D、∠CBE均为直角，再根据同角的余角相等推出∠C=∠DBE，结合两个直角相等，即可利用两角分别相等的判定定理证明两个三角形相似。
(2)在证得两个三角形相似的基础上，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度，建立关于BD的比例方程，求解即可得到BD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$CA\bot AD$，$ED\bot AD$，$CB\bot BE$，
∴$∠ A=∠ CBE=∠ D=90°$，
∴$∠ C+∠ CBA=90°$，$∠ CBA+∠ DBE=180°-∠ CBE=90°$，
∴$∠ C=∠ DBE$（同角的余角相等），
又
∵$∠ A=∠ D=90°$，
∴$△ ABC∽△ DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：
∵$△ ABC∽△ DEB$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AC=6$，$AB=8$，$DE=4$代入比例式得：$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$，
解得$BD=3$。
【答案】
(1)△ABC∽△DEB，证明成立；(2)$BD=3$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题的关键是通过垂直关系推导角的等量关系，进而证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题时需注意准确对应相似三角形的边，避免比例式列错。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 在边 $BC$ 的延长线上，且 $OE=OB$，连接 $DE$。
(1)求证：$DE⊥ BE$；
(2)若 $OE⊥ CD$，求证：$△ BDE ∽ △ DCE$。

9. 证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD.
∵OE=OB,
∴OE=OD.
∴∠OBE=∠OEB,∠OED=∠ODE.
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,
∴2∠OEB+2∠OED=180°,
∴∠OEB+∠OED=∠BED=90°,
∴DE⊥BE.
(2)
∵OE⊥CD,
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CEO=∠CDE.
∵OB=OE,
∴∠DBE=∠CEO,
∴∠DBE=∠CDE.
∵∠BED=∠BED=90°,
∴△BDE∽△DCE.

【分析】
(1) 要证DE⊥BE，即证∠BED=90°。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得OB=OD，结合已知OE=OB，可得OB=OD=OE，即△OBE和△ODE均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可推导出∠BED=90°，完成证明。
(2) 要证△BDE∽△DCE，已知两三角形有公共的直角∠BED，只需再找一组对应角相等即可。由OE⊥CD可得两个角都和∠DCE互余，根据同角的余角相等得∠CEO=∠CDE，再结合等腰三角形OB=OE的性质得∠DBE=∠CEO，从而推出∠DBE=∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD。
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE。
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴2∠OEB+2∠OED=180°，
∴∠OEB+∠OED=∠BED=90°，
∴DE⊥BE。
(2) 证明：
∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=90°，∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE。
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CEO，
∴∠DBE=∠CDE。
又
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE。
【答案】
(1) DE⊥BE，证明成立；
(2) △BDE∽△DCE，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的核心知识点结合考查，解题关键是利用已知条件推导角的等量关系，能有效锻炼学生的逻辑推理能力，巩固几何性质和判定的应用。
【难度系数】
0.7