登录
【例】(2025邵阳期中)如图，AC，BD相交于点O，∠B=∠C.求证：△AOB∽△DOC.
答案
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，优先考虑相似三角形的判定定理，其中“两角分别相等的两个三角形相似”是最常用的判定方法。本题已知∠B=∠C，已经具备一组对应角相等，接下来只需再找一组对应角相等即可：观察图形可知AC、BD交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，根据对顶角的性质二者相等，凑齐两组对应角相等后即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵AC、BD相交于点O，
∴∠BOA和∠COD是对顶角，因此∠BOA=∠COD。
又已知∠B=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，可推出△AOB∽△DOC。
【答案】
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
【知识点】
对顶角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是能挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，结合已知等角即可快速完成证明，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
要证明两个三角形相似，优先考虑相似三角形的判定定理，其中“两角分别相等的两个三角形相似”是最常用的判定方法。本题已知∠B=∠C，已经具备一组对应角相等，接下来只需再找一组对应角相等即可：观察图形可知AC、BD交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，根据对顶角的性质二者相等，凑齐两组对应角相等后即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵AC、BD相交于点O，
∴∠BOA和∠COD是对顶角，因此∠BOA=∠COD。
又已知∠B=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，可推出△AOB∽△DOC。
【答案】
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
【知识点】
对顶角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是能挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，结合已知等角即可快速完成证明，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
【变式1】如图，在$△ ABC$中，点D在AB边上，点E在AC边上，且$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，则下列结论不正确的是（
A.$△ ADE ∽ △ ABC$
B.$△ ADE ∽ △ ACD$
C.$△ ADE ∽ △ EDC$
D.$△ ABC ∽ △ ACD$
C
）A.$△ ADE ∽ △ ABC$
B.$△ ADE ∽ △ ACD$
C.$△ ADE ∽ △ EDC$
D.$△ ABC ∽ △ ACD$
答案
【变式1】 C
解析
【分析】
要判断哪个选项的三角形不相似，我们依据“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，结合已知的等角条件逐一验证选项：首先由∠1=∠2可推出DE//BC，可验证A选项；由∠1=∠3加公共角∠A可验证B选项；由∠2=∠3加公共角∠A可验证D选项；最后分析C选项，找不到两组对应相等的角，即可确定错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
∵∠1=∠2，
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB，又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵∠1=∠3，∠A是△ADE和△ACD的公共角，
∴△ADE∽△ACD，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵∠2=∠3，∠A是△ABC和△ACD的公共角，
∴△ABC∽△ACD，D选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项C：
在△ADE和△EDC中，仅能得到∠1=∠3，无法找到第二组对应相等的角，不能证明两三角形相似，C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的判定与性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题关键是熟练掌握两角判定相似的定理，结合题目给出的等角条件和公共角特征逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的三角形不相似，我们依据“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，结合已知的等角条件逐一验证选项：首先由∠1=∠2可推出DE//BC，可验证A选项；由∠1=∠3加公共角∠A可验证B选项；由∠2=∠3加公共角∠A可验证D选项；最后分析C选项，找不到两组对应相等的角，即可确定错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
∵∠1=∠2，
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB，又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵∠1=∠3，∠A是△ADE和△ACD的公共角，
∴△ADE∽△ACD，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵∠2=∠3，∠A是△ABC和△ACD的公共角，
∴△ABC∽△ACD，D选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项C：
在△ADE和△EDC中，仅能得到∠1=∠3，无法找到第二组对应相等的角，不能证明两三角形相似，C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的判定与性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题关键是熟练掌握两角判定相似的定理，结合题目给出的等角条件和公共角特征逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
【变式 2】如图,在$△ ECD$中,$∠ C=90°,AB ⊥ EC$于点$B,AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4$,则$CD$的长是
（
A.14
B.12.4
C.10.5
D.9.3
（
C
）A.14
B.12.4
C.10.5
D.9.3
答案
【变式2】 C
解析
【分析】
首先观察图形条件，AB垂直EC，∠C为直角，可推出AB与CD平行，结合公共角∠E，可判定△EAB和△EDC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出EC的总长度，代入比例式即可计算出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥EC，∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
又
∵∠E是△EAB和△EDC的公共角，
∴△EAB∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
先计算EC的长度：$EC = EB + BC = 1.6 + 12.4 = 14$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
代入已知数值：$\frac{1.6}{14}=\frac{1.2}{CD}$，
交叉相乘得：$1.6CD = 1.2×14 = 16.8$，
解得：$CD = 16.8÷1.6 = 10.5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，解题的核心是准确找到相似的三角形，对应好成比例的边，再代入数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察图形条件，AB垂直EC，∠C为直角，可推出AB与CD平行，结合公共角∠E，可判定△EAB和△EDC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出EC的总长度，代入比例式即可计算出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥EC，∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
又
∵∠E是△EAB和△EDC的公共角，
∴△EAB∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
先计算EC的长度：$EC = EB + BC = 1.6 + 12.4 = 14$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
代入已知数值：$\frac{1.6}{14}=\frac{1.2}{CD}$，
交叉相乘得：$1.6CD = 1.2×14 = 16.8$，
解得：$CD = 16.8÷1.6 = 10.5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，解题的核心是准确找到相似的三角形，对应好成比例的边，再代入数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
1.如图，在$△ ABC$纸片中，$∠ A=76°$，$∠ B=34°$.将$△ ABC$纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
C
）A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
答案
1. C
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，首先根据三角形内角和定理算出原△ABC的第三个内角∠C的度数，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析4种剪法中阴影三角形的内角是否与原三角形的内角对应相等，即可得出正确选项。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$
即原△ABC的三个内角度数分别为$76°$、$34°$、$70°$。
逐一分析各剪法：
1. 图①：阴影三角形与原△ABC共享$∠ A=76°$，且阴影三角形另有一个内角为$34°$，与原△ABC的$∠ B$相等，满足两角分别相等，故两三角形相似，①符合要求；
2. 图②：阴影三角形与原△ABC共享$∠ B=34°$，但其余两个内角均不与原△ABC剩余的$76°$、$70°$对应相等，故两三角形不相似，②不符合要求；
3. 图③：阴影三角形与原△ABC共享$∠ C=70°$，且阴影三角形另有一个内角为$76°$，与原△ABC的$∠ A$相等，满足两角分别相等，故两三角形相似，③符合要求；
4. 图④：阴影三角形的三个内角均不与原△ABC的内角对应相等，故两三角形不相似，④不符合要求。
综上，①③符合要求，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合三角形内角和计算角度即可完成判断，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，首先根据三角形内角和定理算出原△ABC的第三个内角∠C的度数，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析4种剪法中阴影三角形的内角是否与原三角形的内角对应相等，即可得出正确选项。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$
即原△ABC的三个内角度数分别为$76°$、$34°$、$70°$。
逐一分析各剪法：
1. 图①：阴影三角形与原△ABC共享$∠ A=76°$，且阴影三角形另有一个内角为$34°$，与原△ABC的$∠ B$相等，满足两角分别相等，故两三角形相似，①符合要求；
2. 图②：阴影三角形与原△ABC共享$∠ B=34°$，但其余两个内角均不与原△ABC剩余的$76°$、$70°$对应相等，故两三角形不相似，②不符合要求；
3. 图③：阴影三角形与原△ABC共享$∠ C=70°$，且阴影三角形另有一个内角为$76°$，与原△ABC的$∠ A$相等，满足两角分别相等，故两三角形相似，③符合要求；
4. 图④：阴影三角形的三个内角均不与原△ABC的内角对应相等，故两三角形不相似，④不符合要求。
综上，①③符合要求，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合三角形内角和计算角度即可完成判断，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
2.(2025上海月考)下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（
A.都含有一个$65°$的内角
B.都含有一个$75°$的内角
C.都含有一个$85°$的内角
D.都含有一个$95°$的内角
D
）A.都含有一个$65°$的内角
B.都含有一个$75°$的内角
C.都含有一个$85°$的内角
D.都含有一个$95°$的内角
答案
2. D
解析
【分析】
要判断两个等腰三角形是否相似，核心依据是“两角对应相等的两个三角形相似”。解题时需结合等腰三角形“两底角相等”的性质，对给出的内角是顶角还是底角分类讨论：若给出的内角为钝角，则该角只能是等腰三角形的顶角，此时两个三角形的角度固定，必然相似；若给出的内角为锐角，则该角既可以是顶角也可以是底角，可能出现两种不同的角度组合，无法保证角度对应相等，就不能判定相似。
【解析】
结合等腰三角形性质和相似三角形判定定理逐一分析选项：
1. 基础依据：相似三角形判定规则为两组角对应相等则三角形相似；等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，因此等腰三角形的底角一定是锐角（若底角为钝角，两个底角和将超过180°，不符合内角和定理）。
2. 选项A：含65°内角的等腰三角形有两种可能：①65°为顶角，底角为$(180°-65°)÷ 2=57.5°$，三个角为65°、57.5°、57.5°；②65°为底角，顶角为$180°-65°× 2=50°$，三个角为65°、50°、50°，两种情况角度不对应相等，不一定相似，排除A。
3. 选项B：含75°内角的等腰三角形同理有两种角度组合：75°、52.5°、52.5°和75°、30°、30°，角度不对应相等，不一定相似，排除B。
4. 选项C：含85°内角的等腰三角形同理有两种角度组合：85°、47.5°、47.5°和85°、10°、10°，角度不对应相等，不一定相似，排除C。
5. 选项D：95°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，此时底角固定为$(180°-95°)÷ 2=42.5°$，所有含95°内角的等腰三角形三个角都是95°、42.5°、42.5°，对应角全部相等，一定相似，D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形中已知角的类型进行分类讨论，注意钝角不能作为等腰三角形的底角，避免忽略角度的多种可能性导致误判。
【难度系数】
0.7
要判断两个等腰三角形是否相似，核心依据是“两角对应相等的两个三角形相似”。解题时需结合等腰三角形“两底角相等”的性质，对给出的内角是顶角还是底角分类讨论：若给出的内角为钝角，则该角只能是等腰三角形的顶角，此时两个三角形的角度固定，必然相似；若给出的内角为锐角，则该角既可以是顶角也可以是底角，可能出现两种不同的角度组合，无法保证角度对应相等，就不能判定相似。
【解析】
结合等腰三角形性质和相似三角形判定定理逐一分析选项：
1. 基础依据：相似三角形判定规则为两组角对应相等则三角形相似；等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，因此等腰三角形的底角一定是锐角（若底角为钝角，两个底角和将超过180°，不符合内角和定理）。
2. 选项A：含65°内角的等腰三角形有两种可能：①65°为顶角，底角为$(180°-65°)÷ 2=57.5°$，三个角为65°、57.5°、57.5°；②65°为底角，顶角为$180°-65°× 2=50°$，三个角为65°、50°、50°，两种情况角度不对应相等，不一定相似，排除A。
3. 选项B：含75°内角的等腰三角形同理有两种角度组合：75°、52.5°、52.5°和75°、30°、30°，角度不对应相等，不一定相似，排除B。
4. 选项C：含85°内角的等腰三角形同理有两种角度组合：85°、47.5°、47.5°和85°、10°、10°，角度不对应相等，不一定相似，排除C。
5. 选项D：95°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，此时底角固定为$(180°-95°)÷ 2=42.5°$，所有含95°内角的等腰三角形三个角都是95°、42.5°、42.5°，对应角全部相等，一定相似，D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形中已知角的类型进行分类讨论，注意钝角不能作为等腰三角形的底角，避免忽略角度的多种可能性导致误判。
【难度系数】
0.7
3. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, AC=6, AB=9$, 则AD的长是
(
A.6
B.5
C.4
D.3
(
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
3. C
解析
【分析】
本题可通过证明三角形相似求解AD长度：首先观察图形特征，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，可得∠ADC与∠ACB均为直角，再结合公共角∠A，可证明△ACD和△ABC相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
又
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ADC = ∠ ACB$，
在$△ ACD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ ADC = ∠ ACB\end{cases}$
∴ $△ ACD ∽ △ ABC \quad (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$
将$AC=6$，$AB=9$代入上式：
$6^2 = 9 · AD$
$36 = 9AD$
解得 $AD = 4$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查直角三角形斜边上的高构造的“共角共边”型相似模型，熟练掌握该模型的边比例关系可以快速解题，该模型在后续几何综合题中也经常出现，需要重点掌握。
【难度系数】
0.7
本题可通过证明三角形相似求解AD长度：首先观察图形特征，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，可得∠ADC与∠ACB均为直角，再结合公共角∠A，可证明△ACD和△ABC相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
又
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ADC = ∠ ACB$，
在$△ ACD$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ ADC = ∠ ACB\end{cases}$
∴ $△ ACD ∽ △ ABC \quad (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$
将$AC=6$，$AB=9$代入上式：
$6^2 = 9 · AD$
$36 = 9AD$
解得 $AD = 4$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查直角三角形斜边上的高构造的“共角共边”型相似模型，熟练掌握该模型的边比例关系可以快速解题，该模型在后续几何综合题中也经常出现，需要重点掌握。
【难度系数】
0.7
